高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（27）15.如圖，三棱錐中，，，，D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AC上.（1）下面有①②③三個(gè)命題，能否從中選取兩個(gè)命題作為條件，證明另外一個(gè)命題成立？如果能，請你選取并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱錐的體積為，以你在（1）所選的兩個(gè)條件作為條件，求平面與平面所成二面角的大小.16.如圖，橢圓C：()的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點(diǎn).（1）求橢圓C方程；（2）P是橢圓C弧上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).17.在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名.然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名.最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣丁；①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請說明理由.18.設(shè)函數(shù)().（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，求a取值范圍.19.已知正整數(shù)為常數(shù)，且，無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，恒成立.（1）證明無窮數(shù)列等比數(shù)列，并求；（2）若，，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)的和構(gòu)成集合A.設(shè)集合，中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（27）15.如圖，三棱錐中，，，，D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AC上.（1）下面有①②③三個(gè)命題，能否從中選取兩個(gè)命題作為條件，證明另外一個(gè)命題成立？如果能，請你選取并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱錐的體積為，以你在（1）所選的兩個(gè)條件作為條件，求平面與平面所成二面角的大小.【答案】（1）答案見解答（2）【解答】【分析】（1）若選擇①②，則只需證明⊥平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；若選擇①③，則只需證明⊥平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；若選擇②③，則只需證明⊥平面，再結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證.（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】選擇①②，可證明③.由，是線段的中點(diǎn)，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，AC平面ABC，得⊥，又⊥；，平面，所以⊥平面．因?yàn)槠矫妫裕暨x擇①③，可證明②.由，是線段的中點(diǎn)，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，平面，得，又⊥，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫裕x擇②③，可證明①.由，是線段的中點(diǎn)，得⊥因?yàn)椤停停矫妫浴推矫妫甈D平面PDE，得⊥，,平面，所以⊥平面．又平面，故平面⊥平面.【小問2詳解】方法一：由（1），選擇①②，則③成立.取線段的中點(diǎn)F，連接，則由，及是線段的中點(diǎn)，得⊥.由（1）知，⊥平面，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系三棱錐的體積，且，，得，得所以由，是線段的中點(diǎn)，⊥，得：.所以，，，.設(shè)面與面的法向量分別為，，則，得：，所以面的一個(gè)法向量為.，得：，所以面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成二面角為，則，因?yàn)椋悦媾c面所成二面角的大小為．方法二：延長交的延長線于Q，連接，則平面與平面.由三棱錐的體積為，且，，得，解得又由，及是線段的中點(diǎn)，⊥，在等腰直角三角形中，，，連結(jié)CD，在中，，，，在等腰直角三角形中，，，在中，，在中，由，所以，又由（1）知，⊥平面，是在面內(nèi)射影，由三垂線逆定理得：，則即為二面角的平面角，，所以面與面所成二面角的大小為.16.如圖，橢圓C：()的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）P是橢圓C弧上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解答】分析】（1）方法一：由題意得，，把點(diǎn)直接代入橢圓方程求出即可；方法二：把代入求出即可；（2），而的面積為定值，所以只要的面積最大，進(jìn)一步分析得知，只需求的最大值，方法一：用判別式法求最值；方法二：利用基本不等式求最值，結(jié)合取最值的取等條件即可求解.【小問1詳解】設(shè)，又離心率，則.，則.法一：則C：，點(diǎn)代入得，法二：則，點(diǎn)代入得，所以C方程為：.【小問2詳解】因?yàn)椋拿娣e為定值，所以只要的面積最大.設(shè)，則①.，，則線段AM長度為定值.由圖知，P在直線的上方，直線：，P到直線的距離為只需求的最大值.法一：設(shè)，代入得：，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，聯(lián)立①，解得：，.法二：因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為().17.在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名.然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名.最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣丁；①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請說明理由.【答案】（1）①；②（2）答案見解答【解答】【分析】（1）①甲獲得第四名，需要在甲參與的兩場比賽中都失敗，結(jié)合對(duì)立事件概率和獨(dú)立事件概率公式求解即可；②明確隨機(jī)變量所有可能取值，然后結(jié)合對(duì)立事件概率和獨(dú)立事件概率公式分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求得分布列和期望；（2）分別求出兩種賽制甲奪冠概率，再利用作差法比較兩概率的大小，取奪冠概率最大的賽制對(duì)甲奪冠有利.【小問1詳解】①記“甲獲得第四名”為事件，又，則；②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場次為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為2，3，4，連敗兩局：，可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；，；則的分布列如下：2340.160.5520.288所以數(shù)學(xué)期望.小問2詳解】在“單敗淘汰制”下，甲獲冠軍須比賽兩場，且兩場都勝，則甲獲得冠軍的概率為.(ii)在“雙敗淘汰制”下，設(shè)事件V為“甲獲冠軍”，設(shè)事件A為“甲比賽三場，連勝三場”，則；設(shè)事件B為“甲比賽四場：勝負(fù)（勝區(qū)敗）勝（贏敗區(qū)勝）勝（決賽區(qū)勝）”，則；設(shè)事件C為“甲比賽四場：負(fù)勝（敗區(qū)勝）勝（贏勝區(qū)敗）勝（決賽區(qū)勝）”，則；所以.由，且，當(dāng)時(shí)，，“雙敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；當(dāng)時(shí)，，“單敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；當(dāng)時(shí)，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.18.設(shè)函數(shù)().（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解答（3）【解答】【分析】（1）只需分別求出即可；（2）求導(dǎo)得，根據(jù)是否大于0對(duì)進(jìn)行分類討論即可求解；（3）分離參變量轉(zhuǎn)換為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，只需求得的最小值即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則，又，故在處的切線方程為.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t，若，即時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；若，即或時(shí)，.+0─0+↗↘↗則在和上為增函數(shù)；在上為遞減函數(shù).【小問3詳解】因?yàn)闀r(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，上式成立，也即當(dāng)時(shí)，恒成立，記，則.記，則，則在為減函數(shù)，則，即恒成立，則單調(diào)減，為增函數(shù)，，則，所以的取值范圍為.19.已知正整數(shù)為常數(shù)，且，無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，恒成立.（1）證明無窮數(shù)列為等比數(shù)列，并求；（2）若，，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)的和構(gòu)成集合A.設(shè)集合，中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解答，（2）證明見解答（3）（）【解答】【分析】（1）由并結(jié)合已知條件，得出數(shù)列的兩項(xiàng)的商為定值，從而可知為等比數(shù)列，由于其各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以公比亦為正整數(shù)，從而得到；（2）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合累加法對(duì)數(shù)計(jì)算求和即可.（3）結(jié)合（2）得出集合中元素滿足的不等式，將中元素的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式的解的數(shù)目，先確定的取值，再由放縮法確定i的取值，從而確定解的個(gè)數(shù)，得到的通項(xiàng)公式．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，，，所以數(shù)列等比數(shù)列．因?yàn)闊o窮數(shù)列的