導數與函數的極值、最值1.當函數y＝x·2x取極小值時，x＝______.激活思維：2.函數y＝ln

x－x在x∈(0，e]上的最大值為____.－13.函數f(x)＝x3－3x－1，若對于區間[－3,2]上的

任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實數t的最小值是____.204.已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，

則f(2)＝____.185.已知函數f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是_______________________.(－∞，－3)∪(6，＋∞)思維升華(1)求函數f(x)極值的步驟：①確定函數的定義域；②求導數f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值.(2)若函數y＝f(x)在區間(a，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調函數沒有極值.

題型一用導數解決函數極值問題命題點1根據函數圖象判斷極值例1設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的極大值、極小值分別是___________.f(－2)、f(2)命題點2求函數的極值當a>0時，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下：當a<0時，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下：命題點3已知極值求參數例3

(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，則a－b＝____.解析

由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，經檢驗當a＝1，b＝3時，函數f(x)在x＝－1處無法取得極值，而a＝2，b＝9滿足題意，故a－b＝－7.－7解析答案思維升華（3）.函數f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調遞減區間是________.(－1,1)題型二用導數求函數的最值(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；解析答案(2)求f(x)在區間(0，e]上的最小值.即x－4y＋4ln2－4＝0.令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區間(0，e]上單調遞增，此時函數f(x)無最小值.②若0<a<e，當x∈(0，a)時，f′(x)<0，函數f(x)在區間(0，a)上單調遞減，當x∈(a，e]時，f′(x)>0，函數f(x)在區間(a，e]上單調遞增，所以當x＝a時，函數f(x)取得最小值ln

a.(2)求f(x)在區間(0，e]上的最小值.③若a≥e，則當x∈(0，e]時，f′(x)≤0，函數f(x)在區間(0，e]上單調遞減，

綜上可知，當a≤0時，函數f(x)在區間(0，e]上無最小值；當0<a<e時，函數f(x)在區間(0，e]上的最小值為ln

a；令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區間(0，e]上單調遞增，此時函數f(x)無最小值.②若0<a<e，當x∈(0，a)時，f′(x)<0，函數f(x)在區間(0，a)上單調遞減，當x∈(a，e]時，f′(x)>0，函數f(x)在區間(a，e]上單調遞增，所以當x＝a時，函數f(x)取得最小值ln

a.解析答案思維升華③若a≥e，則當x∈(0，e]時，f′(x)≤0，函數f(x)在區間(0，e]上單調遞減，

綜上可知，當a≤0時，函數f(x)在區間(0，e]上無最小值；當0<a<e時，函數f(x)在區間(0，e]上的最小值為ln

a；思維升華思維升華求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數在(a，b)內的極值；(2)求函數在區間端點的函數值f(a)，f(b)；(3)將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.解析由題意知，當x∈(0,2)時，f(x)的最大值為－1.1跟蹤訓練2解析答案返回1題型三函數極值和最值的綜合問題(1)求f(x)的單調區間；解析答案令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因為ex>0，所以y＝f′(x)的零點就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零點，且f′(x)與g(x)符號相同.又因為a>0，所以－3<x<0時，g(x)>0，即f′(x)>0，當x<－3或x>0時，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的單調遞增區間是(－3,0)，單調遞減區間是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區間[－5，＋∞)上的最大值.解析答案思維升華解

由(1)知，x＝－3是f(x)的極小值點，

解得a＝1，b＝5，c＝5，因為f(x)的單調遞增區間是(－3,0)，單調遞減區間是(－∞，－3)，(0，＋∞)，解析答案思維升華所以f(0)＝5為函數f(x)的極大值，故f(x)在區間[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，所以函數f(x)在區間[－5，＋∞)上的最大值是5e5.思維升華思維升華求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是_____.跟蹤訓練3解析答案返回－13解析對函數f(x)求導得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上單調遞減，在[0,1]上單調遞增，∴當m∈[－1,1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1，∴當n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.答案

－13返回小結用導數法求給定區間上的函數的最值問題一般可用以下幾步答題第一步：(求導數)