第第頁高考數學總復習《古典概型》專項測試卷帶答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．為了強化安全意識，某校擬在周一至周五的5天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好是連續2天的概率是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(1,5)2．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)3．《易經》是中國傳統文化中的精髓．如圖是易經先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，現從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數目相同的概率為()A．eq\f(1,14)B．eq\f(1,7)C．eq\f(3,14)D．eq\f(3,28)4．在二行四列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子(相對面上分別標有1點和6點，2點和5點，3點和4點)．開始時，骰子如圖1那樣擺放，朝上的點數是2，最后翻動到如圖2所示位置．現要求翻動次數最少，則最后骰子朝上的點數為1的概率為()圖1圖2A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)5．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)6．整數集就像一片浩瀚無邊的海洋，充滿了無盡的奧秘．古希臘數學家畢達哥拉斯發現220和284具有如下性質：220的所有真因數(不包括本身的因數)之和恰好等于284，同時284的所有真因數之和也等于220，他把具有這種性質的兩個整數叫作一對“親和數”，“親和數”的發現掀起了無數數學愛好者的研究熱潮．已知220和284,1184和1210，2924和2620是3對“親和數”，把這六個數隨機分成兩組，一組2個數，另一組4個數，則220和284在同一組的概率為()A．eq\f(1,15)B．eq\f(2,5)C．eq\f(7,15)D．eq\f(1,5)7．(2024·河南新鄉高三模擬)連續擲三次骰子，先后得到的點數分別為x，y，z，那么點P(x，y，z)到原點O的距離不超過3的概率為()A．eq\f(4,27)B．eq\f(7,216)C．eq\f(11,72)D．eq\f(1,6)8．2020年11月5日—11月10日，在上海國家會展中心舉辦了第三屆中國國際進口博覽會，其中的“科技生活展區”設置了各類與人們生活息息相關的科技專區．現從“高檔家用電器”“智能家居”“消費電子”“服務機器人”“人工智能及軟件技術”五個專區中選擇兩個專區參觀，則選擇的兩個專區中包括“人工智能及軟件技術”專區的概率是()A．eq\f(1,10)B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5)D．eq\f(3,5)9．(2024·福建南安僑光中學第一次階段考)如圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數字，若六個三角形上的數字之和為21，則稱該圖形是“和諧圖形”．已知其中四個三角形上的數字之和為14，現從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數標在另外兩個三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(3,20)二、多項選擇題10．(2024·山東師大附中模擬)濟南市組織2023年度高中校園足球比賽，共有10支球隊報名參賽．比賽開始前將這10支球隊分成兩個小組，每小組5支球隊，其中獲得2022年度冠、亞軍的兩支球隊分別在第一小組和第二小組，剩余8支球隊抽簽分組．已知這8支球隊中包含甲、乙兩隊，記“甲隊分在第一小組”為事件M1，“乙隊分在第一小組”為事件M2，“甲、乙兩隊分在同一小組”為事件M3，則()A．P(M1)＝eq\f(1,2)B．P(M3)＝eq\f(3,7)C．P(M1)＋P(M2)＝P(M3)D．事件M1與事件M3相互獨立11．(2024·山東泰安模擬)算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具．下圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……上面一粒珠子(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15.現將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件A＝“表示的四位數能被3整除”，B＝“表示的四位數能被5整除”，則()A．P(A)＝eq\f(3,8) B．P(B)＝eq\f(1,3)C．P(A∪B)＝eq\f(11,16) D．P(AB)＝eq\f(3,16)三、填空題與解答題12．如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0，2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，則這3個點與原點O共面的概率為________．13．(2024·北京海淀區模擬)現有7名數理化成績優秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數學成績優秀，B1，B2的物理成績優秀，C1，C2的化學成績優秀．從中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．14．近幾年來，首都經濟社會發展取得新成就.2014年以來，北京城鄉居民收入穩步增長．隨著擴大內需，促進消費等政策的出臺，居民消費支出全面增長，消費結構持續優化升級，城鄉居民人均可支配收入實際增速趨勢圖如圖所示．(例如2014年北京城鎮居民收入實際增速為7.3%，農村居民收入實際增速為8.2%)(1)從2014～2018這五年中任選一年，求城鎮居民收入實際增速大于7%的概率；(2)從2014～2018這五年中任選兩年，求至少有一年農村和城鎮居民收入實際增速均超過7%的概率；(3)由圖判斷，從哪年開始連續三年農村居民收入實際增速方差最大？(不需證明)高分推薦題15．(多選)(2024·江蘇常州模擬)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，以8個頂點中的任意3個頂點作為頂點的三角形叫作K－三角形，12條棱中的任意2條叫作棱對，則()A．一個K－三角形在它是直角三角形的條件下，又是等腰直角三角形的概率為eq\f(1,3)B．一個K－三角形在它是等腰三角形的條件下，又是等邊三角形的概率為eq\f(1,4)C．一組棱對中2條棱所在的直線在互相平行的條件下，它們的距離為eq\r(2)的概率為eq\f(1,3)D．一組棱對中2條棱所在的直線在互相垂直的條件下，它們異面的概率為eq\f(1,2)解析版一、單項選擇題1．為了強化安全意識，某校擬在周一至周五的5天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好是連續2天的概率是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(1,5)解析：由題意，某校擬在周一至周五的5天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，可得樣本點的總數為n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，其中選擇的2天恰好為連續2天包含的樣本點個數為m＝4，所以選擇的2天恰好是連續2天的概率是P＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選A．答案：A2．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)解析：在正六邊形中，6個頂點選取4個，種數為15.選取的4點能構成矩形的，只有對邊的4個頂點(例如AB與DE)，共有3種，∴所求概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：D3．《易經》是中國傳統文化中的精髓．如圖是易經先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，現從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數目相同的概率為()A．eq\f(1,14)B．eq\f(1,7)C．eq\f(3,14)D．eq\f(3,28)解析：從八卦中任取兩卦，樣本點總數n＝Ceq\o\al(2,8)＝28，這兩卦的陽線數目相同的樣本點有6種，分別為(兌，巽)，(兌，離)，(巽，離)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴這兩卦的陽線數目相同的概率為P＝eq\f(6,28)＝eq\f(3,14).答案：C4．在二行四列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子(相對面上分別標有1點和6點，2點和5點，3點和4點)．開始時，骰子如圖1那樣擺放，朝上的點數是2，最后翻動到如圖2所示位置．現要求翻動次數最少，則最后骰子朝上的點數為1的概率為()圖1圖2A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)解析：翻轉的路徑有4種：①右→右→右→下，最后朝上的是4；②右→右→下→右，最后朝上的是1；③右→下→右→右，最后朝上的是3；④下→右→右→右，最后朝上的是1.故最后骰子朝上的點數為1的概率為eq\f(1,2).答案：D5．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)解析：不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數，共有Ceq\o\al(2,10)＝45(種)方法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的有3種方法，故所求概率為eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).故選C．答案：C6．整數集就像一片浩瀚無邊的海洋，充滿了無盡的奧秘．古希臘數學家畢達哥拉斯發現220和284具有如下性質：220的所有真因數(不包括本身的因數)之和恰好等于284，同時284的所有真因數之和也等于220，他把具有這種性質的兩個整數叫作一對“親和數”，“親和數”的發現掀起了無數數學愛好者的研究熱潮．已知220和284,1184和1210，2924和2620是3對“親和數”，把這六個數隨機分成兩組，一組2個數，另一組4個數，則220和284在同一組的概率為()A．eq\f(1,15)B．eq\f(2,5)C．eq\f(7,15)D．eq\f(1,5)解析：由題意可得一共有Ceq\o\al(2,6)種分組方法，若要滿足220和284在同一組，則分兩種情況討論：①220和284在2個數這一組中，有Ceq\o\al(2,2)種分組方法，②220和284在4個數這一組中，有Ceq\o\al(2,4)種分組方法．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15).答案：C7．(2024·河南新鄉高三模擬)連續擲三次骰子，先后得到的點數分別為x，y，z，那么點P(x，y，z)到原點O的距離不超過3的概率為()A．eq\f(4,27)B．eq\f(7,216)C．eq\f(11,72)D．eq\f(1,6)解析：點P(x，y，z)到原點O的距離不超過3，則eq\r(,x2＋y2＋z2)≤3，即x2＋y2＋z2≤9，連續擲三次骰子，得到的點的坐標共有6×6×6＝216(個)，其中(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)滿足條件，則點P(x，y，z)到原點O的距離不超過3的概率為P＝eq\f(7,216).故選B．答案：B8．2020年11月5日—11月10日，在上海國家會展中心舉辦了第三屆中國國際進口博覽會，其中的“科技生活展區”設置了各類與人們生活息息相關的科技專區．現從“高檔家用電器”“智能家居”“消費電子”“服務機器人”“人工智能及軟件技術”五個專區中選擇兩個專區參觀，則選擇的兩個專區中包括“人工智能及軟件技術”專區的概率是()A．eq\f(1,10)B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5)D．eq\f(3,5)解析：分別記“高檔家用電器”“智能家居”“消費電子”“服務機器人”“人工智能及軟件技術”五個專區為A，B，C，D，E；從這五個專區中選擇兩個專區參觀，所包含的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10個基本事件；選擇的兩個專區中包括“人工智能及軟件技術”專區(即E專區)，所對應的基本事件有AE，BE，CE，DE，共4個基本事件．因此，選擇的兩個專區中包括“人工智能及軟件技術”專區的概率是P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：C9．(2024·福建南安僑光中學第一次階段考)如圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數字，若六個三角形上的數字之和為21，則稱該圖形是“和諧圖形”．已知其中四個三角形上的數字之和為14，現從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數標在另外兩個三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(3,20)解析：由條件可知，要使該圖形為“和諧圖形”，則從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數，這兩個數的和是7.這五個數中任選兩個數包含(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)，共有10種情況，其中和為7的有(2,5)，(3,4)兩種情況，所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：B二、多項選擇題10．(2024·山東師大附中模擬)濟南市組織2023年度高中校園足球比賽，共有10支球隊報名參賽．比賽開始前將這10支球隊分成兩個小組，每小組5支球隊，其中獲得2022年度冠、亞軍的兩支球隊分別在第一小組和第二小組，剩余8支球隊抽簽分組．已知這8支球隊中包含甲、乙兩隊，記“甲隊分在第一小組”為事件M1，“乙隊分在第一小組”為事件M2，“甲、乙兩隊分在同一小組”為事件M3，則()A．P(M1)＝eq\f(1,2)B．P(M3)＝eq\f(3,7)C．P(M1)＋P(M2)＝P(M3)D．事件M1與事件M3相互獨立解析：對于A，因為甲隊分在第一小組和第二小組的概率相等，且兩種情況等可能，所以P(M1)＝eq\f(1,2)，故正確；對于B,8支球隊抽簽分組共有Ceq\o\al(4,8)＝70(種)不同方法，甲、乙兩隊分在同一小組共有Ceq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(2,2)＝30(種)不同方法，所以甲、乙兩隊分在同一小組的概率P(M3)＝eq\f(30,70)＝eq\f(3,7)，故正確；對于C，因為P(M1)＝P(M2)＝eq\f(1,2)，所以P(M1)＋P(M2)＝1≠P(M3)，故錯誤；對于D，因為P(M1M3)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,14)，P(M1)·P(M3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,7)＝eq\f(3,14)，所以P(M1M3)＝P(M1)·P(M3)，所以事件M1與事件M3相互獨立，故正確．故選ABD．答案：ABD11．(2024·山東泰安模擬)算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具．下圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……上面一粒珠子(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15.現將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件A＝“表示的四位數能被3整除”，B＝“表示的四位數能被5整除”，則()A．P(A)＝eq\f(3,8) B．P(B)＝eq\f(1,3)C．P(A∪B)＝eq\f(11,16) D．P(AB)＝eq\f(3,16)解析：只撥動一粒珠子至梁上，因此數字只表示1或5，四位數的個數是24＝16，能被3整除的四位數中數字1和5各出現2次，因此滿足條件的四位數的個數是Ceq\o\al(2,4)＝6，所以P(A)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).能被5整除的四位數的個數為23＝8，P(B)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2)，能被5整除且能被3整除的四位數的個位是5，因此滿足這個條件的四位數的個數是Ceq\o\al(1,3)＝3，概率為P(AB)＝eq\f(3,16)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,2)－eq\f(3,16)＝eq\f(11,16).故選ACD．答案：ACD三、填空題與解答題12．如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0，2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，則這3個點與原點O共面的概率為________．解析：從6個點中隨機選取3個點，共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，在平面Oxy上有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)情況與原點O共面，在平面Ozx上有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)情況與原點O共面，在平面Oyz上有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)情況與原點O共面，所以這3個點與原點O共面的共有4＋4＋4＝12(種)情況，所以這3個點與原點O共面的概率為eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)13．(2024·北京海淀區模擬)現有7名數理化成績優秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數學成績優秀，B1，B2的物理成績優秀，C1，C2的化學成績優秀．從中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．解析：從這7人中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，所有可能的結果組成的12個基本事件為(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件eq\x\to(N)表示“A1和B1全被選中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率計算公式，得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)14．近幾年來，首都經濟社會發展取得新成就.2014年以來，北京城鄉居民收入穩步增長．隨著擴大內需，促進消費等政策的出臺，居民消費支出全面增長，消費結構持續優化升級，城鄉居民人均可支配收入實際增速趨勢圖如圖所示．(例如2014年北京城鎮居民收入實際增速為7.3%，農村居民收入實際增速為8.2%)(1)從2014～2018這五年中任選一年，求城鎮居民收入實際增速大于7%的概率；(2)從2014～2018這五年中任選兩年，求至少有一年農村和城鎮居民收入實際增速均超過7%的概率；(3)由圖判斷，從哪年開始連續三年農村居民收入實際增速方差最大？(不需證明)解：(1)設“城鎮居民收入實際增速大于7%”為事件A，由題圖可知，這五年中2014,2015,2016這三年城鎮居民收入實際增速大于7%，所以P(A)＝eq\f(3,5).(2)設“至少有一年農村和城鎮居民收入實際增速均超過7%”為事件B，這五年中任選兩年，有(2014,20