PAGE9-第3講圓周運動及其應用時間：60分鐘滿分：100分一、選擇題(本題共11小題，每小題7分，共77分。其中1～9題為單選，10～11題為多選)1.如圖所示，質量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉動的圓筒的豎直內壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運動，則下列關系中正確的是()A．線速度vA＝vBB．角速度ωA＝ωBC．受到的合力FA合＝FB合D．受到的摩擦力FfA>FfB答案B解析質量相等的A、B兩物體隨圓筒一起做勻速圓周運動，兩者的角速度相等，B正確；依據角速度與線速度的關系v＝ωr，A物體的線速度大于B物體的線速度，A錯誤；由向心加速度公式a＝ω2r和牛頓其次定律F合＝ma可知，A物體所受的合力大于B物體所受的合力，C錯誤；在豎直方向，它們所受的摩擦力等于重力，由于二者質量相等，重力相等，所以它們受到的摩擦力相等，D錯誤。2．(2024·山東泰安一中高三上學期聯考)在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌。如圖所示，當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則()A．該彎道的半徑r＝eq\f(v2,gsinθ)B．當火車質量變更時，規定的行駛速度大小隨之變更C．當火車速率大于v時，外軌將受到輪緣的擠壓D．當火車以規定速度行駛時，火車只受重力和支持力答案C解析由題可知，當火車以規定的速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，此時重力和支持力的合力供應向心力，依據牛頓其次定律得：mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得彎道的半徑r＝eq\f(v2,gtanθ)，A錯誤；由mgtanθ＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(grtanθ)，可知火車規定的行駛速度與火車質量無關，B錯誤；當火車行駛速度大于v時，重力和支持力的合力不足以供應火車的向心力，此時外軌對火車有側壓力，輪緣擠壓外軌，C正確；當火車以規定速度行駛時，火車不僅受重力和支持力，還受牽引力和摩擦力作用，D錯誤。3.如圖所示，粗糙水平圓盤上，質量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運動，則下列說法不正確的是()A．B的向心力是A的向心力的2倍B．盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍C．A、B都有沿半徑向外滑動的趨勢D．若B先滑動，則B對A的動摩擦因數μA大于盤對B的動摩擦因數μB答案A解析A、B兩物塊的角速度大小相等，依據Fn＝mrω2，轉動半徑相等，質量相等，所以向心力相等，A錯誤；對AB整體分析，FfB＝2mrω2，對A分析，有：FfA＝mrω2，知盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍，B正確；A所受的靜摩擦力方向指向圓心，可知A有沿半徑向外滑動的趨勢，B受到盤的靜摩擦力方向指向圓心，可知B有沿半徑向外滑動的趨勢，C正確；對AB整體分析，μB·2mg＝2mrωeq\o\al(2,B)，解得：ωB＝eq\r(\f(μBg,r))，對A分析，μAmg＝mrωeq\o\al(2,A)，解得ωA＝eq\r(\f(μAg,r))，因為B先滑動，可知B先達到臨界角速度，可知B的臨界角速度較小，即μB<μA，D正確。4.如圖所示，兩個相同材料制成的水平摩擦輪A和B，兩輪半徑RA＝2RB，A為主動輪。當A輪勻速轉動時，在A輪邊緣處放置的小木塊恰能在A輪的邊緣上與A輪相對靜止，若將小木塊放在B輪上讓其相對B輪靜止，木塊與B輪轉軸間的最大距離為()A.eq\f(RB,8) B.eq\f(RB,2)C．RB D.eq\f(RB,4)答案B解析兩輪邊緣上線速度大小相等，依據題意可知ωARA＝ωBRB，所以ωB＝eq\f(ωARA,RB)＝2ωA，因為同一物體在兩輪上受到的最大靜摩擦力相等，則依據最大靜摩擦力等于向心力有mωeq\o\al(2,A)RA＝mωeq\o\al(2,B)r，解得r＝eq\f(RAω\o\al(2,A),ω\o\al(2,B))＝eq\f(RA,4)＝eq\f(RB,2)，B正確，A、C、D錯誤。5．(2024·重慶一診)如圖，有一傾斜的勻質圓盤(半徑足夠大)，盤面與水平面的夾角為θ，繞過圓心并垂直于盤面的轉軸以角速度ω勻速轉動，有一物體(可視為質點)與盤面間的動摩擦因數為μ(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，重力加速度為g。要使物體能與圓盤始終保持相對靜止，則物體與轉軸間最大的距離為()A.eq\f(μgcosθ,ω2) B.eq\f(gsinθ,ω2)C.eq\f(μcosθ－sinθ,ω2)g D.eq\f(μcosθ＋sinθ,ω2)g答案C解析當物體轉到最低點，所受的靜摩擦力達到最大時，物體與轉軸間的距離最大，由牛頓其次定律得：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得：r＝eq\f(μcosθ－sinθ,ω2)g，故A、B、D錯誤，C正確。6．(2024·湖南六校聯考)一根細線一端系一小球(可視為質點)，另一端固定在光滑圓錐頂上，如圖所示，設小球在水平面內做勻速圓周運動的角速度為ω，細線的張力為FT，則FT隨ω2變更的圖象是()答案C解析由題知小球未離開圓錐表面時細線與豎直方向的夾角為θ，用L表示細線長度，小球離開圓錐表面前，細線的張力為FT，圓錐對小球的支持力為FN，依據牛頓其次定律有FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，FTcosθ＋FNsinθ＝mg，聯立解得FT＝mgcosθ＋mω2Lsin2θ。小球離開圓錐表面后，設細線與豎直方向的夾角為α，依據牛頓其次定律有FTsinα＝mω2Lsinα，解得FT＝mLω2。比照四個選項的圖象可知C項正確。7.如圖所示，豎直平面內有一光滑圓環，圓心為O，OA連線水平，AB為固定在A、B兩點間的光滑直桿，在直桿和圓環上分別套著一個相同的小球M、N。先后兩次讓小球M、N以角速度ω和2ω隨圓環一起繞豎直直徑BD做勻速圓周運動。則()A．小球M其次次的位置比第一次時離A點近B．小球M其次次的位置與第一次時相同C．小球N其次次的豎直位置比第一次時高D．小球N其次次的豎直位置比第一次時低答案C解析M球套在直桿上，受力分析如圖甲所示，受重力mg和桿的支持力N，設桿AB與水平面夾角為θ，則有mgtanθ＝mω2r，所以當ω變大時r變小，所以小球M其次次位置比第一次離B近，故A、B均錯誤；小球N套在圓環上，受力分析如圖乙，受重力mg和環的支持力FN，則將mg和FN合成，合力供應向心力，有mgtanα＝mω2Rsinα，其中R為大圓環半徑，化簡得：ω2＝eq\f(g,Rcosα)，ω變大，cosα變小，α變大，所以小球N其次次位置比第一次高，故C正確，D錯誤。8．(2024·吉林省白城市十四中高三月考)如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間的彈力大小為N，小球在最高點的速度大小為v，Nv2圖象如圖乙所示。下列說法正確的是()A．當地的重力加速度大小為eq\f(R,b)B．小球的質量為eq\f(a,b)RC．v2＝c時，桿對小球的彈力方向向上D．若c＝2b，則桿對小球的彈力大小為2答案B解析小球在最高點時，若v＝0，則有：N＝mg＝a，若N＝0，則重力供應向心力，有：mg＝meq\f(b,R)，解得：g＝eq\f(b,R)，m＝eq\f(a,b)R，故A錯誤，B正確；當v2＝c>b時，F合＝meq\f(c,R)>meq\f(b,R)＝mg，故桿對小球的彈力方向向下，故C錯誤；若c＝2b，則有：N＋mg＝meq\f(2b,R)，解得桿對小球的彈力大小為：N＝mg＝a，故D錯誤。9．(2024·遼寧大連二模)游樂場有一種叫做“歡樂飛機”的游樂項目，模型如圖所示。已知模型飛機的質量為m，固定在長為L的旋臂上，旋臂與豎直方向的夾角為θ，當模型飛機以角速度ω繞中心軸在水平面內做勻速圓周運動時，下列說法正確的是()A．模型飛機受到重力、旋臂的作用力和向心力B．旋臂對模型飛機的作用力方向肯定與旋臂垂直C．旋臂對模型飛機的作用力大小為meq\r(g2＋ω4L2sin2θ)D．若夾角θ增大，則旋臂對模型飛機的作用力減小答案C解析向心力是效果力，模型飛機實際不受向心力作用，A錯誤；旋臂對模型飛機的作用力的豎直分力與重力mg平衡，水平分力供應其做圓周運動所需的向心力mω2Lsinθ，因mg與mω2Lsinθ的大小關系未知，所以旋臂對模型飛機的作用力方向不肯定與旋臂垂直，B錯誤；旋臂對模型飛機的作用力大小F＝eq\r((mg)2＋(mω2Lsinθ)2)＝meq\r(g2＋ω4L2sin2θ)，夾角θ增大，旋臂對模型飛機的作用力增大，C正確，D錯誤。10.如圖所示，金屬塊Q放在帶光滑小孔的水平桌面上，一根穿過小孔的細線，上端固定在Q上，下端拴一個小球。小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)，細線與豎直方向成30°角(圖中P位置)。現使小球在更高的水平面上做勻速圓周運動。細線與豎直方向成60°角(圖中P′位置)。兩種狀況下，金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種狀況與原來相比較，下面推斷正確的是()A．Q受到桌面的靜摩擦力大小不變B．小球運動的角速度變大C．細線所受的拉力之比為2∶1D．小球向心力大小之比為3∶1答案BD解析對小球受力分析如圖所示，則有T＝eq\f(mg,cosθ)，向心力Fn＝mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，當小球做圓周運動的平面上升時，θ增大，cosθ減小，則拉力T增大，角速度ω增大，金屬塊Q受到的靜摩擦力等于細線的拉力大小，則后一種狀況與原來相比，Q受到桌面的靜摩擦力增大，故A錯誤，B正確。細線與豎直方向成30°角時拉力T1＝eq\f(mg,cos30°)＝eq\f(2mg,\r(3))，細線與豎直方向成60°角時拉力T2＝eq\f(mg,cos60°)＝2mg，所以T2∶T1＝eq\r(3)∶1，故C錯誤。細線與豎直方向成30°角時向心力Fn1＝mgtan30°＝eq\f(\r(3),3)mg，細線與豎直方向成60°角時向心力Fn2＝mgtan60°＝eq\r(3)mg，所以Fn2∶Fn1＝3∶1，所以D正確。11．(2024·廣東茂名一中等五校聯考)傣族人民手中常常拿著鼓狀能轉的裝置叫做“轉經筒”，又稱“瑪尼”。把經文放在轉經筒里，轉經筒每轉動一周等于念誦經文一遍。某人制作了新式的轉經筒如圖所示，筒呈圓錐狀，且在頂端左右系著兩段一長一短的繩子，繩子的另一端掛著相同的小球，圓錐筒緩慢加速轉動，不計空氣阻力。下列說法正確的是()A．當角速度達到肯定值的時候，兩個球肯定同時離開圓錐筒B．當角速度漸漸增大，肯定是低的那個球先離開圓錐筒C．兩個球都離開圓錐筒后，它們肯定高度相同D．兩個球都離開圓錐筒后，兩段繩子的拉力肯定相同答案BC解析當小球剛離開圓錐筒時，設繩子與豎直方向的夾角為θ，依據牛頓其次定律有：mgtanθ＝mLsinθ·ωeq\o\al(2,0)，離開圓錐筒時的臨界角速度ω0＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，θ相同，可知繩子長的臨界角速度較小，所以當角速度漸漸增大，肯定是低的那個球先離開圓錐筒，A錯誤，B正確；兩個球都離開圓錐筒后，設繩子與豎直方向的夾角為α，兩球的角速度相同，依據ω＝eq\r(\f(g,Lcosα))知，Lcosα相同，即它們的高度相同，C正確；兩個球都離開圓錐筒后，由于Lcosα相同，繩長不同，則兩段繩子與豎直方向的夾角α不同，依據平行四邊形定則知，兩段繩子的拉力不同，D錯誤。二、非選擇題(本題共2小題，共23分)12．(9分)如圖所示，一質量為m＝0.5kg的小球，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動。g取10m/s2，求：(1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？(2)當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力多大？(3)若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過多大？答案(1)2m/s(2)15N(3)4eq\r(2)m/s解析(1)在最高點，對小球受力分析如圖甲，由牛頓其次定律得mg＋F1＝eq\f(mv2,R)①由于輕繩對小球只能供應指向圓心的拉力，即F1不行能取負值，亦即F1≥0②聯立①②得v≥eq\r(gR)代入數值得v≥2m/s所以，小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2m/s。(2)設當小球在最高點的速度為v2＝4m/s時，繩子施加的拉力為F2，由牛頓其次定律有mg＋F2＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，代入數據解得F2＝15N。(3)由分析可知，小球在最低點張力最大，速度最大，對小球受力分析如圖乙，由牛頓其次定律得F3－mg＝eq\f(mv\o\al(2,3),R)③將F3＝45N代入③得v3＝4eq\r(2)m/s即小球的最大速度不能超過4eq\r(2)m/s。13．(14分)半徑為R的水平圓臺可繞通過圓心O的豎直光滑細軸CC′轉動，如圖所示。圓臺上沿相互垂直的兩個半徑方向刻有槽，質量為mA的物體A放在一個槽內，A與槽底間的動摩擦因數為μ0，質量為mB的物體B放在另一個槽內，此槽是光滑的，A、B間用一長為l(l<R)且不行伸長的輕繩繞過細軸相連。設物體A與槽的側面之間沒有作用力，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，試求：