函數展開成冪級數_第1頁
函數展開成冪級數_第2頁
函數展開成冪級數_第3頁
函數展開成冪級數_第4頁
函數展開成冪級數_第5頁
已閱讀5頁，還剩16頁未讀， 繼續免費閱讀

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

函數展開成冪級數函數展開成冪級數我們已經討論了冪級數的收斂域及其和函數的性質.但是在許多應用中，我們經常會遇到一類相反的問題，即已知函數f(x)，要考慮它是否能在某個區間內展開成冪級數，也就是說，是否能找到這樣的一個冪級數，它在某區間內收斂，且其和恰好就是所給定的函數f(x).如果能找到這樣的冪級數，我們說，函數f(x)在該區間內能展開成冪級數，或者簡單地說，函數f(x)能展開成冪級數，而該級數在其收斂區間內表示函數f(x).我們先看n階泰勒公式.若函數f(x)在x0的某一鄰域內具有直到n+1階導數，則在該鄰域內函數f(x)的n階泰勒公式為函數展開成冪級數來近似表示，并且其誤差等于余項的絕對值Rn(x).顯然，如果Rn(x)隨著n的增大而減小，那么，我們就可以用增加多項式項數的辦法來提高精度.如果f(x)在點x0的某鄰域內具有各階導數f′(x0),f″(x0),…,f(n)(x0),…，這時我們可以設想多項式Pn(x)的項數趨向無窮而成為冪級數這個冪級數稱為函數f(x)在x0處的泰勒級數.函數展開成冪級數(1)函數f(x)在x0的某鄰域內具有任意階導數；(2)當n→∞時，余項Rn(x)→0(在x0的鄰域內).第一個條件保證我們能作出以f(n)(x0)n!為系數的冪級數，第二個條件是保證這個級數在x0的鄰域內收斂于f(x)，所以這兩個條件是缺一不可的.現在存在這樣一個問題.若函數f(x)能夠表示為x的冪級數

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…它與f(x)的麥克勞林級數是否一致？下面我們將證明，若函數f(x)能展開為x的冪級數，則它的展開式是唯一的，且這個唯一的展開式就是f(x)的麥克勞林級數.函數展開成冪級數事實上，若函數f(x)可以展開成x的冪級數函數展開成冪級數第三章中我們已給出了幾個常用的初等函數的麥克勞林公式，在此不再贅述.根據上面的討論，把函數f(x)展開成x的冪級數，可按下列步驟進行：(1)求出函數f(x)的各階導數f′(x),f″(x),…,f(n)(x),…，且以x=0代入，得到f′(0),f″(0),…,f(n)(0),….如果發現某階導數不存在，則該函數不能展開為x的冪級數；(2)寫出冪級數函數展開成冪級數函數展開成冪級數【例33】函數展開成冪級數【例34】函數展開成冪級數以上兩例是直接利用公式，將給定的函數展開為冪級數.這種方法稱為直接展開法.用直接展開法把函數展開成冪級數，一方面需要計算高階導數，另一方面要討論余項Rn(x)是否趨于零.一般來說，這兩方面做起來是不容易的.因此，我們常以一些函數的已知展開式為基礎，利用冪級數的一些性質，將函數展開為冪級數，從而避免了高階導數的計算和余項的討論.這種方法稱為間接展開法.由于函數的冪級數展開式具有唯一性，同一函數用直接展開法或用間接法求出的冪級數是一樣的.函數展開成冪級數【例35】函數展開成冪級數【例36】函數展開成冪級數【例37】函數展開成冪級數【例38】函數展開成冪級數【例39】函數展開成冪級數【例

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論