函數的連續與間斷一、函數的連續性概念下面先引入增量的概念,然后來描述連續性,并引出函數的連續性的定義.函數的增量1.

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在這個鄰域內從x0(初值)變化到x1(終值)時,終值與初值之差x1-x0叫作自變量的增量,記作Δx=x1-x0，相應地,函數的終值f（x1）與初值f（x0）之差f（x1）-f（x0）=f（x0＋Δx）-f（x0），叫作函數的增量,記作Δy=f（x0＋Δx）-f（x0）.

這個關系式的幾何解釋是函數的增量表示當自變量從x0變化到x0＋Δx時,曲線上對應點的縱坐標的增量，如圖1-39所示．

應該注意增量記號Δx，Δy是不可分割的整體,增量Δx可正、可負，增量Δy可正、可負或為零.一、函數的連續性概念函數的連續性2.

下面從函數圖像上來看函數在給定點x0處的變化情況.從圖1-39中可以看出,函數y=f（x）的圖像是連續不斷的曲線,而在圖1-40中,函數y=g（x）的圖像在點x=x0處斷開了.因而可以說函數y=f（x）在點x=x0處是連續的,而函數y=g（x）在點x=x0處有間斷.一、函數的連續性概念

從圖140中可以看到函數y=g（x）在點x=x0到x1=x0＋Δx時,當Δx趨于零時,但Δy并不趨于零,而在圖1-39中,當Δx趨于零時,Δy相應地也趨于零.通過以上分析可知,函數y=f（x）在點x=x0處是連續的特征是:當Δx→0時,Δy→0,即limΔx→0Δy=0.函數y=g（x）在點x=x0處斷開的特征是:當Δx→0時，Δy并不趨于零,即limΔx→0Δy≠0.由此得到函數在點x0處連續的定義:一、函數的連續性概念定義

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量x在x0處的增量Δx趨于零時,函數y=f（x）相應的增量Δy=f（x0＋Δx）-f（x0）也趨于零,即limΔx→0Δy=limΔx→0［f（x0＋Δx）-f（x0）］=0那么稱函數f（x）在點x0處連續,其中x0叫作函數f（x）的連續點．一、函數的連續性概念在上面定義中,如果記x=x0＋Δx,那么Δy=f（x）-f（x0）.其中Δx→0時,x→x0;Δy→0時,f（x）→f（x0）.于是函數f（x）在點x0連續也可以定義為：設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果函數f（x）當x→x0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數值f（x0）,即limx→x0f（x）=f（x0），那么就稱函數f（x）在點x0連續.一、函數的連續性概念由此定義知，函數在點x0連續必須滿足下面三個條件：（1）在點x0的某個鄰域內有定義；（2）極限limx→x0f（x）存在；（3）極限limx→x0f（x）的值等于該點的函數值f（x0）.以后常用這三個條件來討論函數f（x）在某點處是否連續.一、函數的連續性概念

所以，函數f（x）在x=3處連續.由函數的左右極限的定義，相應地可以得到函數左連續及右連續的定義.【例1】一、函數的連續性概念如果那么稱函數f（x）在點x0左（或右）連續．顯然，f（x）在x0處連續的充分必要條件是f（x）在點x0既要左連續又要右連續．在區間上每一點都連續的函數，叫作在該區間上的連續函數，或者說函數在該區間上連續，如果區間包括端點，那么函數在右端點連續是指左連續，在左端點連續是指右連續．連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線．一、函數的連續性概念

即函數在點x=1處是連續的．【例2】一、函數的連續性概念

討論函數y=sinx在區間（-∞，＋∞）內是否連續．解y=sinx的圖形如圖1-41所示.容易看出，其圖形在區間（-∞，＋∞）是一條連續不間斷的曲線，因而說函數y=sinx在區間（-∞，＋∞）內是連續的．【例3】一、函數的連續性概念思考

如何判斷函數在某一點是否連續？函數在某一點極限存在與函數在該點連續之間是什么關系？一、函數的連續性概念二、函數的間斷點根據定義，函數y=f（x）在點x0處連續的條件是：（1）函數y=f（x）在點x0某個鄰域內有定義；以上三條同時滿足，則函數y=f（x）在點x0處連續，如果其中任何一條不滿足，則稱函數y=f（x）在點x0處間斷，其中x0叫作函數f（x）的不連續點或間斷點．

如果補充定義:令x=2時,f（x）=4,則所給函數在x=2處連續.所以x=2稱為該函數的可去間斷點.【例4】二、函數的間斷點

所以點x=1是函數f（x）的間斷點.如果改變函數f（x）在x=1處的定義:令f（1）=2,則f（x）在x=1處成為連續.所以x=1稱為該函數的可去間斷點【例5】二、函數的間斷點

【例6】二、函數的間斷點

因為函數y=f（x）的圖形在x=0處產生跳躍現象,我們稱x=0是函數f（x）的跳躍間斷點．如果點x0為間斷點，且limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在，那么點x0為f（x）的第一類間斷點，其余的間斷點稱為第二類間斷點．二、函數的間斷點

對于第一類間斷點x0，如果limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在,且limx→x0-f（x）＝limx→x0＋f（x），通過補充或改變函數在x0的函數值,使得函數在x0點連續,那么稱x0為可去間斷點;如果limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在但是它們的值不相等,那么稱x0是跳躍間斷點.對于第二類間斷點x0,limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）至少有一個不存在.見下面幾個例題.二、函數的間斷點

【例7】

【例8】二、函數的間斷點

函數y=tanx在x=π/2處的左極限和右極限都不存在,即所以x=π/2是函數y=tanx的第二類間斷點．【例9】思考

函數的間斷點有哪幾種類型?二、函數的間斷點連續函數的運算與性質第六節一、連續函數的四則運算定理1

若函數f(x),g(x)在點x0處連續，則f(x)±g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)(當g(x0)≠0時)也在點x0處連續.

證明只證f(x)±g(x)在點x0處連續，其他情形可類似地證明.因為f(x)與g(x)在x0處連續，所以所以f(x)±g(x)在點x0處連續.例如，sinx，cosx在(－∞,+∞)上連續，故在其定義域內連續.一、連續函數的四則運算定理2二、反函數與復合函數的連續性

若函數y=f(x)在區間Ix上單調增加（或單調減少）且連續，則它的反函數x=φ(y)也在對應的區間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調增加（或單調減少）且連續.證明略.例如，由于y=sinx在閉區間[－π/2,π/2]上單調增加且連續，所以它的反函數y=arcsinx在對應區間［－1,1］上也是單調增加且連續的.同理可得其他反三角函數的連續性.總之,反三角函數在其定義域內都是連續的.二、反函數與復合函數的連續性定理3

若limx→x0φ(x)=a,u=φ(x)，函數f(u)在點a處連續，則有二、反函數與復合函數的連續性

式（1-2）表明，在定理3的條件下，求復合函數f［φ(x)］的極限時，極限符號與函數符號f可以交換次序.式（1-3）表明，在定理3的條件下，若作代換u=φ(x)，則求limx→x0f［φ(x)］就轉化為求limu→af(u)，這里limx→x0φ(x)=a.把定理3中的x→x0換成x→∞，可得類似的定理.注意二、反函數與復合函數的連續性

【例1】二、反函數與復合函數的連續性

則可得到下列結論.【例2】二、反函數與復合函數的連續性定理4設函數u=φ(x)在點x0處連續，且φ(x0)=u0，而函數y=f(u)在點u=u0處連續，則復合函數f［φ(x)］在點x0處也連續.例如，函數u=1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)內連續.函數y=sinu在(－∞,+∞)內連續，所以y=sin1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)內連續.二、反函數與復合函數的連續性三、初等函數的連續性定理5基本初等函數在其定義域內是連續的.因初等函數是由基本初等函數經過有限次四則運算和復合運算所構成的，故得到下列重要結論.定理6—切初等函數在其定義區間內都是連續的.定義區間是指包含在定義域內的區間.初等函數僅在其定義區間內連續，在其定義域內不一定連續.例如,函數y=x2(x－1)3的定義域為{0}∪［1,+∞),函數在點x=0的鄰域內沒有定義，因而函數y在x=0處不連續，但函數在定義區間［1,+∞)上連續.注意√三、初等函數的連續性

定理6的結論非常重要,因為高等數學的研究對象主要是連續或分段連續的函數，而一般應用中所遇到的函數基本上是初等函數，其連續性的條件總是滿足的，從而使高等數學具有強大的生命力和廣闊的應用前景.此外，根據定理6求初等函數在其定義區間內某點的極限，只需求初等函數在該點的函數值，即三、初等函數的連續性

解因為x=1是函數y=sin(lnx)的連續點，所以【例3】三、初等函數的連續性四、閉區間上連續函數的性質

下面介紹閉區間上連續函數的幾個基本性質，由于它們的證明涉及嚴密的實數理論，故略去其嚴格證明，但可以借助幾何直觀地來理解.先說明最大值和最小值的概念.對于在區間I上有定義的函數f(x),如果存在x0∈I，使得對于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值（最小值）.例如，函數y=cosx在區間[π/2,π]上有最大值0和最小值－1.函數y=sgnx在(－∞,+∞)內有最大值1和最小值－1.定理7

（最值定理）在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值.定理7表明，若函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，則至少存在一點ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在閉區間［a,b］上的最小值；又至少存在一點ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在閉區間［a,b］上的最大值（見圖1-45）.四、閉區間上連續函數的性質當定理7中的“閉區間上連續”的條件不滿足時，定理的結論可能不成立.例如，函數在閉區間［0,1］上有間斷點x=0,x=1.該函數在閉區間［0,1］上既無最大值又無最小值（見圖1-46).注意四、閉區間上連續函數的性質定理8（有界性定理）在閉區間上連續的函數在該區間上一定有界.四、閉區間上連續函數的性質證明：若函數f(x)在(－∞,+∞)上連續，且limx→∞f(x)存在，則f(x)在(－∞,+∞)上必有界.另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上連續，所以在閉區間［－X,X］上連續，因此當x≤X時，f(x)在［－X,X］上一定有界，即存在M0>0，使|f(x)|≤M0.若取M=maxM0,1+A，則對于任意的x∈(－∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界.如果f(x0)=0，則稱x0為函數f(x)的零點.【例4】四、閉區間上連續函數的性質定理9

（零點定理）設函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，且f(a)與f(b)異號（f(a)·f(b)<0），則在開區間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.零點定理的幾何意義是：若連續曲線y=fx在［a,b］的端點處的函數值異號，則曲線與x軸至少有一個交點，如圖1-47所示.四、閉區間上連續函數的性質

證明方程x5－7x+3=0在區間(0,1)上至少有一個實根.證明令f(x)=x5－7x+3,則f(x)在區間0,1上連續,又f(0)=3>0,f(1)=－3<0.由零點定理知,在區間(0,1)內至少存在一點ξ,使f(ξ)=0，即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在區間(0,1)上至少有一個實根.【例5】四、閉區間上連續函數的性質定理10

（介值定理）設函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，且在該區間的端點處有不同的函數值f(a)=A及f（b）=B，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=C.介值定理的幾何意義是：對介于f(a)與f(b)之間的任何一個數C,直線y=C與連續曲線y=fx至少有一個交點，如圖1-48所示.

推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.四、閉區間上連續函數的性質

設函數f(x)在(a,b)上連續，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，證明在(a,b)內至少存在一點ξ，使得證明由于［x1,x2］(a,b),所以函數f(x)在［x1,x2］上連續,由閉區間連續函數的最值定理知,f(x)在［x1,x2］上有最大值M和最小值m,有m≤f(x)≤M