常微分方程模型

-----常微分方程的應用主要內容第一章緒論基本概念和常微分方程的發展歷史在初等數學中，我們曾經學習過代數方程，三角方程，指數方程和對數方程等等。在高等代數中，我們又學習了高次代數方程，n元線性代數方程組。這些方程(組)有一個共同點，就是作為未知而需要求出來的是一個或幾個特定的值(稱為方程的根或解)。這樣的方程我們把它們稱為初等方程（包含代數方程和超越方程）。第一節常微分方程模型一、微分方程概念的引進例如數學分析中的隱函數問題，就是在一定條件下，由方程(*)來確定隱函數，上述方程(*)是眾所周知的隱函數方程，它是函數方程中最簡單的一種。而隱函數就是所要求的未知函數。而在高等數學中，常常需要研究的是另外一類性質上完全不同的方程。在這類方程中,作為未知而需要求出來的已經不是一個或幾個特定的值，而是一個函數。我們稱這類方程為高等方程也稱它為函數方程。因為在研究這些實際問題時，往往不能直接找到所研究的那些量之間的依賴關系，但是卻能根據實際問題中蘊含的某些規律，建立起它們和它們的變化率(導數)之間的關系式。

數學分析中所研究的函數,是反映客觀現實世界運動過程中量與量之間的一種關系。但是在大量實際問題中，對于稍為復雜一些的運動過程,反映運動規律的量與量之間的關系(即函數)往往不能直接寫出來,卻比較容易建立這些變量和它們的導數(或微分)之間的關系式。于是，我們把包含未知函數的導數（或微分）的方程叫做微分方程。二、實際問題的常微分方程模型問題一：將某物體放置于空氣中，在時刻時，測量得它的溫度為，10分鐘后測量得溫度為問題與要求：決定此物體的溫度和時間的關系基本假設：空氣的溫度保持為.分析：了解有關物體溫度變化的基本規律：熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導；在一定的溫度范圍內(其中包括了上述問題的溫度在內)，一個物體的溫度變化速度與這一物體和其所在介質溫度的差值成比例，這就是牛頓（Newton）冷卻定律。假設：設物體在時刻t的溫度為，則溫度的變化速度為。注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導的。因而，所以溫差恒正；又因物體將隨時間而逐漸冷卻，故溫度變化速度恒為負。因此由牛頓冷卻定律得其中k是比例常數，方程(1.1)就是物體冷卻過程的數學模型，它含有未知函數u及它的(一階)導數，這樣的方程，就稱為(一階)微分方程。將(1.1)改寫成變量u和t被分離出來了,對上式兩邊積分得由此，令，有代入初始條件，并整理得到解曲線其中是積分常數，對上式進行變形又得到：圖解評注：符合實際情況，真實地反映了物理現象：高溫物體在低溫環境中的溫度變化過程和情況。問題二：R-L電路電流方程:MQOAPmg問題三：R-L-C電路電流方程:問題四：數學擺（下圖）的運動方程(下面三個方程)。前面我們介紹了微分方程的一些物理背景，其實在自然科學和技術科學的其它領域，例如化學、生物學、自動控制、電子技術、分支、混沌、非線性振動等學科中，都提出了大量的微分方程問題。同樣在社會科學的一些領域里也存在著微分方程的問題。因此，微分方程是一門與實際聯系比較密切的數學課程，應該注意它的實際背景與應用；而作為一門數學基礎課程，又應該把重點放在應用數學方法研究微分方程本身的問題上。第一章緒論第二章一階微分方程的初等解法第三章一階微分方程的解的存在定理第四章高階微分方程第五章線性微分方程組第六章非線性微分方程定性、穩定性理論第七章一階線性偏微分方程常微分方程課程的基本內容：教材：王高雄等編，常微分方程（第三版），高教出版社，2006《常微分方程》，東北師范大學微分方程教研室編，高等教育出版社，2005《常微分方程教程》，丁同仁等編，高等教育出版社，1991《常微分方程習題解》(第1版)，莊萬，山東科學技術出版社，2004《微分方程數值解法》,李榮華，高等教育出版社，2005《微分方程模型與混沌》，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，1999主要參考書第二節微分方程的基本概念定義聯系自變量、未知函數及它的導數(或微分)的關系式稱為微分方程。1.微分方程注微分方程是函數方程，其中未知函數的導數或微分必不可少。不定積分問題可以用方程的概念敘述為假設是自變量的連續函數,試求函數使其滿足微分方程方程（**）就是一個典型的微分方程。2.什么是常微分方程？定義所討論的微分方程，當未知函數是一元函數時,稱為常微分方程，而未知函數是多元函數時，稱為偏微分方程。偏微分方程：常微分方程：一階，非線性二階，線性一階，線性二階，非線性常微分方程是古老的數學分支之一，它與動力系統緊密相關并有相當重要的應用價值。如分支問題、混沌問題、非線性振動的復雜性等等。常微分方程與其他學科也緊密相關。偏微分方程是研究客觀現實世界數量間相互制約關系的有力工具，它的研究對象來源于數學的其它分支和自然科學及工程技術中的有關問題。在上個世紀中偏微分方程的理論取得了重大進展，但是關于偏微分方程初始邊值問題適定性還有許多問題有待進一步的研究。3.微分方程的階

定義微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數稱為微分方程的階數。n階常微分方程的一般形式為

這里是的已知函數，一定含有；是未知函數，是自變量。4.線性和非線性定義如果微分方程對未知函數和出現的各階導數而言是一次有理整式，則稱此微分方程為線性微分方程，否則稱為非線性微分方程。參見上述各例。n階線性微分方程的一般形式為

這里是的已知函數。5.解和隱式解如果可微函數代入方程（1.12）后，能使它變為恒等式，則稱函數為方程（1.12）的解。定義如果由關系式所確定的隱函數是微分方程（1.12）的解，則稱關系式為微分方程（1.12）的積分或隱式解。6.通解和特解定義把含有個獨立的任意常數的解稱為階方程（1.12）的通解

類似地可以定義n階方程（1.12）的隱式通解。為了方便，通常我們不對解和隱式解，通解和隱式通解加以區分，統稱為方程（1.12）的解，通解。定解條件：為了確定微分方程一個特定的解而給出這個解所必需滿足的條件。常見的定解條件就是初始條件和邊界條件。初始條件所謂n階微分方程（1.12）的初始條件是指如下的n個條件：當時，定解問題:求微分方程滿足定解條件（初始條件）的解初值問題(柯西Cauchy問題)：當定解條件是初始條件時，相應的定解問題就稱為初值問題。這是本課程討論的重點。特解把滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。說明：初始條件不同，對應的特解也不同，一般來說，特解可以通過初始條件的限制，從通解中確定任意常數而得到。定義一階微分方程

的解

代表xy平面上的一條曲線，就稱之為微分方程的積分曲線。（1.17）而微分方程的通解代表xy平面上的一族曲線，就稱之為微分方程的積分曲線族。7.積分曲線和方向場__一階微分方程的幾何意義

積分曲線

滿足初始條件的特解就是通過點的一條積分曲線。

為方程（1.17）的積分曲線的充要條件是其上每一點上的切線斜率剛好等于函數在這點的值.方向場設函數的定義域為，在每一點處畫上一個有向小線段，其斜率等于在該點的值，把帶有這種直線段的區域稱為由方程（1.17）規定的方向場，又稱向量場。等斜線在方向場中，方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線（等傾斜線）。方向場畫法適當畫出若干條等斜線，再在每條等斜線上適當選取若干個點畫出對應的方向向量,這樣即可畫出這個方向場.例畫出方程所確定的方向場示意圖.解方程的等斜線為畫出五條等斜線,再在每條等斜線上適當選取若干個點，畫出對應的方向向量，得右圖所示的方向場。根據方向場可大致描繪出積分曲線．經過點(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三條積分曲線．如右圖所示。圖1.2等斜線積分曲線：圖中實線例討論微分方程的積分曲線的分布等斜線是雙曲線：積分曲線的分布概況如右圖.拐點所在的曲線8.微分方程組定義由含有若干未知函數的若干個微分方程聯立而成的數學式子稱為微分方程組。Lorenz方程組Volterra兩種種群競爭模型(1.18)(1.19)高階微分方程的顯式形式如果把都理解為未知函數，并作變換上述高階微分方程就可以化為下列微分方程組并可以記為向量形式其中均為向量函數．說明：微分方程（組）的向量形式為以后用線性代數知識進行研究討論提供了方便。可以化為微分方程組9.駐定與非駐定方程組、動力系統如果方程組的右端不顯含有自變量，即則稱其為駐定(自治)的，否則就稱為非駐定的(非自治)的。注：對于非駐定方程組總可以引入變換變為駐定方程組。把滿足恒同性和可加性的映射族稱為動力系統。動力系統分為離散和連續兩種類型，對應有離散動力系統和連續動力系統。和結論記為單參數的上的映射(變換)族，則該映射族滿足恒同性和可加性，即：（1.20）10.相空間、奇點和軌線相空間：不含自變量、僅由未知函數組成的空間稱為相空間。奇點：f(y)=0的解稱為駐定微分方程組（1.20）的平衡解（駐定解、常數解）或奇點（平衡點）。軌線：積分曲線在相空間中的投影稱為軌線。對于方程組此時相空間為相平面,可以利用f(x,y)=0和g(x,y)=0所確定的垂直和水平等斜線劃分相平面，而在所得區域上判斷軌線的走向,討論平衡點的穩定性.11.雅可比矩陣與函數相關性當時，稱雅可比矩陣對應的行列式為雅可比行列式，記為雅可比矩陣:對于個變元的個函數定義雅可比矩陣為常微分方程發展歷史大致分為如下四個階段:1)17世紀至18世紀,微分方程發展初期,求通解時代.2)19世紀初中葉,轉向求特解時代,存在唯一性,微分方程的解析理論,近似解法3)19世紀末到20世紀5