/福建省南平市吳屯中學2020年高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在（x+a）5（其中a≠0）的展開式中，x2的系數與x3的系數相同，則a的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：C【考點】二項式系數的性質．【分析】通過二項式定理，寫出（x+a）5（其中a≠0）的展開式中通項Tk+1=x5﹣kak，利用x2的系數與x3的系數相同可得到關于a的方程，進而計算可得結論．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展開式中，通項Tk+1=x5﹣kak，∵x2的系數與x3的系數相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故選：C．2.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A.

B.

C.

D.12參考答案：C3.已知是兩個不同的平面，是一條直線，給出下列說法：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中說法正確的個數為（

）A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：C①若，，則或,不正確；②若，，則或，不正確；③若，，則，正確；④若，，則或或與相交且與不垂直，不正確，故選C.

4.一只受傷的丹頂鶴在如圖所示（直角梯形）的草原上飛過，其中，它可能隨機在草原上任何一處（點），若落在扇形沼澤區域ADE以外丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：

過點作于點，在中，易知，梯形的面積,扇形的面積，則丹頂鶴生還的概率，故選5.已知橢圓與雙曲線有公共焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】結合橢圓和雙曲線有公共的焦點可得，再利用恰好將線段三等分，可求得.【詳解】因為橢圓與雙曲線有公共焦點，所以；雙曲線的一條漸近線為，設漸近線與橢圓的交點為C,D,如圖，設，代入橢圓可得①因為恰好將線段三等分，所以，即有②聯立①②可得，結合可得，故選C.【點睛】本題主要考查圓、橢圓和雙曲線的綜合，尋求題目中的等量關系是求解關鍵，側重考查數學運算的核心素養.6.將正方體（如圖（a）所示）截去兩個三棱錐，得到圖（b）所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為（

）． A． B． C． D．參考答案：B明顯選擇．7.如圖為一個半球挖去一個圓錐后的幾何體的三視圖，則剩余部分與挖去部分的體積之比為（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2參考答案：C【考點】簡單空間圖形的三視圖；由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；等體積法；立體幾何．【分析】V=V半球﹣V圓錐，由三視圖可得球與圓錐內的長度．【解答】解：球的半徑為r，圓錐的半徑為r，高為r；V圓錐=?πr3，V半球=×πr3=πr3，∴V=V半球﹣V圓錐=πr3，∴剩余部分與挖去部分的體積之比為1：1，故選：C【點評】本題通過三視圖考查幾何體體積的運算，關鍵是掌握體積公式，屬于基礎題．8.若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為（）．

．

．

．參考答案：D9.設則“且”是“”的（

）A.充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件參考答案：A略10.設函數f（x）在定義域（0，＋∞）上是單調函數，且，f[f（x）－ex＋x]＝e．若不等式f（x）＋f′（x）≥ax對x∈（0，＋∞）恒成立，則a的取值范圍是A．（－∞，e－2]B．（－∞，e－1]C．（－∞，2e－3]D．（－∞，2e－1]參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},則MN中元素的個數為(

)A.2

B.

3

C.

5

D.

7參考答案：B12.給出如下四個結論：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三個關系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一個正確，則3a+2b+c等于14；②?a∈R+，使的f（x）=﹣a有三個零點；③設直線回歸方程為=3﹣2x，則變量x增加一個單位時，y平均減少2個單位；④若命題p：?x∈R．ex＞x+1，則￢p為真命題．以上四個結論正確的是

．（把你認為正確的結論都填上）參考答案：③④考點：命題的真假判斷與應用．專題：閱讀型；概率與統計；集合；簡易邏輯．分析：對三個關系一一判斷，結合集合中元素的性質，計算即可判斷①；考慮拋物線和指數函數的圖象的交點最多有2個交點，即可判斷②；運用類似一次函數的單調性，即可判斷③；取x=0，即可判斷p假，進而判斷④．解答： 解：對于①，已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三個關系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一個正確，若①正確，則c=1，a=2，b=2不成立，若②正確，則b=3，c=1，a=3不成立，若③正確，則a=3，b=1，c=2，即有3a+2b+c=13，則①錯誤；對于②，?a∈R+，f（x）=﹣a，令f（x）=0則有﹣x2﹣x+1=aex，由于y=﹣x2﹣x+1為開口向下的拋物線，y=aex為下凹的指數函數圖象，它們最多有2個交點，則②錯誤；對于③，設直線回歸方程為=3﹣2x，由一次函數的單調性，可得變量x增加一個單位時，y平均減少2個單位，則③正確；對于④，若x=0，則ex=x+1=1，即有p為假命題，則￢p為真命題，則④正確．故答案為：③④．點評：本題考查集合中元素的性質和函數的零點的個數，同時考查復合命題的真假和線性回歸方程的特點，運用函數方程的轉化思想和函數的性質是解題的關鍵．13._________.參考答案：[0，4）略14.若f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），x∈[﹣1，1]，且|f（x）|的最大值為，則4a+3b=．參考答案：﹣

【考點】二次函數的性質．【分析】根據x的范圍以及函數的最大值得到關于a，b的不等式組，求出a，b的值即可．【解答】解：若|f（x）|的最大值為，|f（0）|=|b|≤，﹣≤b≤①，同理﹣≤1+a+b≤②，﹣≤1﹣a+b≤③，②+③得：﹣≤b≤﹣④，由①、④得：b=﹣，當b=﹣時，分別代入②、③得：?a=0，故4a+3b=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查了二次函數的性質，考查不等式問題，是一道中檔題．15.已知，且，則的值為

參考答案：16.已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點(1,2)，則

．參考答案：由題意得，所以

17.汽車的最佳使用年限是使年均消耗費用最低的年限（年均消耗費用＝年均成本費用＋年均維修費），設某種汽車的購車的總費用為50000元;使用中每年的保險費、養路費及汽油費合計為6000元；前年的總維修費滿足,已知第一年的總維修費為1000元,前兩年的總維修費為3000元,則這種汽車的最佳使用年限為

年.參考答案：10略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知為實數，函數．（1）設，若，使得成立，求實數的取值范圍．（2）定義：若函數的圖象上存在兩點、，設線段的中點為，若在點處的切線與直線平行或重合，則函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”．試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由；參考答案：（1）由，得，記，所以當時，，遞減，當時，，遞增；所以，，記，，，時，遞減；時，遞增；，，故實數的取值范圍為．………………6分（2）函數的定義域為，，若函數是“中值平衡函數”，則存在使得，即，（※）①當時，（※）對任意的都成立，所以函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條；②當時，有，設，則方程在區間上有解，記函數，則，所以函數在區間遞增，，所以當時，，即方程在區間上無解，即函數不是“中值平衡函數”；綜上所述，當時，函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條；當時，不是“中值平衡函數”；………………12分19.在如圖的幾何體中，平面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求證：AC⊥平面FBC；（2）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．參考答案：考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關系與距離；空間向量及應用．分析：（1）證明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能夠證明AC⊥平面FBC．證明2：設∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）結合已知條件推導出AC⊥FC．由平面CDEF為正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解法2：由題設條件推導出CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系利用向量法能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）證明1：因為AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因為AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）證明2：因為∠ABC=60°，設∠BAC=α（0°＜α＜120°），則∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因為AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因為AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因為平面CDEF為正方形，所以CD⊥FC．因為AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中點M，連結MD，ME，因為ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等邊三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中點N，連結MN，NE，則MN⊥AD．…（8分）因為MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因為AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN為直線BF與平面ADE所成角．…（10分）因為NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因為，，…（12分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因為平面CDEF為正方形，所以CD⊥FC．因為AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標系C﹣xyz．…（7分）因為ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨設BC=1，則B（0，1，0），F（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）設平面ADE的法向量為=（x，y，z），則有即取x=1，得=是平面ADE的一個法向量．…（11分）設直線BF與平面ADE所成的角為θ，則．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時要注意向量法的合理運用，注意空間思維能力的培養．20.已知a∈R，函數f（x）=x2﹣2ax+1．（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在區間[1，2]上的最小值m（a）；（Ⅱ）記g（x）=f（x）+|x﹣a|，若g（x）在[1，2]上恰有一個零點，求a的取值范圍．參考答案：【考點】二次函數的性質；函數的零點．【專題】分類討論；分類法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）對函數配方得f（x）=（x﹣a）2+1﹣a2，可得對稱軸方程為x=a．只需對對稱軸a進行分類討論即可；（Ⅱ）根據問1，對a分類討論：當a＜1時，由（Ⅰ）知，f（x）≥2﹣2a＞0，得出g（x）＞0，無零點；當a=1時，g（x）=（x﹣1）2+|x﹣1|在[1，2]上恰有一個零點x=1；當1＜a＜2時，去絕對值，利用對稱軸得出分段函數單調性，解出；當a≥2時，去絕對值，討論函數單調性，判斷g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此時沒有零點．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣a）2+1﹣a2，對稱軸方程為x=a．

…（1分）（1）當1≤a≤2時，m（a）=f（a）=1﹣a2．

…（3分）（2）當a＜1時，f（x）在區間[1，2]上是單調遞增，所以m（a）=f（1）=2﹣2a．

…（5分）綜上所述：…（6分）（Ⅱ）（1）當a＜1時，由（Ⅰ）知，f（x）≥2﹣2a＞0，從而g（x）＞0，此時g（x）在[1，2]上沒有零點．

…（8分）（2）當a=1時，g（x）=（x﹣1）2+|x﹣1|在[1，2]上恰有一個零點x=1．…（9分）（3）當1＜a＜2時，…（10分）由，知g（x）在上單調遞減，在單調遞增．又g（1）=1﹣a＜0，所以要使得g（x）在[1，2]上恰有一個零點，只需g（2）=7﹣5a≥0，解得，所以．

…（12分）（4）當a≥2時，g（x）=x2﹣2ax