階段性測試題七(不等式)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(文)已知a，b為非零實數且a<b，則下列命題成立的是()A．a2<b2 B．ab2>a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)[答案]C[解析]若a<b<0，可得a2>b2，知A不成立．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab<0,a<b))，可得a2b>ab2，知B不成立．若a＝1，b＝2，則eq\f(b,a)＝2，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)有eq\f(b,a)>eq\f(a,b)，知D不成立，故選C．(理)設x∈R，則“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題考查充要條件，解一元二次不等式的學問．由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，即x<－1或x>eq\f(1,2)，又由于x>eq\f(1,2)?2x2＋x－1>0，而2x2＋x－1>0?/x>eq\f(1,2)，選A．2．(2021·邵陽模擬)已知0<a<b，且a＋b＝1，則下列不等式，正確的是()A．log2a>0 B．2a－b<eq\f(1,2)C．2eq\s\up7(\f(a,b))＋eq\s\up7(\f(b,a))<eq\f(1,2) D．log2a＋log2b<－2[答案]D[解析]當a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)時，選項A不成立；對于選項B，a－b＝－eq\f(1,2)，2a－b＝2－eq\s\up7(\f(1,2))＝(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(1,2))>(eq\f(1,2))1＝eq\f(1,2)，選項B錯誤；對于選項C，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝3＋eq\f(1,3)，2eq\s\up7(\f(a,b))＋eq\s\up7(\f(b,a))＝23＋eq\f(1,3)>2>eq\f(1,2)，選項C錯誤，故選D．3．小王從甲地到乙地的來回時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()A．a<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C．eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)[答案]A[解析]設從甲地到乙地的全程為s，則v＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2ab,a＋b)∵0<a<b，∴a＋b<2b，a＋b>2eq\r(ab)，所以eq\f(2ab,2b)<eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))，則a<eq\f(2ab,a＋b)<eq\r(ab)，即a<v<eq\r(ab).故選A．4．不等式x2－3x－10≥0的解集是()A．(－∞，－2]∪[5，＋∞) B．[－2,5]C．(－∞，＋∞) D．?[答案]A[解析]由于依據一元二次不等式的解法，結合二次函數的圖像及根的大小，可知x2－3x－10≥0?(x－5)(x＋2)≥0?x≥5或?x≤－2，可知不等式x2－3x－10≥0的解集是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．故答案為A．5．已知x，y滿足線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0，))則eq\f(y＋1,x)的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．[1,2] D．(－∞，＋∞)[答案]A[解析]作出不等組表示的可行域，可知k＝eq\f(y＋1,x)，表示可行域內的點與P(0，－1)，連線的斜率，所以k≥kPC＝1，故選A．6．(2021·溫州一模)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數y＝f(－x)的圖像為圖中的()[答案]B[解析]∵ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，∴a<0且－2,1為方程ax2－x－c＝0的兩根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝－1,－\f(c,a)＝－2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,c＝－2)).∴f(x)＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)．故選B．7．(2022·北京高考)若x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值為－4，則k的值為()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[答案]D[解析]如圖，作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,y≥0))所表示的平面區域，作出目標函數取得最小值－4時對應的直線y－x＝－4，即x－y－4＝0.明顯z的幾何意義為目標函數對應直線x－y＋z＝0在x軸上的截距的相反數，故該直線與x軸的交點(4,0)必為可行域的頂點，又kx－y＋2＝0恒過點(0,2)，故k＝eq\f(2－0,0－4)＝－eq\f(1,2).故選D．8．某企業投入100萬元購入一套設備．該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費確定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業()年后需要更新設備．()A．10 B．11C．13 D．21[答案]A[解析]由題意可知x年的維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年平均維護費用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5，由均值不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時取等號，所以選A．9．已知偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上滿足f′(x)>0，則滿足f(x2－2x)<f(x)的x的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3,3) D．(1,3)[答案]D[解析]由于偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上滿足f′(x)>0，所以函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，在區間(－∞，0)內單調遞減，所以由f(x2－2x)<f(x)可得|x2－2x|<|x|，解得1<x<3，所以滿足f(x2－2x)<f(x)的x的取值范圍是(1,3)．10．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0,log\f(1,2)－x，x<0))，若af(－a)>0，則實數a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]A[解析]若a>0，則由af(－a)>0得，aeqlog\s\do8(\f(1,2))a>0，解得0<a<1.若a<0，則由af(－a)>0得，alog2(－a)>0，即log2(－a)<0解得0<－a<1，所以－1<a<0.綜上0<a<1或－1<a<0，選A．第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11．若關于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集為{x|1<x<2}，則實數m的值為________．[答案]2[解析]解法1：由m(x－1)>x2－x整理得(x－1)(m－x)>0，即(x－1)(x－m)<0，又m(x－1)>x2－x的解集為{x|1<x<2}，所以m＝2.解法2：由條件知，x＝2是方程m(x－1)＝x2－x的根，∴m＝2.12．(文)(2022·湖南高考)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥1，))則z＝2x＋y的最大值為________．[答案]7[解析]本題考查了簡潔線性規劃最優解問題．可行域如圖，要使z＝2x＋y最大，則該直線過點A，而點A的坐標由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1,x＋y＝4))可得，A(3,1)，∴zmax＝2×3＋1＝7.(理)(2022·湖南高考)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥k，))，且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝________.[答案]－2[解析]本題考查線性規劃中參數的求值問題．求出約束條件中三條直線的交點為(k，k)，(4－k，k)，(2,2)，且y≤x，x＋y≤4的可行域如圖，所以k≤2，要使z＝2x＋y最小，該直線過點A(k，k)，∴3k＝－6?k＝－2，故填－2.13．已知向量a＝(x，－2)，b＝(y,1)，其中x，y都是正實數，若a⊥b，則t＝x＋2y的最小值是________．[答案]4[解析]由于a⊥b，所以a·b＝(x，－2)·(y,1)＝0，即xy＝2，又t＝x＋2y≥2eq\r(2xy)＝4，所以t＝x＋2y的最小值是4.14．若關于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，則實數a的取值范圍為________．[答案](－∞，0][解析]∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函數的性質可知：當2x＝2，即x＝1時，y有最小值為0.∴a的取值范圍為(－∞，0]．15．已知函數f(x)與g(x)的圖像關于直線x＝2對稱，若f(x)＝4x－15，則不等式eq\f(gx,x2－1)≥0的解集是________．[答案](－∞，－1)∪[eq\f(1,4)，1)[解析]若f(x)＝4x－15，則g(x)＝f(4－x)＝4(4－x)－15＝1－4x，故不等式eq\f(gx,x2－1)≥0等價于eq\f(1－4x,x2－1)≥0，即(x－1)(x＋1)(4x－1)≤0(x≠1且x≠－1)，解得x<－1或eq\f(1,4)≤x<1.三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)已知不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集為?，求k的取值范圍．[解析](1)∵不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}．∴k<0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根．∴x1x2＝6，x1＋x2＝－5.∴k＝－eq\f(2,5).(2)由于k≠0，要使不等式解集為?，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0,Δ≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0,1－6k2≤0))，解得k≥eq\f(\r(6),6).即k的取值范圍是k≥eq\f(\r(6),6).17．(本小題滿分12分)已知a>0且a≠1，關于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，解關于x的不等式loga(x－eq\f(1,x))<0的解集．[解析]由于關于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，所以a>1，故loga(x－eq\f(1,x))<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)>0,x－\f(1,x)<1))?－1<x<eq\f(1－\r(5),2)或1<x<eq\f(1＋\r(5),2)，∴原不等式的解集是(－1，eq\f(1－\r(5),2))∪(1，eq\f(1＋\r(5),2))．18．(本小題滿分12分)已知向量a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，其中m∈R.若f(x)＝a·B．(1)當m＝3時解不等式f(x)<x；(2)假如f(x)在(－2，＋∞)上單調遞減，求實數m的取值范圍．[解析]由于a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，所以f(x)＝a·b＝－x2＋(m＋1)x.(1)當m＝3時，f(x)＝－x2＋4x，不等式f(x)<x，即－x2＋4x<x，解得x>3或x<0，所以m＝3時，不等式f(x)<x的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞)．(2)假如f(x)＝－x2＋(m＋1)x在(－2，＋∞)上單調遞減，則有eq\f(m＋1,2)≤－2，解得m≤－5，所以實數m的取值范圍是m≤－5.19．(本小題滿分12分)已知α，β是三次函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)ax2＋2bx(a，b∈R)的兩個極值點，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求動點(a，b)所在的區域面積S.[解析]由函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，由題意知，α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的兩個根，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0＝2b>0,f′1＝1＋a＋2b<0，,f′2＝4＋2a＋2b>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0,a＋2b＋1<0,a＋b＋2>0))，畫出可行域如圖，所以S＝eq\f(1,2).20．(本小題滿分13分)函數f(x)對一切實數x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)當0<x<2時不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范圍．[解析](1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，∴f(x)＝x2＋x－2.(3)f(x)>ax－5化為x2＋x－2>ax－5，ax<x2＋x＋3，∵x∈(0,2)，∴a<eq\f(x2＋x＋3,x)＝1＋x＋eq\f(3,x).當x∈(0,2)時，1＋x＋eq\f(3,x)≥1＋2eq\r(3)，當且僅當x＝eq\f(3,x)，即x＝eq\r(3)時取等號，由eq\r(3)∈(0,2)，得(1＋x＋eq\f(3,x))min＝1＋2eq\r(3).∴a<1＋2eq\r(3).21．(本小題滿分14分)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m2的三級污水處理池，池的深度確定(平面圖如圖所示)，假如池四四周墻建筑單價為400元/m，中間兩道隔墻建筑單價為248元/m，池底建筑單價為80元/m2，水池全部墻的厚度忽視不計.(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．[分