2024年長沙市初中學業水平考試試卷數學注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號；2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A B. C. D.2.我國近年來大力推進國家教育數字化戰略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數量超過7.8萬門，學習人次達1290000000建設和應用規模居世界第一．用科學記數法將數據1290000000表示為（）A. B. C. D.3.“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器．“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是（）A. B. C. D.4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.5.為慶祝五四青年節，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數據的中位數是（）A.9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.66.在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（）A. B. C. D.7.對于一次函數，下列結論正確的是（）A.它的圖象與y軸交于點 B.y隨x的增大而減小C.當時， D.它的圖象經過第一、二、三象限8.如圖，在中，，，．則的度數為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（）A.4 B. C.5 D.10.如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點P．設，，則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發現三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．12.某鄉鎮組織“新農村，新氣象”春節聯歡晚會，進入抽獎環節．抽獎方案如下：不透明箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個，每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會，小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為______．13.要使分式有意義，則x需滿足的條件是______．14.半徑為4，圓心角為的扇形的面積為______（結果保留）．15.如圖，在中，點D，E分別是的中點，連接．若，則的長為______．16.為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數，比如2010年對應的四位數是2010），得到最終的運算結果．只要參與者報出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結果是915，則這位參與者的出生年份是______．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．18.先化簡，再求值：，其中．19.如圖，在中，，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線分別交于點D，E，連接（1）求的長；（2）求的周長．20.中國新能源產業異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術路線，加大研發投入形成了領先的技術優勢，2023年，中國新能源汽車產銷量均突破900萬輛，連續9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調查活動（每人限選其中一種類型），并將數據整理后，繪制成下面有待完成的統計表、條形統計圖和扇形統計圖類型人數百分比純電m混動n氫燃料3油車5請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次調查活動隨機抽取了_____人；表中______，______；（2）請補全條形統計圖；（3）請計算扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有多少人？21.如圖，點C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數．22.刺繡是我國民間傳統手工藝．湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品．已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？（2）該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買A種湘繡作品多少件？23.如圖，在中，對角線，相交于點O，．（1）求證：；（2）點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．24.對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（）（2）如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．（3）已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．25.已知四個不同點，，，都在關于x的函數（a，b，c是常數，）的圖象上．（1）當A，B兩點的坐標分別為，時，求代數式的值；（2）當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數圖象與x軸的公共點的個數，并說明理由；（3）當時，該函數圖象與x軸交于E，F兩點，且A，B，C，D四點坐標滿足：，．請問是否存在實數，使得，，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時函數的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．2024年長沙市初中學業水平考試試卷數學注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號；2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知定義：軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據此逐項判斷即可．【詳解】解：A中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B中圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D中圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意，故選：B．2.我國近年來大力推進國家教育數字化戰略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數量超過7.8萬門，學習人次達1290000000建設和應用規模居世界第一．用科學記數法將數據1290000000表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查科學記數法，科學記數法的一般形式為，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【詳解】解：用科學記數法將數據1290000000表示為，故選：C．3.“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器．“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了溫差的概念和有理數的運算，解決本題的關鍵是氣溫最高值與最低值之差，計算解決即可．【詳解】解：能夠耐受的溫差是，故答案為：D．4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查同底數冪的除法、二次根式的加減、冪的乘方、完全平方公式的運算，解題的關鍵是熟知運算法則．【詳解】解：A、，計算正確；B、不能合并，原計算錯誤；C、，原計算錯誤；D、，原計算錯誤；故選A．5.為慶祝五四青年節，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數據的中位數是（）A.9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了中位數的定義，中位數是一組數據從小到大排列后居于中間的一個數或中間兩個數的平均數，根據中位數的定義解題即可．【詳解】解：甲班演唱后七位評委給出的分數為：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位數為：9.4，故選B．6.在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查坐標與圖形變換-平移變換，根據點的坐標平移規則：左減右加，上加下減求解即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為，即，故選：D．7.對于一次函數，下列結論正確的是（）A.它的圖象與y軸交于點 B.y隨x的增大而減小C.當時， D.它的圖象經過第一、二、三象限【答案】A【解析】【分析】本題考查一次函數的性質，根據一次函數的性質逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：A.當時，，即一次函數的圖象與y軸交于點，說法正確；B.一次函數圖象y隨x的增大而增大，原說法錯誤；C.當時，，原說法錯誤；D.一次函數的圖象經過第一、三、四象限，原說法錯誤；故選A．8.如圖，在中，，，．則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、平行線的性質等知識點，掌握平行線的性質成為解題的關鍵．由三角形內角和定理可得，再根據平行線的性質即可解答．【詳解】解：∵在中，，，∴,∵，∴．故選：C．9.如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據垂徑定理得到，再根據勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，弦的長為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．10.如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點P．設，，則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查菱形的性質、含30度角的直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質求解x、y的關系式是解答的關鍵．過D作，交延長線于H，則，根據菱形的性質和平行線的性質得到，，，進而利用含30度角的直角三角形的性質，證明得到，然后代值整理即可求解．【詳解】解：如圖，過D作，交延長線于H，則，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發現三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】甲【解析】【分析】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．詳解】解：∵，∴甲種秧苗長勢更整齊，故答案為：甲．12.某鄉鎮組織“新農村，新氣象”春節聯歡晚會，進入抽獎環節．抽獎方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個，每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會，小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查概率公式，掌握概率的意義是解題的關鍵．利用概率公式直接進行計算．【詳解】解：小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為，故答案為：．13.要使分式有意義，則x需滿足的條件是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得，故答案為：．14.半徑為4，圓心角為的扇形的面積為______（結果保留）．【答案】【解析】【分析】本題考查扇形的面積公式，根據扇形的面積公式（n為圓心角的度數，r為半徑）求解即可．【詳解】解：由題意，半徑為4，圓心角為的扇形的面積為，故答案為：．15.如圖，在中，點D，E分別是中點，連接．若，則的長為______．【答案】24【解析】【分析】本題主要考查三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵．【詳解】解：∵D，E分別是，的中點，∴是的中點，∴，故答案為：．16.為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數，比如2010年對應的四位數是2010），得到最終的運算結果．只要參與者報出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結果是915，則這位參與者的出生年份是______．【答案】2009【解析】【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關鍵．設這位參與者的出生年份是x，從九個數字中任取一個數字為a，根據題意列二元一次方程，整理得，根據a的取值得到x的9種可能，結合實際即可求解．【詳解】解：設這位參與者的出生年份是x，從九個數字中任取一個數字為a，根據題意，得，整理，得∴，∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學生，∴x只能是2009，故答案為：2009．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，先根據絕對值、零指數冪、負整數指數冪的意義，特殊角的三角函值化簡，再算加減即可．【詳解】解：原式．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本題考查整式的混合運算及其求值，先根據整式的混合運算法則化簡原式，再代值求解即可．【詳解】解：．當時，原式．19.如圖，在中，，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線分別交于點D，E，連接（1）求的長；（2）求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線的點到線段兩個端點的距離相等，斜中半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識點，熟記相關結論是解題關鍵．（1）由題意得是線段的垂直平分線，故點D是斜邊的中點．據此即可求解；（2）根據、的周長即可求解；【小問1詳解】解：由作圖可知，是線段的垂直平分線，∴在中，點D是斜邊的中點．∴．【小問2詳解】解：在中，．∵是線段的垂直平分線，∴．∴的周長．20.中國新能源產業異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術路線，加大研發投入形成了領先的技術優勢，2023年，中國新能源汽車產銷量均突破900萬輛，連續9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調查活動（每人限選其中一種類型），并將數據整理后，繪制成下面有待完成的統計表、條形統計圖和扇形統計圖類型人數百分比純電m混動n氫燃料3油車5請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次調查活動隨機抽取了_____人；表中______，______；（2）請補全條形統計圖；（3）請計算扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有多少人？【答案】（1）50；30，6（2）見解析（3）（4）人【解析】【分析】本題考查統計表、條形統計圖和扇形統計圖的綜合，理解題意，能從統計圖中獲取有用信息是解答的關鍵．（1）用喜歡油車人數除以其所占的百分比可求得調查人數，用喜歡氫燃料人數除以調查人數可求得b，進而用1減去喜歡其他車型所占的百分比可求解a；（2）先求得n，進而可補全條形統計圖；（3）用360度乘以喜歡混動所占的百分比即可求解；（4）用總人數乘以樣本中喜歡新能源汽車所占的百分比即可求解．【小問1詳解】解：本次調查活動隨機抽取人數為（人），，則，，則，故答案為：50；30，6；【小問2詳解】解：∵，∴補全條形統計圖如圖所示：【小問3詳解】解：扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數為；【小問4詳解】解：（人）．答：估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有3600人．21.如圖，點C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，證明是等邊三角形是解答的關鍵．（1）直接根據全等三角形的判定證明結論即可；（2）根據全等三角形的性質得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質求解即可．【小問1詳解】證明：在與中，，所以；【小問2詳解】解：因為，，所以，，所以是等邊三角形．所以．22.刺繡是我國民間傳統手工藝．湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品．已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？（2）該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買A種湘繡作品多少件？【答案】（1）A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元（2）最多能購買100件A種湘繡作品【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用．（1）設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據“購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可解題；（2）設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品件，總費用單價數量，結合總費用不超過50000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整數值即可得出該校最大可以購買湘繡的數量．【小問1詳解】設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元．根據題意，得，解得答：A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元．【小問2詳解】設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品件．根據題意，得，解得．答：最多能購買100件A種湘繡作品．23.如圖，在中，對角線，相交于點O，．（1）求證：；（2）點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】本題考查矩形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、銳角三角函數等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解答的關鍵．（1）直接根據矩形的判定證明即可；（2）先利用勾股定理結合矩形的性質求得，．進而可得，再根據等腰三角形的判定得到，過點O作于點F，根據等腰三角形的性質，結合勾股定理分別求得，，，然后利用正切定義求解即可．【小問1詳解】證明：因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形是矩形．所以；【小問2詳解】解：在中，，，所以，因為四邊形是矩形，所以，．因為，所以．過點O作于點F，則，所以，在中，，所以．24.對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（）（2）如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．（3）已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型單圓；②見解析（3），，【解析】【分析】（1）根據圓內接四邊形和切線長定理可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對邊之和相等，結合題中定義，根據對角不互補，對邊之和也不相等的平行四邊形無外接圓，也無內切圓，進而可判斷①；根據菱形的性質可判斷②；根據正方形的性質可判斷③；（2）①根據已知結合題中定義可得結論；②根據角平分線的定義和圓周角定理證明即可證得結論；（3）①連接、、、、，根據四邊形是“完美型雙圓”四邊形，結合四邊形的內角和定理可推導出，，，進而可得，，然后利用圓周角定理可推導出，即可證得結論；②連接、、、，根據已知條件證明，進而證明得到，再利用勾股定理求得，，同理可證求解即可．【小問1詳解】解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對邊之和相等，所以①當平行四邊形的對角不互補，對邊之和也不相等時，該平行四邊形無外接圓，也無內切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；②∵內角不等于的菱形的對角不互補，∴該菱形無外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對邊之和相等，∴該菱形有內切圓，∴內角不等于90°的菱形一定是“內切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案：①×；②√；③√；【小問2詳解】解：①∵四邊形中，，∴四邊形無內切圓，又該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點E，的平分線交于點F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．【小問3詳解】①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，∵，，∴，∴，∴；②如圖，連接、、、，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H，∴∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，在中，由得，解得；在中，，∴，同理可證，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、正方形的性質、菱形的性質、圓周角定理、內切圓的定義與性質、外接圓的定義與性質、相似三角形的判定與性質、四邊形的內角和定理、勾股定理、角平分線的判定等知識，理解題中定義，熟練掌握這些知識和靈活運用性質和判定是解題的關鍵．另外還要求學生具備扎實的數學基礎和邏輯思維能力，備考時，重視四邊形知識的學習，提高解題技巧和速度，以應對中考挑戰．25.已知四個不同的點，，，都在關于x的函數（a，b，c是常數，）的圖象上．（1）當A，B兩點的坐標分別為，時，求代數式的值；（2）當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數圖象與x軸的公共點的個數，并說明理由；（3）當時，該函數圖象與x軸交于E，F兩點，且A，B，C，D四點的坐標滿足：，．請問是否存在實數，使得，，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時函數的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．【答案】（1）（2）此函數圖象與x軸的公共點個數為兩個，理由見解析（3）存在兩個m的值符合題意；當時，此時該函數的最小值為；當時，此時該函數的最小值為【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數與一元二次方程的關系、二次函數與x軸交點問題、直角三角形存在性問題等，熟練掌握相關知識和分類討論是解題關鍵.（1）將代入得到關于、的關系式，再整體代入求解即可;（2）解方程求解，再根據的正負分類討論即可；（3）由內角之比可得出這是一個的直角三角形，再將線段表示出來，利用特殊角的邊角關系建立方程即可.【小問1詳解】將，代入得，②-①得，即．所以．【小問2詳解】此函數圖象與x軸的公共點個數為兩個．方法1：由，得．可得或．當時，，此拋物線開口向上，而A，B兩點之中至少有一個點在x軸的下方，此時該函數圖象與x軸有兩個公共點；當時，，此拋物線開口下，而A，B兩點之中至少有一個點在x軸的上方，此時該函數圖象與x軸也有兩個公共點．綜上所述，此函數圖象與x軸必有兩個公共點．方法2：由，得．可得或．所以拋物線上存在縱坐標為的點，即一元二次方程有解．所以該方程根的判別式，即．因為，所以．所以原函數圖象與x軸必有兩個公共點．方法3：由，可得或．當時，有，即，所以．此時該函數圖象與x軸有兩個公共點．當時，同理可得，此時該函數圖象與x軸也有兩個公共點．綜上所述，該函數圖象與x軸必有兩個公共點．小問3詳解】因為，所以該函數圖象開口向上．由，得，可得．由，得，可得．所以直線均與x軸平行．由（2）可知該函數圖象與x軸必有兩個公共點，設，．由圖象可知，即．所以的兩根為，，可得．同理的兩根為，，可得．同理的兩根為，，可得．由于，結合圖象與計算可得，．若存在實數，使得，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為30°，60°的直角三角形，所以線段不可能是該直角三角形的斜邊．①當以線段為斜邊，且兩銳角分別為30°，60°時，因為，所以必須同時滿足：，．將上述各式代入化簡可得，且，聯立解之得，，解得符合要求．所以，此時該函數的最小值為．②當以線段為斜邊時，必有，同理代入化簡可得，解得．因為以線段為斜邊，且有一個內角為60°，而，所以，即，化簡得符合要求．所以，此時該函數的最小值為．綜上所述，存在兩個m的值符合題意；當時，此時該函數的最小值為；當時，此時該函數的最小值為．2024年湖南省初中學業水平考試數學本試題卷共6頁．時量120分鐘．滿分120分．注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號寫在答題卡和本試題卷上，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號和相關信息：2．選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡；3．非選擇題部分請按題號用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，否則作答無效：4．在草稿紙、試題卷上作答無效；5．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；6．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙．一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在日常生活中，若收入300元記作元，則支出180元應記作（）A.元 B.元 C.元 D.元2.據《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內有效發明專利量達到401.5萬件，高價值發明專利占比超過四成，成為世界上首個境內有效發明專利數量突破400萬件的國家，將用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.3.如圖，該紙杯的主視圖是（）A. B. C. D.4.下列計算正確是（）A. B. C. D.5.計算的結果是（）A B. C.14 D.6.下列命題中，正確的是（）A.兩點之間，線段最短 B.菱形的對角線相等C.正五邊形的外角和為 D.直角三角形是軸對稱圖形7.如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數為（）A. B. C. D.8.某班的5名同學1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數據的中位數是（）A.130 B.158 C.160 D.1929.如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（）A B. C. D.10.在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（）A. B.若點P為“整點”，則點P的個數為3個C.若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.計算：________．12.有四枚材質、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13.分式方程=1的解是_______．14.一個等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數是________度．15.若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則k的值為________．16.在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即（k為常數．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．17.如圖，在銳角三角形中，是邊上高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則________．18.如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為________分米（結果用含根號的式子表示）．三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.計算：．20.先化簡，再求值：，其中．21.某校為了解學生五月份參與家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生進行調查、家務勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學校德育處根據調查結果制作了如下兩幅不完整的統計圖：請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次被抽取的學生人數為人；（2）補全條形統計圖：（3）在扇形統計圖中，“4項及以上”部分所對應扇形的圓心角度數是；（4）若該校有學生1200人，請估計該校五月份參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的學生人數．22.如圖，在四邊形中，，點E在邊上，．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求線段的長．23.某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？24.某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作，并沿方向前進到點F，用皮尺測得的長為4米；③在點F處用測角儀測得，，；④用計算器計算得：，，．，，．請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求線段和的長度：（2）求底座的底面的面積．25.已知二次函數的圖像經過點，點，是此二次函數的圖像上的兩個動點．（1）求此二次函數表達式；（2）如圖1，此二次函數的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；（3）如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．26.【問題背景】已知點A是半徑為r的上的定點，連接，將線段繞點O按逆時針方向旋轉得到，連接，過點A作的切線l，在直線l上取點C，使得為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當時，；【問題探究】（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點E，連接，對角線，相交于點F．①如圖2，當時，求證：無論在給定的范圍內如何變化，總成立：②如圖3，當，時，請補全圖形，并求及的值．2024年湖南省初中學業水平考試數學本試題卷共6頁．時量120分鐘．滿分120分．注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號寫在答題卡和本試題卷上，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號和相關信息：2．選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡；3．非選擇題部分請按題號用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，否則作答無效：4．在草稿紙、試題卷上作答無效；5．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；6．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙．一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在日常生活中，若收入300元記作元，則支出180元應記作（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】此題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義，結合題意解答即可；【詳解】解：收入為“”，則支出為“”，那么支出180元記作元．故選：C．2.據《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內有效發明專利量達到401.5萬件，高價值發明專利占比超過四成，成為世界上首個境內有效發明專利數量突破400萬件的國家，將用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查用科學記數法表示較大的數，一般形式為，其中，n可以用整數位數減去1來確定．用科學記數法表示數，一定要注意a的形式，以及指數n的確定方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數．【詳解】解：用科學記數法表示為．故選：B．3.如圖，該紙杯的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接依據主視圖即從幾何體的正面觀察，進而得出答案．此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確把握觀察角度是解題的關鍵．【詳解】解：該紙杯的主視圖是選項A，故選：A．4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了合并同類項，同底數冪的乘除法，積的乘方，根據以上運算法則逐項分析即可．【詳解】解：A、，故該選項不正確，不符合題意；B、，故該選項正確，符合題意；C、，故該選項不正確，不符合題意；D、，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．5.計算的結果是（）A. B. C.14 D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計算是解題關鍵．直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，故選：D6.下列命題中，正確的是（）A.兩點之間，線段最短 B.菱形的對角線相等C.正五邊形的外角和為 D.直角三角形是軸對稱圖形【答案】A【解析】【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質，菱形性質及軸對稱圖形的特點，解題的關鍵是掌握這些基礎知識點．【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項錯誤，是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為，選項錯誤，是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項錯誤，是假命題，不符合題意；故選：A．7.如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關鍵．根據圓周角定理可知，即可得到答案．【詳解】根據題意，圓周角和圓心角同對著，，，．故選：C．8.某班的5名同學1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數據的中位數是（）A.130 B.158 C.160 D.192【答案】B【解析】【分析】本題考查了中位數，找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數．據此求解即可．【詳解】解：從小到大排序為130，141，158，179，192，最中間的數是158，∴中位數是158，故選：B．9.如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷；由相似三角形的判定和性質可判斷，掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵點分別為邊的中點，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯誤；故選：．10.在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（）A. B.若點P為“整點”，則點P的個數為3個C.若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10【答案】C【解析】【分析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內點的特征求出a的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利用“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，∴，故選項A錯誤；∵點為“整點”，，∴整數a為，，0，1，∴點P的個數為4個，故選項B錯誤；∴“整點”P為，，，，∵，，，∴“超整點”P為，故選項C正確；∵點為“超整點”，∴點P坐標為，∴點P到兩坐標軸的距離之和，故選項D錯誤，故選：C．二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.計算：________．【答案】2024【解析】【分析】本題考查了求一個數的相反數，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．根據相反數的定義，即可求解．【詳解】解：，故答案為：2024．12.有四枚材質、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解本題的關鍵．概率所求情況數與總情況數之比．根據概率公式計算即可．【詳解】解：∵共有4枚棋子，∴從中任意摸出一張，恰好翻到棋子“”的概率是．故答案為：13.分式方程=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗即可．【詳解】解：方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．檢驗：當x=1時，x+1=2≠0．所以原方程的解為x=1．故答案為：x=1．【點睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關鍵．14.一個等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數是________度．【答案】【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和，解答時根據等腰三角形兩底角相等，求出頂角度數即可．【詳解】解：因為其底角為40°，所以其頂角．故答案為：100．15.若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則k的值為________．【答案】2【解析】【分析】本題考查根據一元二次方程根的情況求參數．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則；有兩個相等的實數根，則；沒有實數根，則．據此即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：故答案為：216.在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即（k為常數．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．【答案】180【解析】【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，把，代入求解即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，故答案為：180．17.如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知平分，根據角平分線的性質可知，結合求出，．詳解】解：作圖可知平分，∵是邊上的高，，，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．18.如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為________分米（結果用含根號的式子表示）．【答案】##【解析】【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長交l于點H，連接，根據題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關鍵．【詳解】解：延長交l于點H，連接，如圖所示：在中，，，即，解得：．故答案為：．三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19計算：．【答案】【解析】【分析】題目主要考查實數的混合運算，特殊角的三角函數、零次冪的運算等，先化簡絕對值、零次冪及特殊角的三角函數、算術平方根，然后計算加減法即可，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵．【詳解】解：．20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵．先計算乘法，再計算加法，然后把代入化簡后的結果，即可求解．【詳解】解：，當時，原式．21.某校為了解學生五月份參與家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生進行調查、家務勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學校德育處根據調查結果制作了如下兩幅不完整的統計圖：請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次被抽取的學生人數為人；（2）補全條形統計圖：（3）在扇形統計圖中，“4項及以上”部分所對應扇形的圓心角度數是；（4）若該校有學生1200人，請估計該校五月份參與家務勞動項目數量達到3項及以上的學生人數．【答案】（1）100（2）見解析（3）36（4）300人【解析】【分析】題目主要考查條形統計圖與扇形統計圖，樣本估計總體，求扇形統計圖圓心角等，理解題意，結合統計圖得出相關信息是解題關鍵．（1）根據參與1項家務勞動的人數及比例即可得出結果；（2）先求出參加3項家務勞動的學生人數，然后補全統計圖即可；（3）用360度乘以4項及以上所占的比例即可；（4）用總人數乘以參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的比例即可．【小問1詳解】解：根據題意得：人，故答案為：100；【小問2詳解】，補全統計圖如下：【小問3詳解】，故答案為：36；【小問4詳解】人．22.如圖，在四邊形中，，點E在邊上，．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求線段的長．【答