第十章10.9第九課時高考數學（理）黃金配套練習一、選擇題1．若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，則P(ξ＝1)的值為()A．3·2－2B．3·2－10C．2－4D．2－8答案B解析Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3?p＝eq\f(1,2)，n＝12，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,12)(eq\f(1,2))12＝3·2－10.2．設隨機變量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，則a×b＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2B．C．0.15D．0.4解析由分布列的性質得0.1＋a＋b＋0.1＝1，∴a＋b＝0.8①又由Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案C3．已知離散型隨機變量ξ，η，滿足ξ＋η＝8，且ξ～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是()A．6、2.4B．2、2.4C．2、5.6D．6、5.6解析由均值、方差的性質，ξ＋η＝8，得η＝8－ξ，Eη＝8－Eξ＝8－10×0.6＝2，Dη＝D(8－ξ)＝(－1)2Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B4．設投擲1顆骰子的點數為ξ，則()A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52B．Eξ＝3.5，Dξ＝eq\f(35,12)C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5D．Eξ＝3.5，Dξ＝eq\f(35,16)答案B5．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現有4顆子彈，命中后的剩余子彈數目ξ的期望為()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4答案C6．隨機變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數列，若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ的值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)解析∵a，b，c成等差數列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且Eξ＝－1×a＋1×c＝c－a＝eq\f(1,3).聯立三式得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴Dξ＝(－1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案C二、填空題7．若隨機變量ξ的分布列為：P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a.若Eξ＝2，則Dξ的最小值等于________．答案0解析依題意有a＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以Eξ＝eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n＝2，即m＋2n＝6，又Dξ＝eq\f(1,3)(m－2)2＋eq\f(2,3)(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以當n＝2時，Dξ取最小值為0.8．設一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復試驗，當p＝________時，成功次數的標準差的值最大，其最大值為________．答案eq\f(1,2)，25解析Dξ＝100P(1－P)≤100·(eq\f(P＋1－P,2))2＝25當且僅當P＝1－P.即P＝eq\f(1,2)時，Dξ最大為25.9．某保險公司新開設了一項保險業務，若在一年內大事E發生，該公司要賠償a元，設一年內大事E發生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%，公司應要求投保人交的保險金為________元．解析設要求投保人交x元，公司的收益額ξ作為隨機變量，則p(ξ＝x)＝1－p，p(ξ＝x－a)＝p，故Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，所以x－ap＝0.1∴x＝(0.1＋p)a.答案(0.1＋p)a三、解答題10．一臺設備由三大部件組成，在設備運轉中，各部件需要調整的概率相應為0.10，0.20和0.30.假設各部件的狀態相互獨立，以ξ表示同時需要調整的部件數，試求ξ的數學期望Eξ和方差Dξ.解析P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))＝0.9×0.8×0.7＝0.504；P(ξ＝1)＝P(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398；P(ξ＝2)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＋P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)A2A3)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092；P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.∴Eξ＝1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6，Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝1×0.398＋4×0.092＋9×0.006－0.62＝0.82－0.36＝0.4611．某制藥廠新研制出一種抗感冒藥，經臨床試驗療效顯著，但由于每位患者的身體素養不同，可能有少數患者服用后會毀滅略微不良反應，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒藥，若他們毀滅略微不良反應的概率分別是eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)求恰好有一人毀滅略微不良反應的概率；(2)求至多有兩人毀滅略微不良反應的概率；(3)設毀滅略微不良反應的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．解析(1)患者甲毀滅略微不良反應，患者乙、丙沒有毀滅略微不良反應的概率為eq\f(1,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,10)；患者乙毀滅略微不良反應，患者甲、丙沒有毀滅略微不良反應的概率為eq\f(4,5)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,5)；患者丙毀滅略微不良反應，患者甲、乙沒有毀滅略微不良反應的概率為eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(2,15)，所以，恰好有一人毀滅略微不良反應的概率為P1＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,5)＋eq\f(2,15)＝eq\f(13,30).(2)有兩人毀滅略微不良反應的概率P2＝eq\f(1,5)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,15)＋eq\f(1,30)＝eq\f(3,20).三人均沒有毀滅略微不良反應的概率P0＝eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以，至多有兩人毀滅略微不良反應的概率為eq\f(2,5)＋eq\f(13,30)＋eq\f(3,20)＝eq\f(59,60).(3)依題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3，由(1)(2)得，P(ξ＝0)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(13,30)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,20)，P(ξ＝3)＝1－eq\f(2,5)－eq\f(13,30)－eq\f(3,20)＝eq\f(1,60).于是ξ的分布列為：ξ0123Peq\f(2,5)eq\f(13,30)eq\f(3,20)eq\f(1,60)ξ的數學期望Eξ＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(13,30)＋2×eq\f(3,20)＋3×eq\f(1,60)＝eq\f(47,60).12．甲、乙、丙三人組成一組參與一個闖關玩耍團體賽．三人各自獨立闖關，其中甲闖關成功的概率為eq\f(1,3)，甲、乙都闖關成功的概率為eq\f(1,6)，乙、丙都闖關成功的概率為eq\f(1,5).每人闖關成功記2分，三人得分之和記為小組團體總分．(1)求乙、丙各自闖關成功的概率；(2)設團體總分為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．解析(1)設乙闖關成功的概率為P1，丙闖關成功的概率為P2，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)P1＝\f(1,6)，,P1·P2＝\f(1,5).))解得P1＝eq\f(1,2)，P2＝eq\f(2,5).即乙闖關成功的概率為eq\f(1,2)，丙闖關成功的概率為eq\f(2,5).(2)由題意知，ξ的可能取值為0,2,4,6，且P(ξ＝0)＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(2,5))＝eq\f(1,5)；P(ξ＝2)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(2,5))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)×(1－eq\f(2,5))＋(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,2))×eq\f(2,5)＝eq\f(13,30)；P(ξ＝4)＝(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(2,5))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝6)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,15).所以隨機變量ξ的分布列為ξ0246Peq\f(1,5)eq\f(13,30)eq\f(3,10)eq\f(1,15)所以Eξ＝0×eq\f(1,5)＋2×eq\f(13,30)＋4×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,15)＝eq\f(37,15).13．某同學參與3門課程的考試．假設該同學第一門課程取得優秀成果的概率為eq\f(4,5)，其次、第三門課程取得優秀成果的概率分別為p，q(p>q)，且不同課程是否取得優秀成果相互獨立．記ξ為該生取得優秀成果的課程數，其分布列為ξ0123Peq\f(6,125)abeq\f(24,125)(1)求該生至少有1門課程取得優秀成果的概率；(2)求p、q的值；(3)求數學期望Eξ.解析大事Ai表示“該生第i門課程取得優秀成果”i＝1,2,3，由題意知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于大事“該生至少有1門課程取得優秀成果”，與大事“ξ＝0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優秀成果的概率是1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由題意知P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)(1－p)(1－q)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)pq＝eq\f(24,125).整理得pq＝eq\f(6,25)，p＋q＝1.由p>q，可得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(2,5).(3)由題意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(4,5)(1－p)(1－q)＋eq\f(1,5)p(1－q)＋eq\f(1,5)(1－p)q＝eq\f(37,125).b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(58,125).Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝eq\f(9,5).14．設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數m，n∈S.(1)記“使得m＋n＝0成立的有序數組(m，n)”為大事A，試列舉A包含的基本大事；(2)設ξ＝m2，求ξ的分布列及其數學期望Eξ.解析(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本大事為：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的全部不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的全部不同取值為0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).P(ξ＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝9)＝eq\f(1,6).故ξ的分布列為：ξ0149Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)所以Eξ＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,6)＝eq\f(19,6).15．某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門．首次到達此門，系統會隨機(即等可能)為你打開一個通道．若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門．再次到達智能門時，系統會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時間．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的數學期望．解析(1)ξ的全部可能取值為：1,3,4,6，P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝6)＝eq\f(1,3)，所以ξ的分布列為：ξ1346Peq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)(2)Eξ＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(7,2)(小時)．拓展練習·自助餐1．有10件產品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的個數，則E(X)等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(8,15)C.eq\f(14,15)D．1答案A解析離散型隨機變量X聽從N＝10，M＝3，n＝2的超幾何分布，∴EX＝eq\f(nM,N)＝eq\f(2×3,10)＝eq\f(3,5).2．某人從家乘車到單位，途中有3個交通崗亭．假設在各交通崗遇到紅燈的大事是相互獨立的，且概率都是0.4，則此人上班途中遇紅燈的次數的期望為()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6答案B解析∵途中遇紅燈的次數X聽從二項分布，即X～B(3,0.4)，∴EX＝3×0.4＝1.2.3．設ξ～B(n，p)，且Eξ＝12，Dξ＝4，則n與p的值分別為()A．18，eq\f(1,3)B．12，eq\f(2,3)C．18，eq\f(2,3)D．12，eq\f(1,3)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝12,np(1－p)＝4))，解得n＝18