第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值總綱目錄教材研讀1.函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)突破2.函數(shù)的最值考點(diǎn)二求函數(shù)的最值（值域）考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）考點(diǎn)三函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用教材研讀1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在

區(qū)間D上是①

增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在

區(qū)間D上是②

減函數(shù)

圖象描述

自左向右看圖象是③

上升的

自左向右看圖象是④

下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這

一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)⑤

單調(diào)性

,區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的⑥

單調(diào)區(qū)間

.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)對(duì)于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M結(jié)論M為函數(shù)y=f(x)的⑦

最大值

M為函數(shù)y=f(x)的⑧

最小值

1.函數(shù)y=(2m-1)x+b在R上是減函數(shù),則

()A.m>

B.m<

C.m>-

D.m<-

答案

B

y=(2m-1)x+b在R上是減函數(shù),則2m-1<0,即m<

.B2.(2014北京,2,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是

()A.y=

B.y=(x-1)2C.y=2-x

D.y=log0.5(x+1)答案

A

y=(x-1)2僅在[1,+∞)上為增函數(shù),排除B;y=2-x=

為減函數(shù),排除C;因?yàn)閥=log0.5t為減函數(shù),t=x+1為增函數(shù),所以y=log0.5(x+1)為減函

數(shù),排除D;y=

和t=x+1均為增函數(shù),所以y=

為增函數(shù),故選A.A3.(2017北京朝陽(yáng)期中)已知函數(shù)f(x)=ax2-x,若對(duì)任意的x1,x2∈[2,+∞),且x1

≠x2,不等式

>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

答案

D由題意知函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則

解得a≥

,故選D.D4.已知函數(shù)y=

,那么

()A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1),(1,+∞)B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1)∪(1,+∞)C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1),(1,+∞)D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)∪(1,+∞)答案

A函數(shù)y=

的圖象可看作y=

的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,∵y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴y=

在(-∞,1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,故選A.A5.已知f(x)=

,x∈[2,6],則f(x)的最大值為

,最小值為

.2答案2;

解析易知函數(shù)f(x)=

在x∈[2,6]上為減函數(shù),故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=

.考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)典例1(1)判斷函數(shù)f(x)=x+

(a>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性;(2)求函數(shù)f(x)=-x2+2|x|+1的單調(diào)區(qū)間.考點(diǎn)突破解析(1)設(shè)x1,x2是任意兩個(gè)正數(shù),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

-

=

(x1x2-a).當(dāng)0<x1<x2≤

時(shí),0<x1x2<a,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,

]上是減函數(shù);當(dāng)

≤x1<x2時(shí),x1x2>a,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在[

,+∞)上是增函數(shù).綜上可知,函數(shù)f(x)=x+

(a>0)在(0,

]上是減函數(shù),在[

,+∞)上為增函數(shù).(2)易知f(x)=

=

畫出函數(shù)圖象如圖所示,可知單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和[0,1],單調(diào)遞減

區(qū)間為[-1,0]和[1,+∞).

方法技巧1.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法:注意證明函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性只能用定義

法和導(dǎo)數(shù)法.(2)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由圖

象的升、降判斷函數(shù)的單調(diào)性.2.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法(1)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)區(qū)間的定義來(lái)求.(2)圖象法:由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn):一是單調(diào)區(qū)間必須

是函數(shù)定義域的子集;二是圖象不連續(xù)且有多個(gè)上升段(下降段)的函數(shù),

其單調(diào)增(減)區(qū)間要分開寫,用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.(3)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1-1下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是

()A.y=

B.y=cosx

C.y=ln(x+1)

D.y=2-x

答案

D選項(xiàng)A中,y=

=

的圖象是將y=-

的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,故y=

在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項(xiàng)B中,y=cosx在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),不符合題意;選項(xiàng)C中,y=ln(x+

1)的圖象是將y=lnx的圖象向左平移1個(gè)單位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)

上為增函數(shù),不符合題意;選項(xiàng)D符合題意.D1-2函數(shù)y=|x|(1-x)在區(qū)間A上是增函數(shù),那么區(qū)間A是

()A.(-∞,0)

B.

C.[0,+∞)

D.

B答案

B(數(shù)形結(jié)合法)y=|x|(1-x)=

=

=

由圖易知原函數(shù)在

上單調(diào)遞增.故選B.畫出函數(shù)的圖象,如圖.典例2(1)函數(shù)y=x+

的最小值為

;(2)已知函數(shù)f(x),對(duì)于實(shí)數(shù)t,若存在a>0,b>0,滿足?x∈[t-a,t+b],使得|f(x)-f(t)|≤2,則記a+b的最大值為H(t).①當(dāng)f(x)=2x時(shí),H(0)=

;②當(dāng)f(x)=x2且t∈[1,2]時(shí),函數(shù)H(t)的值域?yàn)?/p>

.考點(diǎn)二求函數(shù)的最值(值域)12[

-

,2)∪[2

,4]答案(1)1(2)①2②[

-

,2)∪[2

,4]解析(1)令

=t,則t≥0,x=t2+1,所以y=t2+t+1=

+

,當(dāng)t≥0時(shí),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t=0時(shí),ymin=1.(2)①當(dāng)t=0時(shí),|f(x)-f(0)|=|2x|≤2,所以-1≤x≤1,即x∈[0-1,0+1],所以a=b=

1,H(0)=2.②|f(x)-f(t)|=|x2-t2|≤2,所以t2-2≤x2≤t2+2.i.若t∈(

,2],則0<t2-2≤x2≤t2+2,又x∈[t-a,t+b],此時(shí)x∈[

,

],所以a=t-

,b=-t+

,所以a+b=

-

=

關(guān)于t2單調(diào)遞減,所以a+b∈[

-

,2).ii.若t∈[1,

],則t2-2≤0≤x2≤t2+2,又x∈[t-a,t+b],此時(shí)x∈[-

,

],所以a=t+

,b=

-t,所以a+b=2

關(guān)于t2單調(diào)遞增,所以a+b∈[2

,4],綜上,a+b∈[

-

,2)∪[2

,4].方法技巧求函數(shù)最值的三種常用方法(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出最值.(3)換元法:對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù),可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)

的方法求最值.2-1函數(shù)f(x)=

的最大值是

.解析當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)=

為減函數(shù),所以f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=1;當(dāng)x<1時(shí),易知函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,為f(0)=2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案222-2用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值,則函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+

4,-x+8}的最大值是

.答案6解析在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的圖象后,取

位于下方的部分得函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的圖象,如圖所示.

由圖象可知,函數(shù)f(x)在x=2處取得最大值6.6考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題方向一比較函數(shù)值的大小典例3已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x2>x1>1

時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f

,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為

()A.c>a>b

B.c>b>a

C.a>c>b

D.b>a>cD答案

D解析根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且在(1,+∞)上是

減函數(shù),所以a=f

=f

,f(2)>f(2.5)>f(3),所以b>a>c.命題方向二解函數(shù)不等式典例4已知函數(shù)f(x)=

,x∈R,若對(duì)任意θ∈

,都有f(msinθ)+f(1-m)>0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()A.(0,1)

B.(0,2)

C.(-∞,1)

D.(-∞,1]D答案

D解析∵f(x)=

,∴f(-x)=

=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù),∴f(msinθ)>-f(1-m),即f(msinθ)>f(m-1),又∵f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),∴msinθ>m-1對(duì)θ∈

恒成立.①當(dāng)θ=

時(shí),sinθ=1,msinθ>m-1恒成立.②當(dāng)θ∈

時(shí),

>1,msinθ>m-1恒成立等價(jià)于m<

恒成立,即m<

,∴m≤1.綜上,m≤1,故選D.命題方向三求參數(shù)的取值范圍典例5已知函數(shù)f(x)=

其中a>0,且a≠1,若f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.解析要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則有

即

解得2<a≤3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3].答案(2,3](2,3]方法技巧函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛,可用來(lái)比較函數(shù)值的大小、解函數(shù)不等

式、求參數(shù)的范圍等.(1)利用函數(shù)單調(diào)性比較兩個(gè)函數(shù)值的大小若f(x)在給定的區(qū)間A上是遞增的,任取x1,x2∈A,則x1<x2?f(x1)<f(x2);若f(x)在給定的區(qū)間A上是遞減的,任取x1,x2∈A,則x1<x