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常系數線性微分方程組解法第七節、常系數線性微分方程組解法

前面討論的微分方程所含的未知函數及方程的個數都只有一個，但在實際問題中，會遇到有幾個微分方程聯立起來共同確定幾個具有同一變量的函數的情形.這些聯立的微分方程稱為微分方程組.如果微分方程組中的每一個方程都是常系數線性微分方程，則稱這種微分方程組為常系數線性微分方程組.

本節只討論常系數線性微分方程組，所用到的求解方法是：利用代數的方法消去微分方程組中的一些未知函數及其各階導數，將所給方程組的求解問題轉化為含有一個未知函數的高階常系數線性微分方程的求解問題.下面通過實例來說明.第七節、常系數線性微分方程組解法

解微分方程組①②解由式②得（6-37）對式（6-37）求導得（6-38）將式（6-37）和式（6-38）代入式①得解得y=C1cost+C2sint.【例1】第七節、常系數線性微分方程組解法

第七節、常系數線性微分方程組解法

解

微分方程組

解記D=d/dt，則方程組可寫成

接下來消去x，得（2D2+4D+2）y=－1，（6-39）

方程（6-39）對應的齊次方程的特征方程為2r2+4r+2=0，【例2】第七節、常系數線性微分方程組解法解得特征根r1=r2=－1.因此，方程（6-39）對應的齊次方程的通解為y=C1+C2te－t.由于f(t)=－1,寫成Pmteλt的形式，就是P0t=－1,λ=0.0不是特征根，所以方程（6-39）具有形如y=A的特解，將其代入方程（6-39），得A=－1/2.因此，方程（6-39）的通解為y=C1+C2te－t－1/2.2x－2Dy=t，第七節、常系數線性微分方程組解法即

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