目錄

內容簡介

目錄

第12章結構動力學

12.1復習筆記

12.2課后習題詳解

12.3名校考研真題詳解

第13章結構彈性穩定

13,1復習筆記

13.2課后習題詳解

13.3名校考研真題詳解

第14章結構的極限荷載

14,1復習筆記

14.2課后習題詳解

14.3名校考研真題詳解

第15章懸索計算

15.1復習筆記

15.2課后習題詳解

15.3名校考研真題詳解

第12章結構動力學

12.1復習筆記

【知識框架】

動力荷載與靜力荷載

基本概念自由振動和強迫振動

結構動力計算的目的

振動自由度的定義

結構振動的自由度結構按自由度的數目分類；單自由度結構和多自由度結構

確定結構的振動自由度

無限自由度結構

自由振動的原因：初始位移、初始速度

單自由度結構的自由振動不考慮阻尼時的自由振動

考慮阻尼時的自由振動

簡諧荷載作用下單自由度受迫振動

單自由度結構在簡諧荷載作用下的受迫振動不考慮阻尼的純受迫振動

考慮阻尼的純受迫振動

瞬時沖量作用于質點

單自由度結構在任意荷載作用下的受迫振動任意動力載荷作用下的質點位移公式

振動微分方程兩種特殊載荷作用下的質點位移公式

按柔度法求解

多自由度結構的自由振動按剛度法求解

主振型的正交性

多自由度結構在筒諧荷載作用下的的受迫振動按柔度法求解

振型分解法的優點按剛度法求解

振型分解法振型分解法的步躲

振動微分方程組的建立

多自由度結構在任意荷載作用下的受迫振動振動微分方程組的解耦

待定常數的確定

求解的具體步驟

It地震作用的基本概念地震作用的定義

地震作用的計算地震作用的分類：水平地震和豎向地震

地震作用的實質

單自由度結構的地震作用計算

多自由度結構的地震作用計算

梁的自由振動

無限自由度結構的振動簡諧均布干擾力作用下的受迫振動

計算頻率的近似計算方法：能量法、集中質量法、用相當梁法計算桁架的最低頻率

【重點難點歸納】

一、基本概念

1.動力載荷與靜力載荷

（1）靜力載荷

靜力荷載是指施力過程緩慢，不致使結構產生顯著的加速度，因而可以略去慣性力影

響的荷載。

（2）動力載荷

①定義

動力載荷是指使結構產生不容忽視的加速度，因而必須考慮慣性力的影響的荷載。

②分類

a.周期荷載

第一，周期荷載是指隨時間按一定規律改變大小的周期性荷載。

第二，簡諧周期荷載是指按正弦（或余弦）規律改變大小的周期載荷。

b.沖擊荷載

沖擊載荷是指把全部量值加于結構而作用時間很短即行消失的荷載。例如打樁機的樁

錘對樁的沖擊、車輪對軌道接頭處的撞擊等。

c.突加荷載

突加荷載是指在一瞬間施加于結構上并繼續留在結構上的荷載。例如糧食口袋卸落在

倉庫地板上時就是這種荷載。這種荷載包括對結構的突然加載和突然卸載。

d.快速移動的荷載

例如高速通過橋梁的列車、汽車等。

e.隨機荷教

隨機荷載是指變化極不規則，在任一時刻的數值無法預測，其變化規律不能用確定的

函數關系來表達，只能用概率的方法尋求其統計規律的載荷.例如風力的脈動作用、波浪

對碼頭的拍擊、地震對建筑物的激振等。

（3）兩者計算主要差別

二者的主要差別就在于是否考慮慣性力的影響。

2.自由振動和強迫振動

（1）自由振動

自由振動是指結構受到外部因素干擾發生振動，而在以后的振動過程中不再受外部干

擾力作用的振動。

（2）強迫振動

強迫振動是指結構收到外部區素干擾發生振動，并在以后的振動動過程中還不斷受到

外部干擾力作用的振動。

3.結構動力計算的前提和目的

（1）結構動力計算的前提

結構在受迫振動時各截面的最大內力和位移都與結構自由振動時的頻率和振動形式密

切有關，因而尋求自振頻率和振型就成為研究受迫振動的前提。

(2)結構動力計算的目的

確定動力荷載作用下結構的內力、位移等量值隨時間而變化的規律，從而找出其最大

值以作為設計或檢算的依據。

二、結構振動的自由度

1.定義

結構振動的自由度是指結構在彈性變形過程中確定全部質點位置所需的獨立參數的數

目。

2.結構按振動自由度的數目分類

(1)單自由度結構

單自由度結構是指具有一個振動自由度的結構。

(2)多自由度結構

多自由度結構是指振動自由度大于1的結構。

3.確定結構振動自由度

(1)由確定質點位置所需的獨立參數數目來判定

①如圖(a)所示結構，在絕對剛性的桿件上附有三個集中質點，它們的位置

只需一個桿件的轉角a便能確定，故其自由度為1。

②如圖12-1-1(b)所示簡支梁上附有三個集中質量，若梁本身的質量可以略去，又

不考慮梁的軸向變形和質點的轉動，其上三個質點的位置只需由撓度力、yz、y3就可確定,

故其自由度為3。

③如圖(c)所示剛架雖然只有一個集中質點，但其位置需由水平位移山和豎

直位移y?兩個獨立參數才能確定，故其自由度為2。

(d)

圖12-1-1

(2)由加入最少數量的鏈桿數目來判定

加入最少數量的鏈桿以限制剛架上所有質點的位置，則該剛架的自由度數目即等于所

加入鏈桿的數目。

例如圖(d)所示剛架上雖有四個集中質點，但只需加入三根鏈桿便可限制其

全部質點的位置(12-1-1(e)),故其自由度為3。

4,無限自由度結構

(1)定義

無限自由度結構是指具有連續分布的不可忽略的質量的結構。

(2)舉例

例如圖12-1-1(f)所示的梁，其分布質量集度為m,可看作是無窮多個mdx的集中

質量，所以它是無限自由度結構。

三、單自由度結構的自由振動

1,自由振動的原因

(1)結構具有初始位移

(2)結構具有初始速度

2.不考慮阻尼時的自由振動

如圖12-1-2(a)所示，彈簧下端懸掛一質量為m的重物。取此重物的靜力平衡位

置為計算位移y的原點，并規定位移y和質點所受的力都以向下為正。

圖12-1-2

（1）剛度系數與柔度系數

①剛度系數

彈簧的剛度系數是指彈簧發生單位位移時所需加的力，簡稱剛度，用符號L表示。

②柔度系數

彈簧的柔度系數是指彈簧在單位力作用下所產生的位移，簡稱柔度，用符號而表示。

k--

du

③兩者關系

（2）建立振動微分方程的方法

①剛度法

a.定義

剛度法是指通過列力平衡方程來建立振動微分方程的方法。

b.具體步驟

設質點m在振動中的任一時刻位移為y,取該質點為隔離體［圖12?1?2（b））。

第一，減去初拉力的彈簧拉力

FE=—kuy

式中：負號表示其實際方向與位移y的方向相反，亦即永遠指向靜力平衡位置。

此力有將質點m拉回到靜力平衡位置的趨勢，故又稱為恢復力。

第二，慣性力

my

d2y

式中，負號表示慣性力的方向總是與加速度,的方向相反。

對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，與質點的重量mg相平衡而抵消，故在振動

過程中這兩個力都無須考慮。

第三，質點在慣性力R與彈簧的恢復力FE作用下將維持動力平衡，故應有

R+FE=O

加夕+=0

將K和FE的算式代入即得

2^11

3二--

m

令

y+=0

則有

②柔度法

a.定義

柔度法是指通過列位移方程來建立振動微分方程的方法。

b.具體步驟

第一，當質點m振動時，把慣性力F尸一my看作是一個靜力荷載作用在體系的質點

匕則在其作用下結構在質點處的位移y應等于(圖12?L2(c))

y=F5i=—my&i

my+kny=0

第二，微分方程為

(3)單自由度結構在自由振動時的微分方程

y+(w2y=0

①微分方程

%).

y=ycosa)t+-sina)t

0a)

②振動方程

式中，y0為初位移；%為初速度。

上式可簡化為

y=asin(a)t+(p)

式中

a為振幅，表不質點的最大位移；(p為初相角。

(D

③振動周期

常用單位為s。

④自振頻率

結構的自振頻率是指2宣秒內完成的振動次數，通常用3表示，其單位為rad/s。

式中，g為重力加速度，&為由于重量mg所產生的靜力位移。

相關結論

a.結構的自振頻率只取決于它自身的質量和剛度，它反映著結構固有的動力特性。

外部干擾力只能影響振幅和初相角的大小而不能改變結構的自振頻率；

b.3隨人的增大而減小，若把質點安放在結構上產生最大位移處，則可得到最低的

自振頻率和最大的振動周期。

3.考慮阻尼作用時的自由振動

(1)阻尼力的分類

①外部介質的阻力，例如空氣和液體的阻力、支承的摩擦等；

②物體內部的作用，例如材料分子之間的摩擦和黏著性等。

(2)阻尼力的表達式

引用福格第假定，近似認為振動中物體所受的阻尼力與其振動速度成正比，這稱為黏

FD=—.

滯阻尼力，即

式中，c為阻力系數；負號表示阻尼力FD的方向恒與速度y的方向相反。

(3)有阻尼作用的自由振動的微分方程

①當考慮阻尼力時，質點m上所受的力將如圖12?1?3所示，考慮其動力平衡，應

有

FI+FD+FE=O

my+cy+kny=0

即

尸D

m

圖12-1-3

令

『為25=—

mm

②微分方程為

2

y+26y+o>y=0(124)

(4)微分方程的解

①微分方程解的形式

y=Ce?

712n-5±4心—J

代入原微分方程(12-1),可得確定r的特征方程「2十2反十皿二0其兩個根為

②當8V3時，即欠阻尼情況

—&打陽?，+如粵小

y=esin

3

a.微分方程的解

式中，3號有阻尼且振頻率,其表達式如下

s'=JZ"(12-2)

上式也可寫為

y=AeAtsin(u)'t+(p')(12-3)

可心

tai#

To+M

其中

b.振動曲線

式(12-3)的位移——時間曲線如圖12-1-4所示。

圖12-1-4

3

c.阻尼比

a),-G)yl-f2

d.有阻尼自振頻率表達式

可見A隨阻尼的增大而減小。

③當時，即過阻尼情況

=e

/C1cosh-Jt+C2sinh』音-1t)

此時特征根口、口為兩個負實數，式(12-1)的通解為

這是非周期函數，因此不會產生振動，結構受初始干擾偏離平衡位置后將緩慢地回復

到原有位置。

④當6=3時，即臨界阻尼情況

a,微分方程的通解

此時特征根是一對重根，門.2=一&式(12-1)的通解為

y=e&(Ci+Cat)

這也是非周期函數，故也不發生振動。這是由振動過渡到非振動狀態之間的臨界情況,

此時阻尼比？=1。

b.臨界阻力系數

此時的c值稱為臨界阻力系數，用c”表示。

25^—,

在式中令5=3可得

Cc「=2m3

又因為占得，可以得到

表明阻尼比t即為阻力系數c與臨界阻力系數m之比。

四、單自由度結構在簡諧荷載作用下的受迫振動

1.單自由度結構在簡諧荷載作用下的受迫振動

(1)微分方程

若干擾力F(t)直接作用在質點m上，則質點受力將如圖12-1-5所示。

圖12?1?5

由動力平衡條件得

R+FD+FE+F(t)=0

my+cy+Any=F(f)

y+2州夕+(o2y=—FQ)

m

(2)微分方程的解

①解的組成部分

a.一部分為相應齊次方程的通解y。

yo=e"(BiCOSu/t+BzSinoj't)

b.另一部分則是與干擾力F(t)相適應的特解y(_)

它將隨干擾力的不同而異。

②求解過程

a.令

F(t)=Fsin0t

式中，。為干擾力的頻率；F為干擾力的最大值。

F

y+2fsy+32y=—sinBt

m

此時振動微分方程式為

b.設振動微分方程有一個特解為

y[_)=Cisin0t+C2cos0t

R_(D)F

c二2二加

2柯(J--)2

代入振動微分方程，可以解出

f

y=e"M[B]COSa)t+8遇出+

2

[(6)-f)sin仇-2初&0§仇]

m[(a)2-/)2+4孔

C,則振動微分方程通解為

d.式中Bi和B2取決于初始條件

設當t=0時，y=y0,乎二，。，可求得

___________2&6F__________

'7°+柯(J-/)？+4?-]

Bj___________紇S8F_________________網之打)產

①'mwr[(w2--)2+年J力松/[(of--)2+4^[守]

則

y二e"[70cosW，+—~Y~s*n+

J""?…"%。+

e"

m［(d-。尸+短3守］

而7k砧而［(—)而仇-2小仇。§仇］

(12-4)

(3)振動系組成

①自由振動

自由振動是由初始條件決定的。

②伴生自由振動

伴生自由振動是與初始條件無關而伴隨干擾力的作用發生的振動，但其頻率與體系的

自振頻率0)'一致。

③純受迫振動

由于這兩部分振動都含有因子故它們將隨時間的推移而很快衰減掉，最后只剩下按

干擾力頻率0而振動的第二部分，稱為純受迫振動或穩態受迫振動(圖12-1-6)°

圖12-1-6

（4）過渡階段與平穩階段

①過渡階段

過渡階段是指振動開始的一段時間內幾種振動同時存在的階段°

②平穩階段

平穩階段是指剩下純受迫振動的階段。

2.不考慮阻尼的純受迫振動

（1）振動方程

F.

V=------；----廠sin/

7m（a）2-02）

此時因f=0,由式（12-4）的第三項可知純受迫振動方程成為

（2）振幅

最大的動力位移（即振幅）為

又因為

代入上式，得

式中，加=Fb”為振動荷載的最大值F作為靜力荷載作用于結構上時所引起的靜力位

1A

移：u為最大的動力位移與靜力位移之比值，稱為位移動力因數，其計算表達如下

a.當0V3時，V為正，動力位移與動力荷載同向；

b.當0〉3時，p為負，動力位移與動力荷載反向。

（3）無阻尼的純強迫振動系統特點

①當干擾力的頻率0接近于結構的自振頻率0）時，動力因數就迅速增大；

②當二者無限接近時，理論上p將成為無窮大，此時內力和位移都將無限增加;

③當8=3時，結構發生共振。

3.考慮阻尼的純受迫振動

（1）振動方程

（4優）/

m[(a)2-/)2為

_______2小M

-Asin(p

m[(a)2--)2

取式（12-4）的第三項，并令

則將有

y=Asin（0t—cp）

式中，A為有阻尼的純受追振動的振幅；9為位移與荷載之間的相位差。

I_________土

振幅A=

/（了-/）2m

2gs6

相位差<p=arctan

1_e2

(2)動力因數

振幅A可寫為

則動力因數為

(3)動力因素和相位差比值大小的影響

動力因數u與。和3的比值以及阻尼比之的關系曲線如圖12?1?7所示。相位差q>

與。和3的比值以及阻尼比8的關系曲線如圖12-1-8所示。

圖12-1-7

圖12-1-8

①當9遠小于U）時

很小，N接近于1,相位差（p也很小。振動很慢，慣性力和阻尼力都很小。動力荷載

主要由結構的恢復力所平衡。

②當0遠大于0）時

P很小，質點近似于不動或只作振幅很微小的顫動。振動很快，慣性力很大，結構的

恢復力和阻尼力相對可以忽略，動力荷載主要由慣性力來平衡。此時相位差力之180。。

③當0接近于3時

H增加很快。此時（p、90。，恢復力和慣性力都很小，動力荷載主要由阻尼力平衡。n

值受阻尼大小的影響。由圖12?1?7可見，在該范圍內，阻尼影響將大大地減小受迫振動

的位移。

④當8-3時

由于阻尼力的存在，N值雖不等于無窮大，但其值還是很大的，特別是當阻尼作用較

小時，共振現象仍是很危險的，可能導致結構的破壞。

五、單H由度結構在任意荷載作用下的受迫振動

1.瞬時沖量作用于質點m

（1）瞬時沖量

瞬時沖量是指荷載只在極短的時間內給予振動物體的沖量°

如圖12-1-9（a）所示，設荷載的大小為F,作用的時間為At，則其沖量以I=FAt,

即圖中陰影線所表示的面積。

圖12-1-9

（2）瞬時沖量作用下質點的位移方程

①在t=0時，沖量I作用于單自由度質點

設質點的原位移和原速度均為零，在t=0時，有沖量I作用于單自由度質點上，使

質點獲得初速度打，但初位移仍未零，即yQ=O和m

瞬時沖量作用下質點m的位移方程為

②在t=T時，沖量I作用于單自由度質點

瞬時沖量在t=T時加于質點二，則其位移方程應為

y(t)=4(t>7)

mo)

2,單自由度結構在任意動力載荷作用下的質點位移公式

(1)質點初速度和初位移均為零

①考慮阻尼

對于圖12?1-9(b)所示一般形式的干擾力F(t),可以認為它是一系列微小沖量F

(T)也連續作用的結果，因此應有

,“)二工仇7)屋(?“名山一(5丁)加

加.Jo(12-5)

②不考慮阻尼

若不考慮阻尼，則有1=0,0)'=3,于是

y(t)=—[F(r)sin(u(i-r)dr

m3k(12-6)

式(12-5)及式(12-6)又稱杜哈梅積分。

(2)質點初速度和初位移不為零

①考慮阻尼

y(0=e"(yocos?"+"/￡"。癡+'(*)「"""血—"?丁)匕

若在t=0時，質點原來還具有初始位移y。和初始速度外,則質點位移應為

②不考慮阻尼

，(，)=JoC083+~sin(t)t+—^―fF(T)sin&)(t-T)dr

ma)Jo

如不考慮阻尼則有

3.兩種特殊載荷作用下的質點位移公式

(1)突加荷載作用質點

在t=0時，大小為F的力作用質點，并保持常量繼續作用，以加載那一瞬間作為時

間的起點，其變化規律如圖12-1-10(a)所示。

①考慮阻尼

a.質點位移公式

y=cos+-^sin3

coss"

將F(T)=F代入式(12-5)進行積分求得

圖12-1-10

b.最大動力位移

將此式對t求一階導數，并令其等于零。即可求得產生位移極值的各時刻。當

fwv

7a二義川(1+e-7)

TT

6/時，最大動力位移yd為

從=1+e二7

c,動力因數

②不考慮阻尼

若不考慮阻尼影響，則t=o，3'=3。

y=---j-(1-cos3t)=ytl(1-cos3)

nuo

a.質點位移公式

其圖形如圖12-1-10(b)所示。

b.最大動位移

yd=2yst

即在突加荷載作用下，最大動力位移為靜力位移的2倍。

(2)短期荷載作用質點

在t=0時，荷載突然加于結構上，但到t=?時，荷載又突然消失，如圖12-L11所

示。且不考慮阻尼影響。

圖12-1-11

①質點位移公式

對于這種情況可作如下分析：當t=0時有上面所述的突加荷或加入，并一直作用于

結構上；到1=匕時，又有一個大小相等但方向相反的突加荷載加入，以抵消原有荷載的

作用。可利用上述突加荷載作用下的計算公式按疊加法來求解6

a.當OVtVto時，則

y=ySt(1—cos(i)t)

y=/,,(1-cosa)t)-yBl[l-cos/(，-%)〕

=ylt[cos°(￡-%)-cosa)t]

b.當t>t0時，則

=2y.i[sin野in《一和

前一階段（O<t<to）與前述突加荷載作用下的情況相同；后一階段（t>to）則為自

由振動。

②質點最大位移

T

a.八，時

九=2九13m—

最大位移發生在后一階段。竺（1寸卜力時有最大位移，其值為

勺?50

a=Zsm

相應的動力因數為

T

b.當廿無時

最大位移將發生在前一階段，yd=2%,相應的動力因數H=20

六、多自由度結構的自由振動

1.振動微分方程的建立

圖12?1?12（a）所示無重量簡支梁支承著n個集中質量m“m2，…，mn,略去梁的

軸向變形和質點的轉動，則為n個自由度的結構。設在振動中任一時刻各質點的位移分

別為y”yz,…，yn。

（1）按剛度法建立振動微分方程

①處理方法

a.首先加入附加鏈桿阻止所有質點的位移(圖(b)),則在各質點的慣性

力■叫力(j=i,2......n)作用下，各鏈桿的反力等于叫九

b.其次令各鏈桿發生與各質點實際位置相同的位移(圖12?1?12(c)),此時各鏈

桿上所需施加的力為FRI(i=l,2,n)o

②質點的動力平衡方程

若不考慮各質點所受的阻尼力，各附加鏈桿上的總反力應等于零，由此便可列出各質

mJ]+/&=0

點的動力平衡方程。以質點皿為例，有

一嘲

(b)

7^779^7

?IIIII

如匕

圖12-1-12

③求FW

Li的大小取決于結構的剛度和各質點的位移值，由疊加原理，它可寫為

FRi=kiyi+k2y2+...+kiy>+...+k(yj+...+km

式中，k“、%等為結構的剛度系數，它們物理意義見圖12-1-12(d)、(e)o例如

%為J點發生單位位移(其余各點位移均為零)時i點處附加鏈桿的反力。

則

+“力+七力+…+蜻兀=°

④多自由度結構的無阻尼自由振動微分方程

叫/+自由+&2%+…+1以二°

用2%+七力+%%+…+①”二°

m仇+4.1/1+囁力+…+J,=0J

對每個質點都列出這樣一個動力平衡方程，于是可建立n個方程如下

寫成矩陣形式為

或簡寫為

MY^KY^O(12.7)

式中，M為質量矩陣，在集中質量的結構中它是對角矩陣；K為剛度矩陣，根據反

力互等定理，它是對稱矩陣；9為加速度列向量；Y為位移列向量。

(2)按柔度法建立振動微分方程

如果按柔度法來建立振動微分方程，則可將各質點的慣性力看作是靜力荷載(圖12-

%=%(-嗎?])+6式-啊%)+~+&,(-m,%)+…+

%(+???+?1(-%九)

143(a)),在這些荷載作用下，結構上任一質點m.處的位移應為

叫啊

(a)

-叫其T*!!?\-加工

rzzz/

%

圖12-1-13

式中，標、怎等為結構的柔度系數，它們的物理意義見圖12?1?13(b)、所示。

建立n個位移方程

力+而叫夕］+%嗎%+…+瓦叫力=0

力+&I必力+22皿2%+…+必叫”=0

九十心四膂地m濕+…+鼠叫力=0)

(12-8)

「九、

(叫o、ro\

y\\S12…5。

%壇…&.叫o

0m

ky.7兒…$?n/

寫成矩陣形式，就有

或簡寫為

Y+5MV=0(12-9)

式中，5為結構的柔度矩陣，根據位移互等定理，它是對稱矩陣。

(3)剛度矩陣與柔度矩陣的美系

S1Y+MY=0

若對式(12-9)左乘以則有

與式(12-7)對比，顯然應有

S，=K

即柔度矩陣和剛度矩陣是互為逆陣的。

2.按柔度法求解

(1)特解形式

設按柔度法建立的振動微分方程的特解取如下形式

yi=AiSin(a)t+(p)(i=l,2,n)

設所有質點都按同一頻率同一相位作同步簡諧振動，但各質點的振幅值各不相同。

(2)求自振頻率3

①求解過程

a.將特解代入式(12=8)并消去公因子sin(a)t+(p)可得

I

卜“四?/卜1+3嗎4+…+吼叫八二0

員叫兒+/42啊-[4+???+/叫/1”。

(12-10)

寫成矩陣形式則為

fSM--y/jA=0

(12-11)

式中,A=(AlAz...An)丁為振幅列向量：I為單位矩陣。

b.要得到ABA2,人不全為零的解答，則必須是該方程組的系數行列式等于零,

即

匹叫

或寫為

8M—=0

儂“(12-13)

C.將行列式展開，可解出n個自振頻率31,32,…，(Ono

②相關概念

a.振幅方程

振幅方程是指為振幅Al,A2,An的齊次方程，如式(12-10)o

b.頻率方程

頻率方程是指確定3數值的方程，如式(12-12)或式(1243)o

c.結構的自振頻譜

n個自振頻率D，3,…，G的數值由小到大依次排列，則分別稱為第一，第二，…,

第n自振頻率，并總稱為結構自振的頻譜。

(3)求主振型

①求解過程

a.設n個自振頻率中的任一個頻率為3七其得特解為

y；k，=Aiksin(u)kt+(pk)(i=l,2，…，n)

此時各質點按同一頻率必作同步簡諧振動，各質點的位移相互間的比值

y『p：y/P：...：y/k)=A/p：Az'L...：AJ'

由上式可知，比值不隨時間而變化，在任何時刻結構的振動都保持同一形狀，整個結

構就像一個單自由度結構一樣在振動。

b.要確定振型便須確定各質點振幅間的比值。可將3k值代回振幅方程(12-10)而

得

&邵』；'+M】+附+…+比明］？=°

.國”?叫叫片+…+也%?力/：=。

（12-14）

（5Af_與）V（A=1,2,…，幾）

或寫為

（k）（k）（k）屋：））T

式…中，A一-（I冏A14A2…

由于此時式（12-14）的系數行列式為零，故其n個方程中只有（n-1）個是獨立的,

因而只能確定各質點振幅間的相對比值，這便確定了振型。

②相關概念

a.主振動

主振動是指多自由度結構按任一自振頻率3k進行的簡諧振動。

b.主振型

主振型是指主振動的特定振動形式，簡稱振型。

c.主振型向量

/*）=（〃）仍）…屋”

仙相應的主振型向量為

（4）振動微分方程的一般解

一個結構有n個自由度，便有n個自振頻率，相應地便有n個主振動和主振型，它

兀=M（?sin（3/+外）+4（：）sin（包f+%）+…+47而（@/+外）

A

sE屋?sin（//+七）（i=l,2,—,n）

們都是振動微分方程的特解。這些主振動的線性組合，就構成振動微分方程的一般解

各主振動分量的振幅Ai/及初相角伙將取決于初始條件。自振頻率和振型只取決于

結構的質量分布和柔度系數（或剛度系數）。

（5）兩自由度的結構振動微分方程的解

①求自振頻率3

具有兩個自由度的結構的振幅方程（g）為

（與g+E2m242=0

4m/1+,嗎-引4=。

頻率方程為

（如叫+壇叫）+J（5、1瓶1+/叫）’-4（6通2?編）mxm2

尸2

（Suni|+622m2）■/（6“感1+22小2）=4（-加2）m?

2

將其展開并令4=5,解得

從而可得兩個自振頻率為

②求主振型

a.求第一振型

"嗎

-512ffh

將3=3代入式(g),求得與A2T的比值

優［最-如叫

PL碎="74

b.同理可求得第二振型為

3.按剛度法求解

(1)求自振頻率3

利用柔度矩陣與剛度矩陣互為逆陣的關系，將前述求頻率和振型的公式加以變換即可。

|Af---6"卜=0

用8?左乘式(12-11)有

即

(K—32M)A=0(12-15)

這便是按剛度法求解的振幅方程。

因A不能全為零，故可得頻率方程為

|K—O)2M|=0

將其展開，可解出n個自振撅率31，5，…，a)no

(2)求主振型

將自振頻率逐一代回振幅方程(12-15)得

心二。(小1,2,…,71)(12-16)

便可確定相應的n個主振型。

(3)兩自由度的結構

①求自振頻率3

頻率方程為

分別再開平方便可求得31和(020

②求主振型

4,主振型的正交性

(1)主振型之間的兩個正交關系

①第一個正交關系

對于質量矩陣M,不同頻率的兩個主振型是彼此正交的

(A/)MA,P=0

②第二個正交關系

對于剛度矩陣K,不同頻率的兩個主振型也是彼此正交的

(AV)TKAP=0

主振型的正交性也是結構本身固有的特性，它不僅可以用來簡化結構的動力計算，而

且可用以檢驗所求得的主振型是否正確。

(2)主振型之間的正交性物理意義

①主振型之間的第一個正交關系的含義就是第i階振型的慣性力在經歷第j階振型位

移時所作的功等于零；

②主振型之間的第二個正交關系的含義則是與第i階振型位移有關的等效靜力在經

歷第j階振型位移時所作的功等于零。

(3)正交性的推導

=0

①每一頻率及其相應的主振型均滿足式(12?16),即

②在式(12?16)中，分別取k=^9k=j,可得

族⑴(1247)

必"，(12」8)

③對式(12-17)兩邊左乘以Ar的轉置矩陣(A/)T,對式(12-18)兩邊左乘(A

/)一則有

(nT(0(/,T(0

(A)/G4=^(A)3fA(1219)

(4⑴)丁必。)="；(屋go)

(A。))TW(A。))“A⑴

④由于K和M均為對稱矩陣，故KT=K,MT=MO將式(12-20)兩邊轉置，將有

⑤再將式(12-19)減去式(12-21)得

(32一O)|2)(A「)TMAW=0

當峋時，3學于是應有

(A/)MA「=0

將這一關系代入式(12-19),立即可知

(Af)1KAP=0

七、多自由度結構在筒諧荷載作用下的的受迫振動

1.按柔度法求解

圖12-1-14(a)所示無重量簡支梁上有n個集中質點，并承受k個簡諧周期荷載

Fisin0t?F2Sin0t>...?FkSinHt的作用。

尸;%FlF2FkF；

圖12-1-14

(1)按柔度法來建立振動微分方程

①任一質點mi的位移V、為

yi=6iiFii+6i2Fi2+...+6mFin+yip

kk

%P=Y%/產inffl=A,psina41P=VS也

式中；八】，/-I為各動力荷載同時

達到最大值時在質點ni處所引起的靜力位移。

②n個質點可建立n個這樣的位移方程，并注意到W=-my(??)，故可寫為

1\+瓦電力增+…域”請inft,

力地崎他叫%+-+VJ.=媼山例

…，，，“■

九+&叫％+…+九%九二心疝"(12-22)

Y+￡WY=dPsin0t

寫成矩陣形式

式中，AP=(AmA2P...AnP)-為荷載幅值引起的靜力位移列向量。

(2)純受迫振動的解

①設在平穩階段各質點均按干擾力的頻率8作同步簡諧振動，取純受迫振動的解為

yi=yi°sin0t(i=l,2,n)(12-23)

式中，并為質點m的振幅。

②將上式代入式(12?22)并注意到口二一%。82§訪8匕可得

品n

，:4即叫，：4?“十九加，：+7=0

521mly：+(8”？-//+,?,+瓦巴小\二0

瓦必4+加m就+…十

2(12-24)

(5M十廣甜=0

或寫為

式中，I為單位矩陣：Y。為振幅向量。

③解方程組可求出各質點在純受迫振動中的振幅yw,以。，.?,，泮，并將振幅再代入

式(12?23)即得各質點的振動方程。

(3)求慣性力幅值

F［尸-m/=m,。y：sin0t=/sinQl

①各質點的慣性力為

式中，EiO=m0ya為慣性力的最大值。

②位移、慣性力及干擾力將同時達到最大值。在計算最大動力位移和內力時，可將

慣性力和干擾力的最大值當作靜力荷載加于結構上(圖12-1-14(b))進行計算。

利用Ea=m32yp的關系，將式(12-24)改寫成

僅11片+九界+…+九尺+41P=0

621Kl+（%+…+M此+42P=0

S.Xi+以建+…?（鼠-^?）匕+△.，二°

或寫為

式中，R。為最大慣性力向量。

這樣便可直接解得各慣性力幅值。

(4)共振現象

當0=3k(k=L2,...,n),即干擾力的頻率與任一個自振頻率相等時，系統發生

共振，此時的振幅、慣性力及內力值均為無限大。實際上由于存在阻尼，振幅等量值不會

為無限大，但這對結構仍是很危險的，應避免。

2.按剛度法求解

(1)振動微分方程

圖12-1-15所示n個自由度的結構，當各干擾力均作用在質點處時，其動力平衡方

瑪（。瑪⑺K0FAt）

程如下

圖12T-15

叫夕1+垢力+匕2,2+…+心兀=F[Q)'

血2%+%|力+磯，2+…+=B(D

~九十篙為+。，2+…+3”=匕⑺?

寫成矩陣形式則為

“八燈二尸⑴(12.25)

設各干擾力均為同步簡諧荷載。即

F(t)=FsinGt

式中，F=(FiF2...Fn)T為荷載幅值向量。

(2)微分方程求解

在平穩階段各質點亦均按頻率0作同步簡諧振動

Y=YoSin0(12-26)

代入式(12-25)并消去sinOt得

(K-02M)Yo=F(12-27)

由上式便可解算各質點的振幅值。代入式(12-26)即得各質點的位移方程。

(3)求慣性力幅值

FI--AfF=MY°sina=Fjsin

a.各質點的慣性力為

式中，&為慣性力向量：Ro=SMY。為慣性力幅值向量。

b.利用Ro=RMY。可將式《12-27)改寫為

(KM1-021)F|O=02F

式中，I為單位矩陣。

由上式即可直接求解慣性力幅值。

八、振型分解法

1.振型分解法的優點

多自由度結構的無阻尼受迫振動微分方程，按剛度法有

MY+KY^F(t)

質量矩陣M是對角矩陣，但剛度矩陣K一般不是對角矩陣，因此方程組是耦聯的。

當荷載F(t)不是按簡諧規律變化而是任意動力荷載時，求解聯立微分方程組是很困難

的。振型分解法解除了方程組的耦聯，亦即使其變為一個獨立方程，可使計算大為簡化。

2.振型分解法的步驟

(1)求自振頻率G和振型①「(i=l,2...n)

M.]

_I(i=1,2,???

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