福建省南平市邵武第三中學高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若關于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三個實根x1，x2，x3，且滿足x1＜x2＜x3，則a的取值范圍為（）A．a＞ B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1參考答案：B【考點】利用導數研究函數的極值；函數的零點與方程根的關系．【專題】函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，構造函數f（x）=x3﹣x2﹣x，利用導數求出函數f（x）的極值，即可得到結論．【解答】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，設f（x）=x3﹣x2﹣x，則函數的導數f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此時函數單調遞增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此時函數單調遞減，即函數在x=1時，取得極小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣時，函數取得極大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三個實根x1，x2，x3，則﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故選：B．【點評】本題主要考查導數的應用，構造函數，求函數的導數，利用導數求出函數的極值是解決本題的關鍵．2.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點M，N分別在拋物線C上，且，直線MN交l于點P，，垂足為，若的面積為，則F到l的距離為（

）A.12 B.10 C.8 D.6參考答案：D【分析】作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．3.如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用向量的加減運算求解即可【詳解】據題意，．故選：B．【點睛】本題考查向量加法、減法以及向量的數乘運算，是基礎題4.從10名高三年級優秀學生中挑選3人擔任校長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有

入選的不同選法的種數為(

)

A．85

B．56

C．49

D．28參考答案：【知識點】排列、組合J2C丙沒有入選共種,其中甲乙都沒有入選有種,故共種.【思路點撥】先求出丙沒有入選，再求甲乙都沒有入選，求得。5.若P是雙曲線和圓的一個交點，且,，其中是雙曲線C1的兩個焦點，則雙曲線C1的離心率為（

）A.

B.3

C.2

D.參考答案：D6.若向量滿足，與的夾角為，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B7.已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，則?UP=（）A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）參考答案：A【考點】對數函數的單調性與特殊點；補集及其運算．【分析】先求出集合U中的函數的值域和P中的函數的值域，然后由全集U，根據補集的定義可知，在全集U中不屬于集合P的元素構成的集合為集合A的補集，求出集合P的補集即可．【解答】解：由集合U中的函數y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同樣：P=（0，），得到CUP=[，+∞）．故選A．【點評】此題屬于以函數的值域為平臺，考查了補集的運算，是一道基礎題．8.設f(x)是定義在上的奇函數，其導函數為，當時，，則不等式的解集為（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據不等式的特點構造函數，再利用導數研究函數的單調性，進而解不等式.【詳解】令，∵是定義在上的奇函數，∴是定義在上的偶函數，當時，，由，得，∴，則在上單調遞減將化為，即，則.又是定義在上的偶函數，∴在上單調遞增，且.當時，，將化為，即，則.綜上，所求不等式的解集為.故選：B.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性、奇偶性進行不等式求解，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解的關鍵在于根據的給不等式的特點，構造新函數，且所構造的函數能利用導數研究單調性，難度較大.9.我國南北朝數學家何承天發明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數的不足近似值和過剩近似值分別為和（，，，），則是的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道…，若令，則第一次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，若每次都取最簡分數，那么第四次用“調日法”后可得的近似分數為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由題意：第一次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，第二次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即,第三次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即,第四次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即,故選A.考點：合情推理.【易錯點晴】本題主要考查了合情推理這個知識點,屬于中檔題.本題易錯的地方:沒有讀懂題意,題目中“第一次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用這個公式計算的.在2016年高考考綱中增加了“數學文化”.考查了學生的讀題和計算能力,屬于基礎題.10.在等差數列{an}中，若a6+a8+a10=72，則2a10﹣a12的值為（）A．20 B．22 C．24 D．28參考答案：C【考點】84：等差數列的通項公式．【分析】由等差數列通項公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出結果．【解答】解：∵在等差數列{an}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列{an}的前n項和Sn滿足an+3SnSn﹣1=0（n≥2，n∈N+），a1=，則nan的最小值為

．參考答案：考點：數列遞推式．專題：等差數列與等比數列．分析：由題意可得數列{}是以3為首項，以3為公差的等差數列，求出其前n項和后代入nan，然后由數列的函數特性求得nan的最小值．解答： 解：∵an+3SnSn﹣1=0（n≥2，n∈N+），∴Sn﹣Sn﹣1+3SnSn﹣1=0，∵a1=，∴Sn?Sn﹣1≠0，化簡得：，（n≥2，n∈N+），∴數列{}是以3為首項，以3為公差的等差數列，則，，從而=（n≥2），要使nan最小，則需最小，即n=2時最小，此時．當n=1時，，故對任意n∈N*，nan的最小值為．點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，考查了數列的函數特性，是中檔題．12.已知=

參考答案：13.已知△ABC的面積為2，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，A=，則a的最小值為

．參考答案：【分析】利用余弦定理列出關系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．【解答】解：由三角形面積公式得：S=bcsinA=bc=2，即bc=8，根據余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，則a≥2，即a的最小值為2，故答案為：2．【點評】此題考查了余弦定理，特殊角的三角函數值，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．14.如圖，已知冪函數的圖象過點，則圖中陰影部分的面積等于

．參考答案：15.函數的定義域是

參考答案：16.（5分）已知圓心角為120°的扇形AOB的半徑為1，C為弧AB的中點，點D、E分別在半徑OA、OB上．若CD2+CE2+DE2=，則OD+OE的最大值是．參考答案：【考點】：向量在幾何中的應用；余弦定理．【專題】：計算題．【分析】：設OD=a且OE=b，由余弦定理加以計算，可得CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）﹣（a+b）+ab+2=，配方整理得3ab=2（a+b）2﹣（a+b）﹣，結合基本不等式建立不等關系，得2（a+b）2﹣（a+b）﹣≤（a+b）2，最后以a+b為單位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．解：設OD=a，OE=b，由余弦定理，得CD2=CO2+DO2﹣2CO?DOcos60°=a2﹣a+1．同理可得CE2=b2﹣b+1，DE2=a2+ab+b2從而得到CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）﹣（a+b）+ab+2=∴2（a2+b2）﹣（a+b）+ab﹣=0，配方得2（a+b）2﹣（a+b）﹣3ab﹣=0，即3ab=2（a+b）2﹣（a+b）﹣…（*）又∵ab≤[（a+b）]2=（a+b）2，∴3ab≤（a+b）2，代入（*）式，得2（a+b）2﹣（a+b）﹣≤（a+b）2，設a+b=m，代入上式有2m2﹣m﹣≤m2，即m2﹣m﹣≤0，得到﹣≤m≤，∴m最大值為，即OD+OE的最大值是．【點評】：本題給出扇形AOB的中心角為120°，弧AB中點為C，半徑OA、OB上的點D、E滿足CD2+CE2+DE2=時，求OD+OE的最大值．著重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．17.是內一點（不包括邊界），且，則的取值范圍是

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的大小；（2）若，求的周長的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）由條件結合正弦定理得，從而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由正弦定理得：.∴，，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分.．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴，即（當且僅當時，等號成立）從而的周長的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

法二：由已知：，由余弦定理得：（當且僅當時等號成立）∴（，又，∴，從而的周長的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

略19.在中，角，，的對邊分別是，，，，．（）求邊的值．（）若，求的面積．參考答案：（）（）（）∵，∴．（）∵，代入，，解出，∴，．20.

在平面直角坐標系中,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線的極坐標方程為,直線的參數方程為

（為參數,為直線的傾斜角）．（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線有唯一的公共點,求角的大小．參考答案：（1）當時,直線的普通方程為；當時,直線的普通方程為.………………2分

由,得,所以曲線的直角坐標方程是

…………….5分（2）把,代入,整理得.由,得,所以或,故直線傾斜角為或.

………………….10分21.如圖,內接于⊙,是⊙的直徑,是過點的直線,且.

(Ⅰ)求證:是⊙的切線;(Ⅱ)如果弦交于點,,

,,求.參考答案：（Ⅰ）證明：

為直徑，，為直徑，為圓的切線……

4分（Ⅱ）

∽∽在直角三角形中

……

10分22.某學校高三年級800名學生在一次百米測試中，成績全部在12秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據上述分組得到的頻率分布直方圖．（1）若成績小于13秒被認為優秀，求該樣本在這次百米測試中成績優秀的人數；（2）請估計本年級800名學生中，成績屬于第三組的人數；（3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現從第一、第五組中各抽取1名學生組成一個實驗組，求所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，由此能求出該樣本在這次百米測試中成績優秀的人數．（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，由此能估計本年級800名學生中，成績屬于第三組的人數．（2）由頻率分布直方圖及題設條件得到第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，∴該樣本在這次百米測試中