高考資源網(）您身邊的高考專家（AI教學）訂購熱線二數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則z=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數除法運算求解.【詳解】根據題意，，則.故選：A2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解對數不等式，得到，根據交集概念求出答案.【詳解】，故，故.故選：C3.已知向量，，且，則實數（）A. B. C.5 D.10【答案】C【解析】【分析】由已知條件可求得，再根據向量平行的條件，即可求得的值.【詳解】由已知可得：，因為，所以有，解之得：.故選：C.4已知，直線，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用兩條直線垂直列式求解.【詳解】由直線與垂直，得，即，解得，而，所以.故選：B5.設為等差數列的前n項和，若，則（）A.10 B.15 C.21 D.38【答案】D【解析】【分析】先由題中條件，結合等差數列下標之和的性質求出,再根據等差數列的求和公式，即可求出結果.【詳解】因為，所以，則，即，所以，則,因此.故選：D6.已知圓與，動圓M與圓內切，且與圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件可得，結合橢圓的定義判斷點的軌跡形狀及位置，利用待定系數法求其方程.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設動圓的半徑為，由動圓與圓內切，且與圓外切，得，則，因此點的軌跡為以為焦點，長軸長的橢圓，而焦距，即，則短半軸長，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：B.7.如圖，在長方體中，，，為棱的中點，是線段上的動點，則下列式子的值為定值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算的長度，得到，接著利用向量數量積的幾何意義：等于在上的投影向量與的數量積，逐一分析選項ABCD即可得解.【詳解】由題意得，，∴，∴.A.如圖，過點作于點，

對于A，由向量數量積的幾何意義得，由于點動點，所以不是定值，所以不是定值，故選項A錯誤；對于B，，由于點是動點，所以不是定值，所以不是定值，故選項B錯誤；對于C，，由于不是定值，故選項C錯誤；對于D，由于向量在向量上的投影向量為，所以為定值.故選：D.8.已知過點可以作曲線的兩條切線，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先對函數求導，設切點，寫出切線方程，將點代入切線方程，得到，根據切線有兩條，得到方程有兩根，結合判別式即可求出結果.【詳解】由得，設過點的直線與曲線切于點，則切線斜率為，所以切線方程為因為切線過點，所以，整理得，因為過點的切線有兩條，所以方程有兩不同實根，因此，解得或，即實數a的取值范圍是.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某快遞公司2020—2024年的快遞業務量及其增長率如圖所示，則（）A.該公司2020—2024年快遞業務量逐年上升B.該公司2020—2024年快遞業務量的極差為68.5億件C.該公司2020—2024年快遞業務量的增長率的中位數為29.9%D.該公司2020—2024年快遞業務量的增長率的平均數為21.58%【答案】ABD【解析】【分析】根據圖像和極差，中位數，平均數的計算公式依次判斷每個選項即可.【詳解】對A：由圖可知：2020—2024年快遞業務量逐年上升，故A正確；對B：2020—2024年快遞業務量的極差為：（億件），故B正確；對C：因為增長率從小到大排序，即則中位數為，故C錯誤；對D：由，故D正確.故選：ABD10.記等比數列的公比為q，前n項積為，已知，，，則（）A. B.C.的最大值為 D.【答案】BD【解析】【分析】先用反證法證明可判斷A，判斷數列是正項遞減數列，可得，從而可判斷BC；結合基本不等式可判斷D.【詳解】因為，所以一個大于1，一個小于1，因為，若公比，則都大于等于1，矛盾，所以，A不正確；因為，所以，即，所以數列是正項遞減數列，可得，所以的最大值為，C不正確；，B正確；因為，所以，D正確.故選：BD.11.已知函數及其導函數的定義域均是，是的唯一零點，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】構造函數，由已知求導可得在上單調遞減，即可比較A正確，C錯誤，又是的唯一零點，所以，借助單調性可得，，即得B正確，D錯誤.【詳解】令，則，由題意知，所以，即在上單調遞減，所以，，故A正確，C錯誤.又是的唯一零點，所以，又在上單調遞減，所以，，即，，故B正確，D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則________.【答案】2【解析】【分析】利用指數式與對數式的互化關系，結合對數運算計算得解.【詳解】由，得，則，所以.故答案為：213.記數列的前n項和為，且滿足，則________.【答案】【解析】【分析】根據題中遞推公式，得到，與原式作差整理，得到數列是等比數列，根據等比數列求和公式，即可求出結果.【詳解】因為，所以，兩式作差得，即，則，又，即，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列因此故答案為：14.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，以點為圓心且與C的漸近線相切的圓與C在第一象限交于點A，B為的中點，若，則C的漸近線的斜率為________.【答案】【解析】【分析】利用點到直線的距離求得圓的半徑為，利用雙曲線的定義及中位線的性質得，由余弦定理建立方程求得，從而得到漸近線斜率.【詳解】由題意，雙曲線一條漸近線為，則點到漸近線的距離，即圓的半徑為，連接，則，由雙曲線的定義知，所以，在中，為的中點，B為的中點，所以，，則為.在中，，在中，，因為，所以，所以，所以漸近線斜率.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的最小正周期為，且的圖象關于點對稱.（1）求的解析式；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據周期求得；利用對稱中心求得，得到結果；（2）由條件結合誘導公式二倍角余弦公式求，再由平方關系求，根據兩角差余弦公式求結論.【小問1詳解】因為的最小正周期，所以，因為的圖象關于點對稱，所以，即，所以，，又，所以，故.【小問2詳解】，所以，又，所以，從而，所以.16.記數列的前n項和為，已知.（1）證明：是等差數列；（2）若，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據通項公式和前項和公式的關系消去，根據等差數列的定義即可判斷；（2）利用裂項相消求和即可求出不等式左邊，從而判斷其范圍.【小問1詳解】∵，又，兩式相減可得，∴，∴，∴是以為公差的等差數列.【小問2詳解】由已知得.∴，∴.∴.17.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，.（1）求證：平面；（2）若，且，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由題中條件，求出，根據勾股定理證明，再由，根據線面垂直的判定定理，即可證明結論成立；（2）取的中點，連接并延長交于，結合（1）中結論，證明平面平面，得到，，兩兩互相垂直，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，根據平面夾角公式的向量表示，即可求出結果.【小問1詳解】因為是邊長為2的等邊三角形，且，，所以，.又，所以.此時，所以.又，，平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點，連接并延長交于，則，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，再由（1）可知平面，平面，故，又平面，所以平面，可得，，兩兩互相垂直，故以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，因為，所以，所以，，，設平面的一個法向量為，則，令，可得；設平面的一個法向量為，則，令，可得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，拋物線的焦點與重合，點G是C與E在第一象限的交點，且.（1）求E的方程.（2）設過點的直線l與E交于點M，N，交C于點A，B，且A，B，M，N互不重合.（ⅰ）若l的傾斜角為45°，求的值；（ⅱ）若P為C的準線上一點，設PA，PB，PF2的斜率分別為，證明：為和的等差中項.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）根據拋物線的定義求出焦點坐標，進而得到橢圓的右焦點坐標，再利用橢圓和拋物線的交點坐標滿足兩個方程來確定橢圓方程.（2）（i）根據直線的傾斜角得到直線方程，然后分別代入橢圓和拋物線方程，利用弦長公式求出和的值，進而求出它們的比值.（ii）設出直線方程，求出交點坐標，再根據斜率公式計算出，然后證明.【小問1詳解】由已知得C的焦點為，即，所以.①因為，由拋物線的定義可得，所以.代入E的方程可得.②由①②解得，，所以E的方程為.【小問2詳解】設，，，.（ⅰ）因為直線l的傾斜角為45°，所以，直線l的方程為.聯立整理得，則，所以.聯立整理得，則，，所以.所以.（ⅱ）由題意知，，設，且直線AB的方程為.聯立整理得，顯然，則，，所以，，，，又，即，所以為和的等差中項.【點睛】知識點點睛：本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,解答此類題目確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系，得到“目標函數”的解析式，確定函數的性質進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．19.已知函數，.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意，不等式恒成立，求a的值；（3）若實數m，n滿足，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，得到，結合，利用導數幾何意義得到切線方程；（2）求導，得到的單調性，進而得到所以，設，求導，得到的單調性，，故，當且僅當時等號成立，若滿足，必有，求出；（3）變形后得到，換元后化為，由（2）知，當時，，當且僅當時取等號，故，從而成立，同理，要證明，即證明，即，令，，求導得到的單調性，所以，即，整理得，從而成立.【小問1詳解】若，則，定義域為，，則，又，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，令，得，當時，，當時，，在上單調遞減，在