高階導數高階導數

當x變化時，f(x)的導數f′(x)仍是一個關于x的函數，對于這個新的函數，如果可導，就可以將f′(x)繼續對x進行求導，從而得到“導了再導”的函數，這就是高階導數.一、高階導數的定義引列求變速直線運動物體的瞬時加速度.

一、高階導數的定義分析如果物體的運動方程為s=s(t)，則變速直線運動的瞬時速度v是路程s對時間t的導數，即而加速度a又是速度v對時間t的變化率，也就是速度v對時間t的導數，即

于是這種導數的導數

或(s′)′稱為s對t的二階導數，記為s″(t).所以，物體運動的加速度就是路程s對時間t的二階導數.一、高階導數的定義一般地，如果函數y=fx的導數y′=f′x仍是x的可導函數，就稱y′=f′x的導數為函數y=fx的二階導數，記為相應地，把y=fx的導數f′(x)稱為函數y=fx的一階導數.

類似地,二階導數的導數稱為三階導數,記為

三階導數的導數稱為四階導數,記為

一般地，fx的n－1階導數的導數稱為fx的n階導數，記為一、高階導數的定義二階或二階以上的導數統稱為高階導數.

由高階導數的定義知，求函數y=fx的高階導數，只需連續多次求導數即可，因此仍可應用前面的求導方法進行計算.一、高階導數的定義【例27】一、高階導數的定義【例28】求指數函數y=ax(a>0,a≠1)的n階導數.

解y′=axlna,y″=axln2a,y“=axln3a,…,y(n)=axlnna,即ax(n)

=axlnna.

特別地，ex(n)=ex.

一、高階導數的定義【例29】求正弦函數y=sinx的n階導數.一、高階導數的定義【例30】求冪函數y=xα(α∈R)的n階導數.解y′=αxα－1，y″=α(α－1)xα－2，y″=α(α－1)(α－2)xα－3，y(4)=α(α－1)(α－2)(α－3)xα－4.一般地，可得y(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n，即xα(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n.當α=n時，得xn(n)=n?(n－1)?(n－2)?…?3?2?1=n!,而xn(n+1)=0.一、高階導數的定義【例31】設y=ln(1+x)，求y(n).一、高階導數的定義【例32】一、高階導數的定義【例33】設f(x)具有任意階導數，且f′(x)=f2(x)，求證：f(x)的n階導數f(n)

(x)=n!fn+1(x).

證由f′(x)=f2(x)，得f″(x)=2f(x)f′(x)=2!f3(x)，f

(x)=2!×3f

2(x)f′(x)=3!f4(x).

假設f(n－1)(x)=(n－1)!fn(x)，則f(n)(x)=(n－1)!·nfn－1(x)f′(x)=n!fn+1(x),

所以原命題成立.

二、萊布尼茲公式如果函數u=ux與v=vx都在點x處具有n階導數，那么u(x)+v(x)與u(x)-v(x)在點x處都具有n階導數，且u(x)±v(x)(n)=u(x)(n)±v(x)(n),

但乘積u(x)·v(x)的n階導數卻并不如此簡單.由

［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

首先得出［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+2u′(x)v′(x)+u(x)v″(x)，［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+3u″(x)v′(x)+3u′(x)v″(x)+u(x)v″(x).二、萊布尼茲公式用數學歸納法可以證明上式稱為萊布尼茲公式.

二、萊布尼茲公式【例34】設y=x2sinx,求y

(20).

解設u(x)=sinx,vx=x2,則由萊布尼茲公式知二、萊布尼茲公式【例35】年齡在0至36個月之間的男嬰的平均體重可以表示成函數ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3，其中t用月來度量，而ω用磅(1磅=0.454千克)來度量，求一個標準男嬰體重增長的加速度.解對ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3求