第1講函數的圖象與性質專題一內容索引0102必備知識?精要梳理關鍵能力?學案突破必備知識?精要梳理1.函數的概念(1)求函數定義域的方法是依據使含自變量x的代數式有意義列出相應的不等式(組)求解.(2)求函數的值域要優先考慮定義域,常用方法:配方法、分離常數法(分式函數)、換元法、單調性法、基本不等式法、數形結合法.溫馨提示函數的定義域與值域必須寫成集合或區間的形式.2.函數的性質(1)奇偶性

這是函數具有奇偶性的重要前提

①定義:若函數的定義域關于原點對稱,則有f(x)是偶函數?f(-x)=f(x)=f(|x|),f(x)是奇函數?f(-x)=-f(x).②判斷方法:定義法、圖象法、奇偶函數性質法(如奇函數×奇函數是偶函數).(2)單調性判斷方法:定義法、圖象法、導數法、復合函數同增異減.(3)周期性

等式中自變量x的系數同號

常用結論:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±

(a≠0),則T=2a;若f(x+a)=f(x-b),則T=a+b;若f(x)的圖象有兩條對稱軸x=a和x=b(a≠b),則函數f(x)的一個周期T=2|b-a|;若f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,0)和(b,0)(a≠b),則函數f(x)的一個周期T=2|b-a|(可類比正、余弦函數).特別提醒若f(x)是奇函數且在原點有定義,則f(0)=0;若函數f(x)是周期為T的奇函數,則必有3.函數的圖象(1)函數圖象的判斷方法:①找特殊點;②看性質,根據函數性質判斷圖象的位置、對稱性、變化趨勢等;③看變換,看函數是由基本初等函數經過怎樣的變換得到的.等式中自變量x的系數異號

(3)函數y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱,函數y=f(a-x)與y=f(b+x)的圖象關于直線

對稱,y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱,y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點對稱.(4)利用圖象可解決函數的最值問題,求方程與不等式的解,求參數的取值范圍,等等.關鍵能力?學案突破突破點一函數的定義及其表示命題角度1

函數的定義域與值域[例1-1]已知函數f(x)的定義域為[-2,1],則函數

的定義域為(

)A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1] D.(0,1)DA方法點撥確定函數定義域的基本方法(1)對于給出解析式的函數,其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合,只需構建不等式(組)求解即可.(2)對于復合函數,若已知f(x)的定義域為[a,b],則其復合函數f(g(x))的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求得.(3)對于含字母參數的函數,確定其定義域時,要根據具體情況對字母參數進行分類討論.對點練1(多選題)設函數f(x)的定義域為D,如果對任意的x∈D,都存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,則稱函數f(x)為“H函數”.下列為“H函數”的是(

)A.y=sinxcosx B.y=lnx+exC.y=2x

D.y=x2-2xAB解析

由題意,得“H函數”的值域關于原點對稱.A中,其值域關于原點對稱,故A中函數是“H函數”;B中,函數y=ln

x+ex的值域為R,故B中函數是“H函數”;C中,因為y=2x>0,故C中函數不是“H函數”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不關于原點對稱,故D中函數不是“H函數”.命題角度2

分段函數及其應用

A.g(-1)=0B.方程g(x)=2有3個實數根C.方程g(x)=-2的所有實根之和為-1D.當x<0時,f(x)≤g(x)ACD解析

對于A選項,由題意知f(-1)=0,則g(-1)=f(f(-1))=f(0)=0,所以選項A正確.對于B選項,令f(x)=u,則求g(x)=f(f(x))=2的根,即求f(u)=2的根.因為方程f(u)=2沒有實根,所以g(x)=2沒有實根,所以選項B錯誤.對于D選項,當x<0時,g(x)=f(x+1),則將函數f(x)在區間(-∞,1)內的圖象向左平移1個單位長度可得函數g(x)的圖象(如圖所示),當x<0時,函數g(x)的圖象在f(x)的圖象的上方(可以部分點重合),所以選項D正確.故選ACD.A.(-4,0) B.(-3,0)C.[-4,0) D.[-3,0)B由圖可知a+b=-4,0<c<1.所以af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)c3=c4-4c3.令g(c)=c4-4c3(0<c<1),則g'(c)=4c3-12c2=4c2(c-3).因為0<c<1,所以g'(c)<0,所以g(c)=c4-4c3在區間(0,1)內單調遞減,所以g(1)<g(c)<g(0),即-3<g(c)<0.所以af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范圍是(-3,0).方法總結解決分段函數問題的基本策略(1)分類討論:已知函數值(或范圍)求自變量的值(或范圍)時,先根據每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍,然后綜合各段的結果下結論.(2)數形結合:求解分段函數問題時,可畫出函數的圖象,對代數問題進行轉化,結合圖形直觀地分析判斷,可以快速準確地解決問題.A當x≥0時,f(x)的圖象為開口向上的拋物線的一部分,對稱軸為直線x=3,最小值為32-6×3+6=-3;當x<0時,f(x)為直線y=3x+4的一部分.不妨設x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,由圖象可知m∈(-3,4),令3x+4=-3,突破點二函數的性質及其應用命題角度1

函數的奇偶性、單調性及其應用[例2-1]設函數

,則f(x)(

)A.是奇函數,且在區間(0,+∞)內單調遞增B.是奇函數,且在區間(0,+∞)內單調遞減C.是偶函數,且在區間(0,+∞)內單調遞增D.是偶函數,且在區間(0,+∞)內單調遞減A[例2-2]已知定義在區間(-1,1)內的函數f(x)滿足f(x)=g(x)-g(-x)+2,對任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,則關于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集為(

)B解析

設h(xf(x)-2=g(x)-g(-x)(x∈(-1,1)),因為對任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以函數f(x)在區間(-1,1)內為增函數,則h(x)在區間(-1,1)內為增函數,又h(-x)=g(-x)-g(x)=-h(x),所以h(x)為奇函數.又因為不等式f(3x+1)+f(x)>4可化為f(3x+1)-2+f(x)-2>0,即h(3x+1)+h(x)>0,亦即h(3x+1)>-h(x)=h(-x),B而f(x)=(x+a)g(x)為偶函數,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,則a=0.故選B.名師點析函數單調性與奇偶性應用中應注意的問題(1)判斷函數的奇偶性,必須先檢驗定義域是否關于原點對稱,復合函數的奇偶性可回歸到奇偶性的定義進行判斷,分段函數的奇偶性,要分段討論,也可以利用圖象判斷.(2)已知奇偶性求參數值時,一般利用奇、偶函數的定義,也可采用特殊值法.特別地,若函數f(x)是奇函數且在x=0處有定義,則可利用f(0)=0求得參數值.(3)奇偶性與單調性的應用主要涉及利用單調性求最值、比較大小、解抽象函數不等式等.解題時要注意幾個方面:一是函數定義域的限制,二是函數單調性的判定,三是等價轉化思想與數形結合思想的運用.如已知f(x)為偶函數且在區間[0,+∞)內單調遞增,那么形如f(m)>f(n)的不等式均可轉化為f(|m|)>f(|n|),從而有|m|>|n|,這樣避免了分類討論,可簡化解題過程.DA解析

因為f(x+1)為偶函數,所以f(x+1)=f(-x+1),所以函數f(x)圖象的對稱軸為直線x=1,又因為函數y=2|x+m|,y=log3(x+m)2的圖象均只有一條對稱軸,即直線x=-m,可知函數f(x)的圖象只有一條對稱軸為直線x=-m,則-m=1,可得m=-1,所以f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2.當x>1時,f(x)=2x-2+2log3(x-1).因為函數y=2x-2,y=2log3(x-1)在區間(1,+∞)上單調遞增,所以函數f(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.令g(x)=ex-x-1,則g'(x)=ex-1,當x>0時,g'(x)>0,所以g(x)在區間(0,+∞)上單調遞增,所以g(x)>g(0)=0,即ex>x+1(x>0),命題角度2

函數的奇偶性、周期性及其應用

D解析

因為f(x+1)是奇函數,所以f(-x+1)=-f(x+1)①;因為f(x+2)是偶函數,所以f(x+2)=f(-x+2)②.因為當x∈[1,2]時,f(x)=ax2+b,所以當x=1時,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b,因為f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6?a=-2,令x=0,由①得f(1)=-f(1)?f(1)=0?a+b=0?b=2,所以當x∈[1,2]時,f(x)=-2x2+2.(方法二)∵f(x+1)是奇函數,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函數,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函數f(x)的周期為4.名師點析函數奇偶性、周期性的應用技巧(1)具有奇偶性的函數,在關于原點對稱的區間上,函數值、單調性、圖象都有密切的聯系,可通過原點一側圖象對應函數的性質得出另一側圖象對應函數的性質.(2)根據函數的周期性,可以轉化函數的解析式、圖象、性質,將不在已知區間上的問題轉化為已知區間上的問題進行求解.(3)函數的周期性常通過奇偶性與對稱性得到,當函數有兩條對稱軸(或兩個對稱中心、一條對稱軸和一個對稱中心)時,都能推出函數的周期.例如,若函數f(x)有一條對稱軸為直線x=a和相鄰的一個對稱中心(b,0),則4|a-b|就是f(x)的一個周期.對點練4(2024·河北石家莊二模)設f(x)是定義在R上的奇函數,且f(1+x)=f(1-x),當-1≤x<0時,f(x)=log2(-6x+2),則

的值為(

)A.-1 B.-2 C.2 D.1B解析

由題意知f(1+x)=f(1-x),則f[1+(x-1)]=f[1-(x-1)],即f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f[2-(x+2)]=f(-x).又f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x).所以f(x+2)=-f(x),所以f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),即f(x+4)=f(x),所以函數f(x)的周期為4.命題角度3

函數性質的綜合應用

BC∴f(-1)=f(4).故C正確;∵g(2+x)為偶函數,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的圖象關于直線x=2對稱.∵g(x)=f'(x),g(x)的圖象關于直線x=2對稱,∴f(x)的圖象關于點(2,t)(t∈R)對稱.∴f(x)與g(x)均是周期為2的函數.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A錯誤;構造函數f(x)=sin(πx)符合題目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos

2π=π,故D錯誤.故選BC.規律總結關于函數性質的常用結論:(1)若f(x+a)為偶函數,則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(2)若f(x+a)為奇函數,則y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.對點練5(多選題)(2024·湖南邵陽一模)已知函數f(x)與其導函數g(x)的定義域均為R,且f(x)-x與g(1-2x)均為偶函數,則下列說法一定正確的有(

)A.f(x)的圖象關于直線x=1對稱B.

的圖象關于點(0,1)對稱C.g(x+2)+g(x)=2D.f(0)=1BC解析

對于A項,因為g(1-2x)為偶函數,所以g(x)的圖象關于直線x=1對稱.若f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則導函數g(x)的圖象關于點(1,0)對稱,這與g(x)的圖象關于直線x=1對稱矛盾,故A錯誤;對于B項,因為f(x)-x為偶函數,所以f(x)-x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,所以

,故B正確;對于C項,因為f(x)-x為偶函數,所以f'(x)-x'=g(x)-1為奇函數,所以g(x)-1的圖象關于點(0,0)對稱,g(x)的圖象關于點(0,1)對稱,所以g(-x)+g(x)=2.又g(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1)).所以g(x+2)=g(1+(x+1))=g(1-(x+1))=g(-x)=2-g(x).所以g(x+2)+g(x)=2,故C正確;對于D項,由上可知,g(x)的圖象關于點(0,1)對稱,g(0)=1,但f(0)=1無法確定,故