曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點函數的單調性反映在圖形上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題.如圖4-9所示的函數y=f(x)的圖形在區間(a,b)內雖然一直是上升的.圖4-9曲線的凹凸性與拐點但卻有不同的彎曲狀況.從左向右，曲線先是向上彎曲，通過點P后，扭轉了彎曲的方向，而向下彎曲.因此，研究函數圖形時，考察它的彎曲方向及扭轉彎曲方向的點是很必要的.首先給出如下定義.曲線的凹凸性與拐點定義2設函數f(x)在區間I內連續，若對I上任意兩點x1，x2，恒有則稱f(x)在I上的圖形是凹的；若恒有則稱f(x)在I上的圖形是凸的.

曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸具有明顯的幾何意義，對于凹曲線，當x逐漸增大時，其上每一點的切線的斜率是逐漸增大的，即導函數f′(x)是單調增加的(見圖4-10)；圖4-10曲線的凹凸性與拐點而對于凸曲線，當x逐漸增大時，其上每―點的切線的斜率是逐漸減小的，即導函數f′(x)是單調減少的(見圖4-11).于是有下述判斷曲線凹凸性的定理.圖4-11曲線的凹凸性與拐點定理12(曲線凹凸性的判定定理)設函數f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，則(1)若在(a,b)內，f″(x)>0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凹的.

(2)若在(a,b)內，f″(x)<0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凸的.

曲線的凹凸性與拐點證就情形(1)給出證明.

f(x0)－f(x1)=f′(ξ1)h,ξ1∈(x1,x0),

f(x2)－f(x0)=f′(ξ2)h,ξ2∈(x0,x2),

兩式相減，得f(x2)+f(x1)－2f(x0)=f′(ξ2)－f′(ξ1)h.(4-13)

在［ξ1,ξ2］上對f′(x)再次應用拉格朗日中值定理，得f′(ξ2)－f′(ξ1)=f″(ξ)(ξ2－ξ1),ξ∈(ξ1,ξ2),(4-14)

曲線的凹凸性與拐點將式(4-14)代入式(4-13)，得曲線的凹凸性與拐點討論曲線f(x)=2x2－ln

x的凹凸性.解函數的定義域是(0,+∞)，且【例36】曲線的凹凸性與拐點定義3連續曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點.

如何來尋找曲線y=f(x)的拐點呢？根據本節定理，二階導數f″(x)的符號是判斷曲線凹凸性的依據.如果f″(x)在x0的左、右兩側鄰近異號，那么點(x

0,f(x0))即為拐點，所以要尋找拐點，只要找出f″(x)符號發生變化的分界點.如果f(x)在區間(a,b)內具有二階連續導數，那么在這樣的分界點處必有f″(x)=0;除此之外，f(x)的二階導數不存在的點，也有可能是f″(x)的符號發生變化的分界點.因此，使得f″(x)=0與f″(x)不存在的點即為可能的拐點.曲線的凹凸性與拐點綜上所述，判定區間I上曲線的凹凸性與求曲線拐點的一般步驟為：(1)求函數的二階導數f″(x).

(2)令f″(x)=0，解出方程在區間I內的實根，并求出區間I內所有使二階導數不存在的點.

(3)對步驟(2)中求出的每一個點，檢查其鄰近左、右兩側f″(x)的符號，確定曲線的凹凸區間和拐點.曲線的凹凸性與拐點【例37】討論曲線f(x)=e－x2的凹凸性，并求出該曲線的拐點.

解函數的定義域是(－∞,+∞)，且曲線的凹凸性與拐點【例38】判定曲線y=x4－2x3+1的凹凸性,并求出該曲線的拐點.解函數的定義域是(-∞,+∞)，且y′=4x3－6x2,y″=12x2－12x=12x(x－1).令y″=0,得x1=0,x2=1,它們將函數的定義域分成三個區間(－∞,0］,［0,1］,［1,+∞).在(－∞,0)及(1,+∞)內,y″>0,所以在(－∞,0］和［1,+∞)內,曲線y