PAGE第4頁（共7頁）豐臺區2021～2022學年度第一學期期末練習高三數學參考答案2022．01一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號12345678910答案BDABAACDCB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．8012．13．14．，(答案不唯一)15．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（本小題共13分）解：選條件①：.（Ⅰ）在△中，因為，，，由余弦定理，得.因為,所以.……………….7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.所以△的面積.……………….13分選條件②：.（Ⅰ）在△中，因為,所以.由正弦定理，得.由題可知,所以.所以.……………….7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.因為，所以△的面積.……………….13分17.（本小題共15分）證明：（Ⅰ）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.……………….4分（Ⅱ）因為底面為正方形，平面，所以，，兩兩互相垂直．如圖，建立空間直角坐標系．因為，所以，，，，，.因為平面，所以為平面的一個法向量.設平面的一個法向量為，則即令，則.于是.設平面與平面的夾角為，所以．即平面與平面夾角的余弦值為．……………….11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面的法向量為，.因為，且平面，所以平面.所以點到平面的距離即為直線到平面的距離.因為，所以點到平面的距離為，即直線到平面的距離為.……………….15分18．（本小題共14分）解：（Ⅰ）由題意知，樣本中學生共有100+100+100=300人，其中體驗戲曲活動的學生共20+80+75=175人，設事件A為“從樣本學生中隨機選取1名學生，這名學生體驗戲曲活動”，故所求概率為.………………4分（Ⅱ）由題意知，體驗人數超過該校學生人數50%的傳統藝術活動有3項，的所有可能值為1，2，3.，，.所以的分布列為123故的數學期望.……………….11分（Ⅲ）.……………….14分19.（本小題共14分）解：（Ⅰ）當時，因為，所以，.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.即.……………….4分（Ⅱ）因為且，所以當時，，所以在上單調遞增.取，則，不符合題意.當時，令，解得或（舍）.當時，，所以在區間上單調遞減.當時，，所以在區間上單調遞增.所以在上的最小值為.若恒成立，只需，解得.綜上可知，的取值范圍是.……………….14分20．（本小題共15分）解：（Ⅰ）由題意得解得，.所以橢圓的方程是.……………….5分（Ⅱ）由題意知，直線的斜率存在.設直線的方程為（），，，由得.則，.依題意，解得.因為點的坐標為，所以直線的方程為.令，得點的縱坐標為，所以.同理，可得.于是.所以為定值6.……………….15分21．（本小題共14分）解：（Ⅰ）①因為，所以該數列不是M數列；②因為，所以該數列是M數列.……………….4分（Ⅱ）必要性：若數列是等差數列，設公差為，則.所以數列是常數列.充分性：若數列是常數列，則，即.所以或.因為數列的各項互不相同，所以.所以數列是等差數列.……………….8分（Ⅲ）當時，因為，所以，不符合題意；當時，數列為.此時，符合題意；當時，數列為.此時，符合題意；下證當時，不存在滿足題意.令，則，且，所以有以下三種可能：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.當時，因為，由（Ⅱ）知：是公差為1（或?1）的等差數列.當公差為1時，由得或，所以或，與已知矛盾.當公差為?1時，同理得出與已知矛盾.所以當時，不存在滿足題意.其它情