第二十七講圓的有關計算1.(2024·安徽)若扇形AOB的半徑為6,∠AOB=120°,則AB的長為(C)A.2π B.3π C.4π D.6π2.如圖,圓錐的底面半徑r=6,高h=8,則圓錐的側面積是(D)A.15π B.30π C.45π D.60π3.“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形,它是工業生產中廣泛使用的一種圖形.如圖,分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心,以邊長為半徑畫弧,三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若等邊△ABC的邊長為3,則該“萊洛三角形”的周長等于(B)A.π B.3πC.2π D.2π-34.如果圓錐側面展開圖的面積是15π,母線長是5,則這個圓錐的底面半徑是(A)A.3 B.4 C.5 D.65.若扇形的圓心角為120°,半徑為32,則它的弧長為π6.(2024·宿遷)已知圓錐的底面半徑為3,母線長為12,則其側面展開扇形的圓心角的度數為90°.

7.若一個圓錐的底面半徑是2cm,母線長是6cm,則該圓錐側面展開圖的圓心角是120度.

8.一個扇形的面積為7πcm2,半徑為6cm,則此扇形的圓心角是70度.

9.(2024·湖北)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點E在AC上,以CE為直徑的☉O經過AB上的點D,與OB交于點F,且BD=BC.(1)求證:AB是☉O的切線;(2)若AD=3,AE=1,求CF的長.【解析】(1)如圖,連接OD,在△OBD和△OBC中,BD=∴△OBD≌△OBC(SSS),∴∠ODB=∠OCB=90°,∴OD⊥AB.∵OD是☉O的半徑,∴AB是☉O的切線.(2)設☉O的半徑為R,在Rt△OAD中,AD=3,AE=1,AO=AE+OE=1+R,OD=R,AD2+OD2=AO2,∴(3)2+R2=(1+R)2,解得R=1,∴OD=1,∴tan∠AOD=ADOD=3∴∠AOD=60°,∴∠COD=120°.由(1)知△OBD≌△OBC,∴∠BOD=∠BOC=12∠COD∴CF的長為60π·118010.如圖,在3×3的正方形網格中,小正方形的頂點稱為格點,頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形,圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分,小正方形邊長為1,圖中陰影部分的面積為(D)A.52π-74 B.5C.54π-74 D.511.如圖,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,將△ABC繞點A逆時針旋轉2α,得到△AB'C',連接B'C并延長交AB于點D,當B'D⊥AB時,BB'的長是(A.233π B.C.839π D.12.某班學生表演課本劇,要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖,這個圓錐的底面圓周長為20πcm,母線AB長為30cm.為了使帽子更美觀,要粘貼彩帶進行裝飾,其中需要粘貼一條從點A處開始,繞側面一周又回到點A的彩帶(彩帶寬度忽略不計),這條彩帶的最短長度是(B)A.30cm B.303cmC.60cm D.20πcm13.(2024·煙臺)如圖,在邊長為6的正六邊形ABCDEF中,以點F為圓心,以FB的長為半徑作BD,剪如圖中陰影部分做一個圓錐的側面,則這個圓錐的底面半徑為

3.

14.(2024·齊齊哈爾)如圖,△ABC內接于☉O,AB為☉O的直徑,CD⊥AB于點D,將△CDB沿BC所在的直線翻折,得到△CEB,點D的對應點為E,延長EC交BA的延長線于點F.(1)求證:CF是☉O的切線;(2)若sin∠CFB=22,AB=8,求圖中陰影部分的面積【解析】(1)連接OC(圖略),∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵將△CDB沿BC所在的直線翻折,得到△CEB,∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°,∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE,∴∠OCF=∠E=90°,∵OC是☉O的半徑,∴CF是☉O的切線.(2)∵sin∠CFB=22,∴∠CFB∵∠OCF=90°,∴∠COF=CFO=45°,∴CF=OC=12AB=4,∵∠CDO∴∠OCD=∠COD=45°,∴CD=OD=22OC=22∴圖中陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△COD的面積=45·π×42360-1215.裝有水的水槽放置在水平臺面上,其橫截面是以AB為直徑的半圓O,AB=50cm,如圖1和圖2所示,MN為水面截線,GH為臺面截線,MN∥GH.計算:在圖1中,已知MN=48cm,作OC⊥MN于點C.(1)求OC的長.操作:將圖1中的水槽沿GH向右作無滑動的滾動,使水流出一部分,當∠ANM=30°時停止滾動.如圖2.其中,半圓的中點為Q,GH與半圓的切點為E,連接OE交MN于點D.探究:在圖2中.(2)操作后水面高度下降了多少?(3)連接OQ并延長交GH于點F,求線段EF與EQ的長度,并比較大小.【解析】(1)連接OM,∵O為圓心,OC⊥MN于點C,MN=48cm,∴MC=12MN∵AB=50cm,∴OM=12AB在Rt△OMC中,OC=OM2-(2)∵GH與半圓的切點為E,∴OE⊥GH,∵MN∥GH,∴OE⊥MN于點D,∵∠ANM=30°,ON=25cm,∴OD=12ON=25∴操作后水面下降高度為252-7=11(3)∵OE⊥MN于點D,∠