2024-2025學年寧夏回族自治區高三上學期第四次月考數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復數的虛部為（

）A． B．3 C． D．3i2．若一個圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐表面積為（

）A． B． C． D．3．已知向量，（），若，則（

）A． B． C． D．4．若，則（

）A． B． C． D．5．已知為等差數列的前n項和，公差為d.若，，則（）A． B．C． D．無最大值6．如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為7．已知函數（為常數），若在上的最大值為，最小值為，且，則（

）A．6 B．4 C．3 D．28．設，．若動直線與交于點A，C，動直線與交于點B，D，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則10．已知直線：，圓：，以下正確的是（

）A．與圓不一定存在公共點B．圓心到的最大距離為C．當與圓相交時，D．當時，圓上有三個點到的距離為11．設與其導函數的定義域均為，若的圖象關于對稱，在上單調遞減，且，則（

）A．為偶函數 B．的圖象關于原點對稱C． D．的極小值為-3三、填空題（本大題共3小題）12．已知，若直線與直線相互垂直，則a=.13．如圖所示，在棱長為6的正方體中，點分別是棱，的中點，過，，三點作該正方體的截面，則截面的周長為．14．已知是函數的兩個零點，且，若將函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，且函數在恰有2個極值點，則實數取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．記是公差不為0的等差數列的前項和，，且成等比數列.(1)求和；(2)若，求數列的前20項和.16．已知函數.(1)求的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的封閉圖形的面積；(2)設函數，若在定義域內單調遞減，求實數的取值范圍.17．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點，是線段上一動點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為時，求平面與平面夾角的余弦值.18．在中，設角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角B；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范圍．19．已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個數的余子式是指刪去那個數所在的行和列后剩下的行列式）．(1)計算．(2)設函數．①若的極值點恰為等差數列的前兩項，且的公差大于0，求；②若且，函數，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】化簡，得其虛部為3.故選：B2．【正確答案】A【詳解】由題意可知圓錐的母線長，底面圓周長為，底面圓面積為，所以圓錐側面積為，故該圓錐表面積為.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】因為，，所以，；因為，，即，解得或（舍去），所以，；故選：B.4．【正確答案】C【分析】由題意可知，根據二倍角公式及同角的三角函數關系可得，即可得答案.【詳解】解：因為，所以.故.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】對于選項A：因為數列為等差數列，則，即，可得，則，故A錯誤；對于選項B：因為，則，所以，故B正確；對于選項D：因為，且，可知，當時，；當時，；可知當且僅當時，取到最大值，故D錯誤，對于選項C：因為，所以，故C錯誤；故選：B.6．【正確答案】B【分析】對于A，根據正方體的性質判斷；對于BD，利用空間向量判斷；對于C，利用體積公式求解即可.【詳解】對于A：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖建立空間直角坐標系，則，對于B：，設平面的法向量為，則，令，則，則，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，故B正確；對于C：，所以三棱錐的體積為，故C錯誤；對于D：，直線BC與平面所成的角為，，故D錯誤.故選B.7．【正確答案】D【分析】將函數解析式化為，令，則，設，，可判斷是奇函數，根據奇函數性質及，求得答案.【詳解】因為，，令，則，設，，則，所以是奇函數，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選D.8．【正確答案】B【詳解】，圓心，半徑，過定點，過定點，且⊥，如圖，設和BD中點分別為F、G，則四邊形為矩形，

設，，則，則＝，當且僅當即時取等號.故選：B.9．【正確答案】AC【詳解】對于A，由，得存在過直線的平面與平交，令交線為，則，而，，則，，因此，A正確；對于B，由，，，得是平行直線或異面直線，B錯誤；對于C，由，得存在過直線的平面與平交，令交線為，則，由，得，又，則，因此，C正確；對于D，，，，當都平行于的交線時，，D錯誤.故選：AC10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，圓心到直線的距離為，當，即，解得或，此時直線與圓相離，沒有公共點，故A正確；對于B，因為直線，即，所以直線過定點，當時，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；對于C，當直線與圓相交時，則，解得，故C錯誤；對于D，當時，直線，圓心到直線的距離為，所以圓上有三個點到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】因為的圖象關于對稱，所以，即，則為偶函數，故A正確；由得，，兩邊取導數得，，即，所以，則是奇函數，所以圖象關于原點對稱，故B正確；由上可知，，又由得，所以，則，所以有，即函數是一個周期函數且周期為8；又由，令得，，則，故C錯誤；由在上單調遞減，又的圖象關于點對稱可知，在上單調遞減，所以在上單調遞減，又的圖象關于對稱，所以在上單調遞增，由周期性可知，在上單調遞增，所以當時，取得極小值，即，故D正確，故選：ABD.12．【正確答案】0或2【詳解】兩直線垂直，故，解得或2.故或213．【正確答案】【詳解】如圖，延長相交于，連接，交于，延長相交于，連接交于，可得截面五邊形，是邊長為的正方體，且分別是棱的中點，，截面的周長為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由，即，可得或，根據正弦函數圖象性質可知，解得，則；將函數的圖象向左平移個單位可得，又為偶函數，則，又，可得，因此；當時，可知，若函數在內恰有個極值點，可知，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)，；(2)【詳解】（1）設已知數列的公差為，則，由，得，即，所以或，顯然不為0，所以，所以，.（2）由（1）知，又，，，所以.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，則.又因為，所以的圖象在點處的切線為，與兩個坐標軸的交點分別為和，所求的封閉圖形的面積為.（2）的定義域為0,+∞，因為在定義域內單調遞減，所以，即，所以.設，則.當時，?′x>0，?x單調遞增，當時，?′所以，所以的取值范圍是.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因為，，則，又平面，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.

（2）因為底面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、、，設，，其中，顯然平面的一個法向量為，依題意，，解得，于是為的中點，即，設平面的法向量為，，，則，取，得，而平面的一個法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，根據正弦定理得：，且，可得，即，又因為，則，可得，整理可得，且B∈0,π，則，可得，解得.（2）由余弦定理得：，即，可得，解得，當且僅當時，等號成立，所以的面積為：，故面積的最大值為.（3）根據正弦定理得：，令，則，可得，將原式化為：，因為，則，可得，根據二次函數的圖像性質得到，當時，原式取得最小值，；當時，原式取得最大值，；故的取值范圍為.19．【正確答案】(1)18(2)①；②證明見解析【詳解】（1）原式．（2）．

（i）．當或時，；當時，．

所以在和上是增函數，在上是減函數，所以的極大值點為，極小值點為1．

因為的極值點恰為等差數列的前兩項，且的公差大于0，所以，

則公差，所以，

所以．

（ii）因為，所以在上無零點，在上存在唯一零