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正項級數及其審斂法正項級數及其審斂法設級數u1+u2+u3+…+un+…的每一項都是非負數，即un≥0，則稱此級數為正項級數.顯然，正項級數的部分和數列是單調增加的，即

S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤Sn+1≤…，由數列收斂的準則可知，如果{Sn}單調有界，則數列{Sn}一定收斂，即若Sn≤M，則

且有S≤M

.反之，如果正項級數

收斂于S，即

則{Sn}一定有界.由上面的討論可得正項級數判別收斂的基本法則.S正項級數及其審斂法定理1正項級數

收斂的充分必要條件是它的部分和數列{Sn}有界.此定理的意義在于，當判斷一個正項級數是否收斂時，可以不求部分和Sn及其極限，只要能夠判定{Sn}是否有界就可以了.定理1是判別正項級數是否收斂的基本法則，有關正項級數的其他審斂法都是以這條定理為基礎而建立起來的.但是，無論是由定義還是基本法則來判定正項級數的收斂性，都涉及部分和的計算，這是相當困難的，為此，下面我們在基本法則的基礎上，討論常用的正項級數的審斂方法.首先看一個例題.正項級數及其審斂法【例8】正項級數及其審斂法定理2正項級數及其審斂法該審斂法條件中的不等式，也可以從某項開始，即un≤vn(n=N,N+1,…).見推論，請讀者自己論證.注正項級數及其審斂法推論正項級數及其審斂法【例9】利用比較審斂法，需要和已知的級數相比較，我們已經有等比級數和調和級數，另一個常用的級數是p級數.正項級數及其審斂法【例10】判別p級數正項級數及其審斂法p級數收斂性結論在以后級數的收斂性判定中經常會用到，請牢記.注正項級數及其審斂法【例11】判定下列級數的斂散性.正項級數及其審斂法利用比較審斂法，常要在討論不等式上花費很大精力，同時要對所討論的級數有個大致的估計，才能證明是收斂或是發散.因為我們都是在一般項趨近于零的前提下討論斂散性，因此我們自然會想，可否通過比較一般項的無窮小的階來判斷其收斂性呢？下面給出比較審斂法的極限形式.正項級數及其審斂法定理3正項級數及其審斂法正項級數及其審斂法正項級數及其審斂法【例12】正項級數及其審斂法定理4正項級數及其審斂法(11-3)正項級數及其審斂法(2)當ρ>1時，取ε使得ρ－ε=q>1，于是當n>N時，正項級數及其審斂法正項級數及其審斂法【例14】正項級數及其審斂法【例15】正項級數及其審斂法【例16】正項級數及其審斂法定理5正項級數及其審斂法【例17】正項級數及其審斂法【例18】正項級數及其審斂法【

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