第16講拋物線1．了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的幾何性質．2．通過拋物線與方程的學習，進一步體會數形結合思想．3．了解拋物線的簡單應用．1定義平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.如圖，P在拋物線上，2幾何性質 標準方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)圖象頂點(0,0)對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點F(F(?F(0,F(0,?準線方程x=?x=y=?y=離心率e=13一些常見結論①過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A,B兩點的線段AB，稱為拋物線的“通徑”，即|AB|=2p②若A、B在拋物線y2=2px上，F【題型1拋物線的定義與方程】【典題】（1）與圓x－22+y2=1外切，且與直線x+1=0【解析】由圓x－22+y2=1可得：圓心F(2，設所求動圓圓心為P(x,y)過點P作PM⊥直線l：x+1=0，則|PF|－r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得點P的軌跡是到定點F(2,0)的距離和到直線L：x=－2的距離相等的點的集合．由拋物線的定義可知：點P的軌跡是拋物線，定點F(2,0)為焦點，定直線L：x=－2是準線．∴拋物線的方程為：y2∴所求軌跡方程是y2【點撥】①直線l與圓O相切?圓心O到直線l的距離d=r;②根據拋物線定義求方程，要確定好焦點與準線.鞏固練習1.若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1，則動點P的軌跡方程是．【答案】y2【解析】∵點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1∴點P到直線x=－4的距離和它到點(4,0)的距離相等．根據拋物線的定義可得點P的軌跡是以點(4,0)為焦點，以直線x=－4為準線的拋物線，∴p=8，∴P的軌跡方程為y2故答案為：y22.到直線x=－2與到定點P(2,0)的距離相等的點的軌跡是()A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．直線【答案】C【解析】動點M到定點P(2,0)的距離與到定直線l：x=－2的距離相等，所以M的軌跡是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，故選：C．【題型2拋物線的圖象及其性質】【典題】（1）已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點M，N在拋物線上，且M，N，F三點共線點【解析】如圖，分別過M，N作ME，由PN→=由拋物線定義可知NF=NG再由△PNG∽△PME，得∴MF=2NF，則NF=1∴p故答案為：23【點撥】①本題主要利用了相似三角形的性質(A字型)與拋物線的定義得到各線段的比值關系，平時解題中要多觀察圖象；②題中線段過多，顯得有些亂，其實在考試的非解答題中，遇到這類似問題，由于題目中沒出現任一線段長度，確定p|MF|=FKME后，可設某一線段等于一具體數值，比如本題設PN=1(其實令【典題】（2）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點【解析】如圖所示：連接MF，∵y2=4x的焦點為F，準線為∴FH=2∵M，N分別為PQ∵PQ垂直l于點Q∴四邊形MQFR是平行四邊形，∵PQ=PF，∠∴MF⊥PQ，∴四邊形MQHF是矩形，∴FR=MQ=2，故答案為：2．【點撥】①△PQF為等邊三角形?三線合一：MF⊥PQ②M，N分別為PQ，【典題】（3）已知F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，K為C的準線與x軸的交點，點P在拋物線C上，設∠①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在點P，滿足其中正確結論的序號是．【解析】①由于對稱性，不妨設點P在第一象限，設點P(m,n)，則n當直線PK與拋物線相切時，可使β取得最大值．可設直線PK方程為y=k(x+p由y=k(x+p2則?=k∵β是銳角，∴tanβ=k=1?β=π4②過P作PQ⊥x軸于點Q，在Rt△PQK中在Rt△PQF中，∴tanβ=sinθ，即②③在△PKF中，由正弦定理知，若α=2β，則m+p故存在點P符合題意，即③正確．故答案為：①②③．【點撥】第一問是通過幾何法確定直線PK與拋物線相切時，可使β取得最大值；第二問，涉及到三角函數tanβ、sinθ之類的，可想到構造直角三角形；第三問，是否存在點P，用了假設法確定m是否在自身范圍之內，即m>0與否.鞏固練習1.如圖過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若A．2 B．32 C．3 D．6【答案】B【解析】過A，B|BC|=2|BF|=2BM，∠MCB=30°所以F為AC的中點，故選：B．2.【多選題】拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．已知拋物線y2=4x的焦點為F，一束平行于x軸的光線l1從點M(3,1)射入，經過拋物線上的點P(xA．x1x2=1C．|PQ|=254 D．l1與【答案】ABC【解析】如圖所示，由題意可得，點P的坐標為(14,1)∴x1x∴kPQ=由拋物線的定義可知，|PQ|=x1∵l1與∴l1與l2之間的距離d=|故選：ABC．3.已知點A(0,4)，拋物線C：x2=2py(0<p<4)的準線為1，點P在C上，作PH⊥l于H，【答案】x2【解析】設拋物線的焦點為F(0,p2)，∵|PH|=|PA|，不妨設點P在第一象限，過點P作PQ⊥y軸于點Q則Q為AF的中點，∵∠APH=120°，∴∴|PQ|=3∴點P的坐標為(∵點P在拋物線C上，化簡得5p2+112p－192=0∴拋物線方程為x24.【多選題】已知拋物線x2=1A．點F的坐標為(18，B．若直線MN過點F，則xC．若MF→=λNF→，D．若|MF|+|NF|=32，則線段MN的中點P到x【答案】BCD【解析】拋物線x2=12y的焦點為F根據拋物線的性質可得：MN過F時，則x1x2若MF→=λNF→，則|MN|拋物線x2=12過點M、N、P分別作準線的垂線MM'則|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|所以|PP'|=所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP'|?18=故選：BCD．5如圖，點A是曲線y=x2+2(y≤2)上的任意一點，P(0,－2)，Q(0,2)，射線QA交曲線y=18x2于B點，BC垂直于直線y=3A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①都錯誤，②正確【答案】A【解析】曲線y=x2為雙曲線y22?x2由雙曲線定義知，||AP|－|AQ||=22，又曲線y=18x2即拋物線x過B作BD垂直直線y=－2于D由拋物線定義，知|QB|+|BC|=|BD|+|BC|=|CD|=5，②故選：A．【題型3最值問題】【典題】（1）已知O是坐標原點，A，B是拋物線y=x2A．|OA|?|OB|≥2B．|OA|+|OB|≥2C．直線AB過拋物線y=x2的焦點 D．O到直線AB【解析】設A(∵OA⊥OB，∴OA∴OA∴1+x∴OA=1+當且僅當x12=1x又|OA|+|OB|≥2|OA|?|OB|≥22，∵直線AB的斜率為x∴直線AB的方程為：y－x當x=0時，y=1，焦點坐標(0,14)不滿足直線AB原點(0,0)到直線AB：(x1?故選項D正確，故選：ABD．【點撥】①題中垂直關系相當了向量數量積為0，②本題求最值用了基本不等式a+b≥2ab【典題】（2）若點P是曲線C1：y2=16x上的動點，點Q是曲線C2：x－42+y2=9【解析】設P的坐標(x,y),由拋物線的方程y2可得焦點F(4,0),恰好為圓：x－42+因為P在拋物線上，所以|OP|=|PQ|的最小值為P到圓心的距離減半徑3，即P到準線的距離減3(P、Q、F三點共線時取到)，所以|PQ|=x+4－3=x+1，所以|設t=x+1，則x=t－1，所以PQ當t=157，即x=87所以|PQOP|故答案為：158【點撥】求PQOP的最小值，而它是由兩個動點P、Q(1)可先假設點P是定點，思考點Q在哪里PQOP取到最小值(此時兩動點問題變成了一動點問題)，而P是定點，OP是確定的，由拋物線定義可知PQmin(2)接著再思考點P在哪里PQOP取到最小值，即思考x為何值時，鞏固練習1.若點A為拋物線y2=4x上一點，F是拋物線的焦點，|AF|=6，點P為直線x=－1【答案】221【解析】由題意可知，由拋物線的定義可知，代入拋物線方程，得yA2=20，設點F關于x=－1的對稱點為E，則∴|PA|+|PF|=|PA|+|PE|≥|AE|=(5+32.已知點Q(22,0)及拋物線y=x24上一動點P(【答案】2【解析】用拋物線的定義：焦點F(0,1)，準線設P到準線的距離為dy0(當且僅當F、Q、P共線時取等號)故y0+|PQ|的最小值是故答案為：2．3.已知點M(2,0)，點P在曲線y2=4x上運動，點F為拋物線的焦點，則|PM【答案】4【解析】設P(x,y)，可得|PM當且僅當x=2時取得最小值4．4.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，M(x1,y1【答案】π3【解析】∵拋物線方程為：y2=4x設P(m,n)(m>0)，則Q(0,n),∴PQ∴當m=12時，5.已知點P是拋物線y2=4x上動點，F是拋物線的焦點，點A的坐標為(－1,0)，則【答案】2【解析】由拋物線的方程y2=4x可得焦點過拋物線上的點P作PD垂直于準線交于D點，由拋物線的性質可得PF=PD在△PAD中，所以PDPA最小時，則cos∠PAF最小，則∠PAF而∠PAF最大時即過點A的直線與拋物線相切，設P(x,y)在第一象限，y>0，由y所以在P處的切線的斜率為1整理可得：2x=x+1，解得x=1，代入拋物線的方程可得y=2所以PFPA的最小值為故答案為：22．一、單選題1．（2023·北京·統考高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2．（2007·山東·高考真題）設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點做軸，令，則，利用拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離求解即可.【詳解】如圖所示過點做軸，令，因為是拋物線的焦點，與軸正向的夾角為，所以由拋物線的性質得，解得，所以，故選：B3．（2007·全國·高考真題）設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點．若，則（

）A．9 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設出三點的坐標，把（三個焦半徑之和）轉化為三個點線距之和，用上條件即可求解.【詳解】解：設點的坐標分別為．又，則，，．由拋物線的定義可得：，，故選：B4．（2022·天津·統考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設點為第二象限內的點，聯立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：C.5．（2021·天津·統考高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.二、多選題6．（2023·全國·統考高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

7．（2022·全國·統考高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.三、填空題8．（2023·全國·統考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.9．（2023·天津·統考高考真題）過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為．【答案】【分析】根據圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，即可根據直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系解出．【詳解】易知圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當時，同理可得．故答案為：．10．（2005·重慶·高考真題）連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是.（填寫所有正確選項的序號）①菱形;②有3條邊相等的四邊形;③梯形;④平行四邊形;⑤有一組對角相等的四邊形.【答案】②③⑤【分析】根據具體的情況在拋物線上進行分析,畫圖即可得到結果.【詳解】解:關于選項A,因為菱形是4條邊相等,而且對角線垂直,但是拋物線只有一個頂點,所以無法做到兩條直線垂直,且各邊長度相等,最多三邊相等,故①錯誤,②正確;因為梯形是只有上底和下底平行,作兩條垂直于對稱軸的直線交拋物線于四點,順次連接,即可得到,故③正確;連接拋物線上四點,只有垂直于對稱軸的直線平行,其他的不可能做到平行且相等,故④錯誤;以一個點為頂點做兩條射線交拋物線于兩點,剩下的角有一個角取值,故⑤正確.故答案為:②③⑤11．（2020·山東·統考高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線的左焦點重合，若兩曲線相交于，兩點，且線段的中點是點，則該雙曲線的離心率等于.【答案】【分析】利用拋物線的性質，得到M的坐標，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.【詳解】由題意知：拋物線方程為：在拋物線上，所以在雙曲線上，，又，故答案為：四、解答題12．（2008·浙江·高考真題）已知曲線C是到點和到直線距離相等的點的軌跡．l是過點的直線，M是C上（不在l上）的動點；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數．【答案】(1)(2)2x?y＋2＝0【分析】（1）設N（x,y）為C上的點，進而可表示出|NP|，根據N到直線的距離和|NP|進而可得曲線C的方程．（2）先設，直線l：y＝kx＋k,進而可得B點坐標，再分別表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根據求得k.【詳解】（1）設N（x,y）為C上的點，則，N到直線的距離為．由題設得，化簡，得曲線C的方程為．（2）設，明顯直線l的斜率存在，設直線l：y＝kx＋k，則B（x,kx＋k），從而．在Rt△QMA中，因為，．所以，∴，．當k＝2時，，從而所求直線l方程為2x?y＋2＝0，使得為常數13．（2003·上海·高考真題）在以O為原點的直角坐標系中，點為的直角頂點．已知，且點B的縱坐標大于零．(1)求向量的坐標；(2)求圓關于直線對稱的圓的方程；(3)是否存在實數a，使拋物線上總有關于直線對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍．【答案】(1);(2);(3)存在實數，.【分析】（1）設出要求的向量的坐標，根據所給的模長的關系和直角三角形兩條直角邊垂直的關系，寫出關于向量坐標的關系式，解方程，舍去不合題意的結果，得到向量的坐標.（2）要求圓關于直線的對稱圓，只要求出圓心關于直線的對稱點即可，先根據向量的坐標求出點的坐標，從而求出直線的方程,通過計算得到結果.（3）設出拋物線上關于直線的對稱的兩個點，兩個點的中點在直線上且兩點連線與已知直線垂直，寫出所設的點的關系，構造一元二次方程，根據方程有解用判別式得到結果.【詳解】（1）設，則由,得，解得或.因為，所以，解得，得，所以.（2）由，得，于是直線方程為，由，得，得圓心為，半徑為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以所求圓的方程為（3）存在實數,理由如下：設為拋物線上關于直線對稱兩點，則，得，即為方程的兩個相異實根，于是由，得.所以當時，拋物線上總有關于直線對稱的兩點.故實數的取值范圍為.14．（2005·上海·高考真題）已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離為5，過A作軸，垂足為B，OB的中點為M．(1)求拋物線的方程；(2)過M作，垂足為N，求點N的坐標；(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析.【分析】（1）根據拋物線的定義有求p，即可得拋物線方程.（2）由題設可得、、，寫出直線、直線，聯立求它們的交點坐標即可.（3）討論、兩種情況下的直線與圓的位置關系，利用圓心到直線的距離和半徑的大小關系得出位置關系．【詳解】（1）由題設，，則，故拋物線的方程為.（2）由（1）及已知可得：，故，而，所以直線為，故直線為，則，解得，故.（3）由題意，圓M的圓心是，半徑為2．當時，直線AK為，此時直線AK與圓M相離，當時，直線AK為，即，圓心M到直線AK的距離，當，即時直線AK與圓M相離；當，即時直線AK與圓M相切；當，即時直線AK與圓M相交．15．（2021·全國·統考高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設，則，所以，由在拋物線上可得，即，據此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優解】軌跡方程+數形結合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數+基本不等式法由題可設．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當且僅當，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點評】方法一根據向量關系，利用代點法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關于的表達式，然后利用分類討論，結合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點Q的軌跡方程，然后利用數形結合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關于的表達式，利用換元方法轉化為二次函數求得最大值，進而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數法，由題可設，求得x,y關于的參數表達式，得到直線的斜率關于的表達式，結合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.五、雙空題16．（2005·北京·高考真題）拋物線的準線方程是．焦點坐標是．【答案】【分析】根據拋物線準線和焦點坐標的定義直接得到答案.【詳解】拋物線，則，準線方程是，焦點坐標是.故答案為：；一、單選題1．拋物線W：的焦點為F.對于W上一點P，若P到直線的距離是P到點F距離的2倍，則點P的橫坐標為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】設出P的橫坐標為，利用條件列出方程，去掉不合題意的解，求出.【詳解】由題意得：，準線方程為，設點P的橫坐標為，，由拋物線的定義可知：則，解得：或（舍去），從而點P的橫坐標為1故選：A2．過拋物線：焦點的直線與交于，兩點，過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．20【答案】B【分析】依題意拋物線的準線為，即可求出，從而求出拋物線方程，再由，求出，從而求出直線的方程，聯立直線與拋物線方程，求出，再根據焦半徑公式計算可得.【詳解】依題意拋物線的準線為，即，解得，所以拋物線方程為，則焦點為，又，所以，解得，所以，所以，所以直線的方程為，由，消去整理得，解得、，即，所以.故選：B3．拋物線的焦點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡得，即得焦點坐標.【詳解】由題得，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C4．拋物線的焦點與圓C：上動點的距離的最小值為（

）A．7 B．3 C． D．1【答案】B【分析】確定拋物線的焦點坐標，以及圓的圓心和半徑，根據拋物線的焦點與圓C：上動點的距離的最小值為：,求得答案.【詳解】拋物線的焦點為，圓C：即，圓心為,半徑，則拋物線的焦點與圓C：上動點的距離的最小值為：,故選：B5．已知A，B兩點在以F為焦點的拋物線上，并滿足，過弦AB的中點M作拋物線對稱軸的平行線，與OA交于N點，則MN的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知結合拋物線的性質，求得坐標，進而求得坐標，即可得解.【詳解】由，利用拋物線的對稱性，不妨設A在第一象限，作垂直于拋物線準線，垂足分別為，作于C,如圖所示，設，由拋物線的定義知,在中，，則,所以，所以直線AB的方程為,與拋物線的方程聯立得，解得，,所以，，故AB的中點,直線OA的方程為，令，得，所以MN的長為故選：C6．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，若，在準線上的射影為，，則等于()．A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由拋物線的定義及內錯角相等，可得∠AFA1=∠A1FK，同理可證∠BFB1=∠B1FK，由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，可得答案．解答：解：如圖：設準線與x軸的交點為K，∵A、B在拋物線的準線上的射影為A1、B1，由拋物線的定義可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由內錯角相等得∠AA1F=∠A1FK，∴∠AFA1=∠A1FK．同理可證∠BFB1=∠B1FK．由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°，故選B．二、多選題7．平面內到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線.則（

）A．曲線的方程為B．曲線關于軸對稱C．當點在曲線上時，D．當點在曲線上時，點到直線的距離【答案】AC【分析】根據拋物線的定義可判斷曲線C為拋物線，求出其方程，結合拋物線的性質一一判斷各選項，可得答案.【詳解】由拋物線定義，知曲線C是以為焦點，直線為準線的拋物線，則焦準距，故其方程為，故A正確；拋物線關于y軸對稱，不關于x軸對稱，故B錯誤；由知，故C正確；當點在曲線上時，由于拋物線開口向上，當點位于原點時，到直線l的距離最小為1，故點P到直線l的距離，所以D錯誤，故選：.8．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C：，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點A反射后，再經C上另一點B反射后，沿直線射出，經過點N.下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則MB平分C．若，則 D．若，延長交直線于點D，則D，B，N三點共線【答案】CD【分析】對AB：根據已知條件，求得的坐標，結合拋物線焦點弦的計算，以及的長度關系，即可判斷；對CD：根據已知條件，求得的坐標，即可求得，再結合直線的方程，求得的坐標，即可判斷.【詳解】對A：若，則拋物線方程為，其焦點坐標為，由題可知，此點坐標為，又三點共線，則直線的斜率，故直線的方程為，聯立拋物線方程可得：，即，解得，即，代入拋物線方程可得，則點的坐標為，故，故A錯誤；對B：根據題意，作圖如下：根據選項A中所求可得，又，故，則△中，，又//，，則，即不平分，故B錯誤；對C：若，此時拋物線方程為，則焦點坐標為，則點坐標為，又三點共線，且所在直線為，對，令，解得或，即，則點的坐標，故，C正確；對D：根據題意，作圖如下：根據選項C中所求，點坐標為，故直線的方程為：，聯立可得，，即點的坐標為，又點的坐標我，且與軸平行，故三點共線，D正確.故選：CD.三、填空題9．拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為．【答案】/【分析】利用待定系數法，即可求出，再根據拋物線焦點的概念，即可求出結果.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：.10．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點，為坐標原點，若的面積為，則雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】求出雙曲線的漸近線與準線的焦點坐標，利用的面積，找到的關系式，即可求出離心率.【詳解】因為雙曲線的兩條漸近線為,拋物線的準線為，所以，因為的面積為,所以故答案為：11．已知圓：和拋物線：，請寫出與和都有且只有一個公共點的一條直線的方程.（寫出一條即可）【答案】（或，或，或，或，或，寫出一個即可）【分析】所求直線l方程可設為，利用其與圓相切和與拋物線有且只有一個公共點列方程即可求得的值，進而得到直線的方程.【詳解】圓：的圓心，半徑，由題意可得所求直線l斜率存在，其方程可設為，由，整理得，當時，方程可化為，方程組有一組解，又直線與圓相切，則，或；當時，由直線l與拋物線相切可得，，即，又由直線l與圓相切可得，，即聯立，整理得解之得或或或則直線l方程為或或或綜上，直線l方程為或，或，或，或，或，故答案為：（或，或，或，或，或，寫出一個即可）12．已知拋物線E：的焦點為F，直線l的傾斜角，l與拋物線交于，兩點，且，過F作l的垂線，垂足為D，P為拋物線上任意一點，則的最小值為．【答案】8【分析】先設出直線l的方程并代入拋物線方程，再利用根與系數的關系及已知條件得到直線l過點，進而得到D在以FG為直徑的圓的上運動，最后利用拋物線的定義、三角形的三邊關系及垂線段最短求解．【詳解】如圖，設直線l與x軸的交點為，則可設l的方程為，聯立，整理得，∴，，∴，∴或（舍去），G的坐標為．∵，直線l的傾斜角，點D在以FG為直徑的圓的上運動分別過P