曲線方程曲線方程空間曲線是由兩個曲面相交而產生的，由于空間曲面方程的建立和圖形繪制較難，為此，空間曲線圖形的繪制和方程的建立更難.本節將簡單介紹空間曲線的參數式方程和空間曲線在坐標面上的投影曲線方程，供我們在今后的學習中參考.一、空間曲線及其方程空間曲線的一般式方程1.空間直線可以看作是兩個平面的交線，而它的方程可以用這兩相交平面方程的聯立方程組來表示.同樣，空間曲線可以看作兩個曲面的交線.設有兩個相交的曲面，它們的方程分別是F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0.那么聯立方程組

(7-29)

就是它們交線的方程，稱式(7-29)為空間曲線的一般式方程.一、空間曲線及其方程【例31】一、空間曲線及其方程空間曲線的參數式方程2.空間曲線的參數式方程是我們在學習多元函數積分學時要用到的，但其方程的建立比較麻煩，我們這里只簡單介紹只有一個參變量的參數方程.如果曲線C上的點M(x,y,z)的坐標可以表示為某個變量t的函數，即

(7-30)當t在［α,β］上每取一個值時，就得到曲線C上的一個點M(x,y,z)，而t由α變到β時就得到曲線C上的所有點.則式(7-30)稱為曲線C的參數式方程，其中t稱為參數.一、空間曲線及其方程【例32】圖7-37一、空間曲線及其方程二、空間曲線在坐標面上的投影設在空間直角坐標系中有一條曲線C′，過C′作母線平行于z軸的柱面，與xOy平面的交線為C，則稱C為曲線C′在xOy面上的投影曲線(見圖7-38).圖7-38二、空間曲線在坐標面上的投影下面來建立空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.設空間曲線C′的方程為

(7-31)為求C′在坐標面xOy面上的投影曲線方程，現從式(7-31)中消去z后，得方程

H(x,y)=0，(7-32)

二、空間曲線在坐標面上的投影這正是母線平行于z軸的柱面方程.由于它是從式(7-31)中得出，為此，在曲線C′上的點，其坐標必滿足式(7-31)，從而也一定滿足H(x,y)=0，所以，這個柱面是以曲線C′為準線的柱面，我們稱其為投影柱面.它與xOy坐標面的交線C的方程為

(7-33)

即為空間曲線C′在xOy坐標面上的投影曲線方程.同理，從式(7-31)中消去x或y，分別得投影柱面方程G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分別與x=0或y=0聯立，即可得曲線C′在坐標面yOz面或zOx面上的投影曲線方程分別為

二、空間曲線在坐標面上的投影【例33】二、空間曲線在坐標面上的投影中未知量z消去.方程組中兩方程相減得x+z=1，即z=1－x，將其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程為

2x2+y2－2x=0.于是，兩球面的交線在xOy面上的投影曲線方程為最后，我們通過例題來說明，空間解析幾何中由方程來描繪空間區域的方法.它在今后多元函數積分學中經常用到，要仔細體會.二、空間曲線在坐標面上的投影【例34】二、空間曲線在坐標面上的投影方程y2+z2=1表示以坐標面yOz面上的圓y2+z2=1為準線，母線平行于x軸的圓柱面.于是y2+z2≤1表示這個圓柱面所圍成的內部及其表面.直圓柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y