2024年湖北部分名校高二期中聯考高二數學試卷命題學校：鄖陽中學命題教師：王俊燕張輝慶趙燕敏審題學校：鄂州高中考試時間：2024年11月12日下午15:0017:00試卷滿分：150分注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數（i為虛數單位），則（）A.0 B.2024 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據除法運算求得，進而可得和.【詳解】因為，則，所以.故選：D.2.已知直線：，直線：，若，則（）A.2或 B. C.4或 D.4【答案】B【解析】【分析】根據直線平行列式求得，并代入檢驗即可.【詳解】若，則，解得，當時，直線：，直線：，兩直線重合，不合題意；當時，直線：，直線：，兩直線平行，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.已知圓經過點，則圓在點P處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心坐標，利用圓的切線性質求出切線的斜率即可得切線方程.【詳解】圓的圓心，直線的斜率，因此圓在點P處的切線方程為，即.故選：D4.已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據圓的位置關系及橢圓的定義可判斷點軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，由，得圓內含于圓內，設動圓半徑為,依題意，，，則，因此點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，，所以M方程為.故選：B5.某學校的高一、高二及高三年級分別有學生1000人、1200人、800人，用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為30人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級學生的平均身高為165cm、168cm、171cm，估計該校學生的平均身高是（）A.166.4cm B.167.2cm C.167.8cm D.170.0cm【答案】C【解析】【分析】求出樣本中高一、高二及高三年級的學生數，再利用分層抽樣的平均數公式計算即得.【詳解】依題意，容量為30人的樣本中，高一年級的學生數為，高二年級的學生數為，高三年級的學生數為，所以該校學生的平均身高大約為.故選：C6.已知向量，，若，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用垂直關系的向量表示、數量積的坐標表示列式計算即得.【詳解】由向量，，得，由，得，所以.故選：A7.已知點，平面，其中，則點到平面的距離是（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】由平面，得是平面的法向量，點在平面內，，所以點到平面的距離是.故選：C8.如圖，焦點在x軸上的橢圓（）的左、右焦點分別為，，P是橢圓上位于第一象限內的一點，且直線與y軸的正半軸交于A點，的內切圓在邊上的切點為Q，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用橢圓的定義，結合圓的相切性質列式求出，進而求出橢圓的離心率.【詳解】令與圓相切的切點分別為，由橢圓定義得，即，由，得，即，由對稱性得，即，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸的截距是2B.直線的傾斜角為C.直線l沿x軸向左平移3個單位，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為D.點在直線l：上，直線l的方程可化為．【答案】BCD【解析】【分析】利用直線的一般式方程的有關概念。逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，直線在y軸的截距是，A錯誤；對于B，直線的斜率為，其傾斜角為，B正確；對于C，設直線的方程為，則變換后的直線方程為，依題意，，解得，直線的斜率為，C正確；對于D，由點在直線l：上，得，因此該直線方程為，D正確.故選：BCD10.在空間直角坐標系中，已知，，下列結論正確的有（）A.B.C.若，且，則D.若且，則【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量的坐標表示，再結合空間向量的坐標運算逐項分析判斷得解.【詳解】由，，得，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由，，得，解得，C正確；對于D，由且，得，無解，D錯誤.故選：AC11.四葉草也叫幸運草，四片葉子分別象征著：成功，幸福，平安，健康，表達了人們對美好生活的向往，梵客雅寶公司在設計四葉草吊墜時，利用了曲線Ω：，進行繪制，點在曲線Ω上，點，則下列結論正確的是（）A.曲線Ω圍成的圖形面積為B.的最小值是C.直線PQ的斜率的最大值為1D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據曲線與圓的關系，結合面積公式，直接求解即可；對B：將問題轉化為求到直線的距離的最小值問題，數形結合解決問題；對C：根據直線和圓的位置關系，數形結合，求解問題；對D：根據圓外一點到圓上一點距離的最值求解方法，數形結合，求解即可.【詳解】對曲線方程：，當時，可化為，即，故曲線Ω在第一象限是圓心為，半徑為的圓上的一段圓弧；根據對稱性可知，該曲線關于軸，軸，以及坐標原點均對稱，故其曲線繪制如下：對A：記點，顯然均在曲線Ω上，如下所示：因為，故三點共線，則該曲線在第一象限內的面積為一個半圓的面積和△面積之和；故曲線Ω圍成的圖形面積，故A正確；對B：設點到直線距離為，則，根據對稱性可知，曲線Ω在第三象限內的部分是在圓心為，半徑為的圓上；數形結合可知，點到直線的距離最小值為，故的最小值為，故B錯誤；對C：根據題意，作圖如下：數形結合可知，當且僅當為過且與曲線Ω在第四象限內的圓弧相切時，其斜率取得最大值；根據對稱性，曲線Ω在第四象限的部分是在圓心為，半徑為的圓弧，其方程為，設過點，且斜率存在的直線為，故可得，整理得：，，解得（舍去）或k=1，故斜率的最大值為，故C正確；對D：記曲線Ω在第一和第二象限圓弧的圓心分別為，顯然，如下所示：根據圓上一點到圓外一點距離的最值求解，數形結合可知：當點在第一，第四象限時，可以取到最小值；當點在第二，第三象限時，可取到最大值；為方便，只討論第一，第二象限的情況；當點在第一象限時，的最小值為；當點在第二象限時，的最大值為；故的取值范圍為：，故D正確；故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：處理本題的關鍵，一是能夠合理轉化曲線方程，將其和圓建立關系；二是，借鑒處理圓中問題的方法，進而處理本題中遇到的問題，屬綜合困難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.橢圓的長軸長為________．【答案】【解析】【分析】根據橢圓長軸長的定義可求.【詳解】根據橢圓方程可知，所以長軸長為，故答案為：13.甲、乙兩人下圍棋，若甲執黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲執黑子先下，則甲、乙各勝一局的概率為________．【答案】【解析】【分析】分第一局甲勝，第二局乙勝和第一局乙勝，第二局甲勝兩種情況，利用互斥事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】第一局甲勝，第二局乙勝：甲勝第一局的概率為，第二局乙執黑子先下，則乙勝的概率為，因此第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；第一局乙勝，第二局甲勝：乙勝第一局的概率為，第二局甲執黑子先下，則甲勝的概率為，因此第一局乙勝，第二局甲勝的概率為；所以甲、乙各勝一局的概率為.故答案為：.14.我國著名數學家華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，很多的代數問題都可以通過轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題．已知點在直線：上，點在直線：上，且，結合上述觀點，的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據兩點距離公式將目標函數轉化為點到點的距離與點到點的距離和，過點A作，垂足為，證明，由求目標函數最小值.【詳解】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點A作，垂足為，因為直線的方程為，，則，又直線與直線平行，，則，可得，則四邊形為平行四邊形，所以，可得，且，當且僅當三點共線時等號成立，所以當點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯立，可得，即點的坐標為，可得，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于根據兩點距離公式將目標函數轉化為求線段的距離和問題，進一步結合圖形將問題轉化為兩點之間的距離問題.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點，的平分線AD交BC于點D，且AD所在直線方程為，記，的面積分別為，．（1）求；（2）求頂點A坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意可得，進而可得面積之比；（2）求關于直線對稱的點為，再求直線的交點即可.【小問1詳解】由題意可知：直線，對于直線，令，可得，即，可得，所以.【小問2詳解】設關于直線對稱的點為，則，解得，即，可知直線，即，聯立方程，解得，所以頂點A坐標為.16.圖1是邊長為正方形ABCD，將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐，且．（1）證明：平面平面ABC；（2）點M是棱PA上的點，且，求平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）取中點為，連接，利用勾股定理證明，再結合，即可由線線垂直證明線面垂直；（2）根據（1）中所證，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得的坐標，以及兩個平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】由于正方形ABCD的邊長為，所以，取AC的中點O，連接PO，BO，由題意，得，再由，可得，即．由題易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．【小問2詳解】由（1）可知，，且，故以OC，OB，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，．所以，，，由題意知，則．可得．設平面MBC的法向量為，則，令，則，可得；設平面的法向量為，則，令，則，可得；則，所以平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值.17.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節的一項活動，出現在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節時制迷，猜謎的人眾多．在一次元宵節猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學獨立競猜，甲同學猜對了15道，乙同學猜對了8道，丙同學猜對了n道．假設每道燈謎被猜對的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）由題設求出甲、乙、丙猜對或錯的概率值，應用獨立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；（2）利用對立事件的概率求法及獨立事件乘法公式列方程求.【小問1詳解】設“任選一道燈謎甲猜對”，“任選一道燈謎乙猜對”，“任選一道燈謎丙猜對”.則，，，可得，，.“甲，乙兩位同學恰有一個人猜對”，且與互斥.每位同學獨立競猜，故A，互相獨立，則A與，與，與均相互獨立.所以，所以甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率為.【小問2詳解】設“甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對”，則.所以，解得，所以n的值16.18.已知圓E：，直線l：．（1）討論l與圓E的位置關系；（2）若l與圓E相交于M，N兩點，圓心E到l的距離為，另有一圓C的圓心在線段MN上，且圓C與圓E相切，切點在劣弧MN上，求圓C的半徑的最大值．【答案】（1）答案見解析.（2）.【解析】【分析】（1）通過圓的方程解出圓心和半徑，比較圓心到直線的距離與半徑的大小，即可得到直線與圓的位置關系.（2）由點到線的距離得出參數的值，從而得到圓的方程，通過內切圓的關系得到半徑的范圍，由此得出最大值.【小問1詳解】圓：的圓心，且，即或m>0，圓的半徑，設圓心到的距離為，則，若，則，解得，則當或時，直線與圓相離；若，則當或，直線與圓相切；若，則當或，直線與圓相交.【小問2詳解】由（1）知，解得或，則，圓，圓心，半徑，依題意，圓的圓心在圓內且兩圓內切，記圓的半徑為，由切點在劣弧上，知，，又點在線段上，則，當且僅當圓心與線段的中點重合時，最大，且.所以圓的半徑的最大值為.19.如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，，，M為BC的中點，，，．（1）證明：；（2）若平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為，求多面體ABCDPQ的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根