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表示到首頁中學物理奧賽解題研究解題知識與方法研究疑難題解答研究例1（均勻帶電薄球殼上的小孔中的電場）一、導體殼的性質與靜電屏蔽的全面認識第十一專題靜電場二、導體不接地情況下的電像法應用例2（均勻帶電線段與均勻帶電圓弧場強的等效）三、靜電感應情況下移動電荷做功的計算靜電場中的導體殼——一種特殊的靜電平衡導體1-1、腔內無電荷的情形（1）帶電性質：導體殼的內表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面上；（2）場強性質：空腔內場強為零；（3）電勢性質：腔內電勢處處相等—等于導體殼的電勢.解題知識與方法研究一、靜電場中導體殼的性質與靜電屏蔽的全面認識1、靜電場中導體殼的性質

1-2、腔內有電荷的情形

導體殼內表面所帶電荷與腔內電荷代數和為零.即（2）場強性質

從Q1（或Q2）發出的電場線全部止于Q2（或Q1）.止于Q2（或Q1）的電場線全部來自Q1（或Q2）.（1）帶電性質電場線的分布情況:殼內空腔中（無導體材料處）則僅有Q1與Q2的電場線.Q1與Q2的電場線僅在空腔內.殼外空間則僅有Q與場電荷（+q1，-q2等）的電場線.Q與（+q1，-q2）的電場線僅在殼外.

（2-1）Q1和Q2的合場強在導體殼內表面以外的空間處處為零.（3）電勢性質

（3-1）Q1和Q2的合電場對導體殼內表面以外的空間的電勢貢獻U′處處為零.由性質（2-1）即可導出此結論.由性質（2-2）即可導出此結論.

（3-2）Q和“+q1、-q2等”的合電場對導體殼外表面以內的空間的電勢貢獻U″處處相等,但不一定為零.外表面以內各處U″=C內表面以外各處U′=0（在導體殼外表面以外空間并不為零）（在導體殼內表面以內的不存在導體材料的空間中并不為零）

（2-2）導體殼外表面的電荷Q和導體殼外部空間的場電荷（+q1，-q2等）的合場強在導體殼外表面以內的空間處處為零.用唯一性定理證明上述場強和電勢性質：體系（2）的形成：讓導體殼接地：導體殼內表面以外空間的場強處處為零，（3）S（1）

則導體殼內表面將帶電為Q2（=－Q1）,電勢處處為零.體系（3）的形成：讓導體殼帶電Q：

導體殼外表面以內空間場強處處為零.再切斷接地線：Q1、Q2數量及分布不變,其場強、電勢的分布亦不變.考察帶電體系（2）、（3）：外表面處處不帶電.電勢處處相等.則Q分布在導體殼外表面上.證明：（2）S將體系（2）、（3）合并，是否就是體系（1）？（2）S（3）S（1）合并體系（2）、體系（3）：ⅰ、因為{Q,+q1,-q2}在殼外表面以內空間的場強為零，而{Q1、Q2}在殼內表面以外空間的場強為零，Q1、Q2的分布不變以及Q、+q1、-q2分布不變是可以的.所以，體系（2）+體系（3）=體系（1）:ⅱ、根據唯一性定理，Q1、Q2，以及Q、+q1、-q2的其他分布情況是不可能存在的.2、靜電屏蔽某空間區域內的靜電場不受區域外的電荷變化的影響.則稱該區域被靜電屏蔽.2-1、內屏蔽（2）S（3）外表面以內U″=C，E″=0內表面以外U′=0，E′=0（1）內表面以外U′=0，E′=0外表面以內U″=C，E″=0無論“q1、q2等”、Q的數量及分布如何變化在導體殼外表面以內的區域場強總是為零.無論“q1、q2等”、Q的數量及分布如何變化在導體殼外表面以內的區域場強分布不變.無論“q1、q2等”、Q的數量及分布如何變化在導體殼外表面以內的區域場強、電勢均總是為零.無論“q1、q2等”、Q的數量及分布如何變化在導體殼外表面以內的區域場強、電勢均不變.

思考問題如果導體殼不接地，當殼內電荷Q1的數量及位置變化時，殼外空間區域的電場（場強、電勢）能夠不受影響嗎？2-2、外屏蔽無論Q1如何變化（Q2隨之而變）在導體殼內表面以外的區域場強、電勢總是為零.(Q及q

的數量與分布均不變:

）無論Q1如何變化（Q2隨之而變）在導體殼內表面以外的區域場強、電勢分布總是不變.(Q及q的數量與分布均不變)（1）導體殼接地時

一個簡單的例子：如圖，當+Q1變化時，球殼外空間的電場受影響嗎？

Q數量及分布將隨之變化，致使球殼外部空間的場強、電勢都將發生改變.

如圖，當Q1的數量（及符號）變化時：如圖，當Q1僅位置變化時：

Q數量及分布均不隨之變化，球殼外部空間的場強、電勢均不發生改變.（2）導體殼不接地時

腔內帶電體的電荷Q1的數量變化時,導致Q2的數量及分布變化,從而Q的數量及分布也將隨之而變,因而導致殼外區域的場強、電勢發生改變.此時導體殼既不能屏蔽場強也不能屏蔽電勢.

腔內帶電體的電荷Q1僅位置變化時,僅導致Q2的分布變化,而Q的數量及分布均不變化,因而殼外區域的場強、電勢均不發生改變.此時導體殼既屏蔽了場強也屏蔽了電勢.2-3、內、外同時相互完全屏蔽場強和電勢

如圖，導體殼接地后，殼內、外的電場彼此隔開，場強、電勢均互不影響.（1）內導體球上電荷量；（2）外導體球殼電勢.解

如圖，半徑為a的原不帶電導體球外同心放置一個半徑為b的原不帶電導體薄球殼，然后在離球心距離為d（d>b）處有一個帶電量為q的固定點電荷.現讓內導體球接地(接地方式如圖)，靜電平衡后，試求：例1如果不接地，球殼內表面和球體表面是否帶電？接地時靜電感應至靜電平衡后，球殼的內外表面上、內球體表面上有無電荷？如何分布？

設球殼外表面帶電為qa，解得內球體表面帶電qa且均勻分布.則其內表面帶電-qa且均勻分布.（1）所有電荷在內球球心處（及內球的其他處）的總電勢為

外球殼到內球體的電勢差僅取決于內球體表面的電荷qa.所以將（1）的結果代入，得因Ua=0，所以題后總結與思考取球心計算電勢、場強的大小是常用技巧！內球接地如圖，導體球表面，球殼內、外表面有無電荷？

請判斷外球殼與內球體的電勢差與那些電荷有關？（2）外導體球殼電勢.二、導體不接地情況下的電像法應用各種典型導體接地的問題：結論：像電荷為

如圖，有一無限大接地導體板，在板前距板a處有一固定的點電荷-q（<0），求：（1）板右側空間的場強和電勢分布；（2）導體板上感應電荷的面密度分布；（3）q受的靜電力;（4）感應電荷總量.（4）感應電荷總量為+q.由此不難進一步回答四個問題.……問題1

研究接地導體球附近存在一點電荷的情況（如圖）.求：（1）替代球上感應電荷的像電荷q′（若存在的話）的位置及電量；（2）球外點電荷q受到感應電荷的作用力；（3）感應電荷的總量Q；（4）若q>0，導體球表面是否有地方σ>0，是否有地方σ=0？為何電像法處理的問題一般總是導體接地？結論：像電荷為問題2

切斷接地線，導體球的電荷Q分布變不變，還是不是等勢體？解（1）若將導體球接地，則從地面流入電量至球體表面,其不均勻分布使球體成為一零電勢體.若再將-Q的電量加在球面上，-Q如何分布才能使導體球仍為一等勢體？球面上此時的電荷分布是不是就是問題（1）所說的分布？

討論不接地導體球及球外一個點電荷構成的帶電系統的情況（如圖）.

（1）導體球原總電量為零，確定靜電平衡后系統在球外空間的電場分布及q的受力；

（2）若導體球原總電量為Q0，確定靜電平衡后系統在球外的電場分布及q的受力.導體球不接地球接地與不接地是完全不同的！

例2能不能仍采用（1）的思路？

將-Q的電量均勻加在球面上.導體球仍為一等勢體.

將Q用像電荷q′替代，而-Q用位于球心o的點電荷-Q（即為另一個像電荷）替代.再加上電荷q，便可求得球外的電場分布.（負號表明q被向左吸引）

（2）若導體球原總電量為Q0，確定靜電平衡時系統在球外的電場分布及q的受力.

其中非均勻分布在球面上的Q用像電荷q′替代之；而(Q0-Q)用球心o處的點電荷(Q0-Q)取代之.

球外電場變為三個點電荷的電場，電場的場強及電勢分布均不難確定，q的受力不難算出.將Q0分成三、靜電感應情況下移動電荷做功的計算要處理的是如下一類問題：

求在移動電荷q的過程中電場力對q的做功是否為？解（1）當點電荷位于球殼中心時，殼內、外表面產生的感應電荷在球心的電勢為

當點電荷位于無限遠處時，其所在處的電勢為外力對Q做功是否為

（1）在一個開有小孔的原來不帶電的導體球殼中心o點，有一個點電荷Q，球殼內、外表面的半徑分別是a和b.欲將點電荷通過小孔緩慢地從o點移到無限遠處，外力對該點電荷需做多少功？（2）點電荷q距無限大接地導體板距離為l，欲將該點電荷緩慢移到距導體板無限遠處，外力對該點電荷需做多少功？例3正確的計算：設想每次從球心o移走一份微量電荷dq.在每次移動dq過程中：球殼內外表面上的電荷分布近似不變，其電場的電勢分布近似不變.全部移走Q時外力做的總功為當已經移走的電荷總量為q后，球殼內、外表面的感應電荷在球心處的電勢為此時移動dq外力做功為題后思考在移動每一份dq的過程中，球心處剩余的電荷（Q-q）對dq的作用該不該考慮！？（2）導體板右側產生感應電荷.

當“-q”與q相距為2l時，其在q所在處的電勢為

當“-q”與q相距為∞時，其在q所在處的電勢為外力對q做功是否為正確的計算：

當q與“-q”相距為2l時，其相互作用靜電勢能與用外力將q和“-q”兩點電荷各沿反向移到無限遠處所做的總功A總的關系是方法一電荷在板右側空間的電場可由像電荷取代.感應所以將q移至無限遠處外力需做功便為方法二

板上感應電荷與q構成的體系中的所有電荷相互作用總靜電能在q與板相距l時為在q與板相距無限遠時則為由功能原理便有題后總結與思考請用解（1）小題的方法解（2）小題，用解（2）小題的方法解（1）小題.形成感應電荷的過程中對感應電荷做功嗎？方法三直接由功的定義計算當q距離導體板x時，q所受的靜電力為q所受的與靜電力平衡的外力為所以外力移動q做功為上、下兩半球殼間的靜電斥力和半個球殼上所有點電荷受到的電場力的合力有什么關系？

有一帶電為+Q、半徑為R的導體薄球殼，計算上、下兩半球殼間的靜電力.解

半個球殼所受的另半個球殼的靜電斥力等于此半個球殼上的所有點電荷受的靜電力之合.先求球殼上挖去小面元后孔中的場強：方法（1）未挖去小面元dS時，球殼內、外附近的場強為小帶電面元dS在此兩處的場強大小相等，設為E1.未挖去小面元疑難題解答研究

例1

挖去小面元dS后的其余電荷在(R-0)→(R+0)的區域內場強E大小相同、方向相同.如圖所示.于是在(R-0)處：在(R+0)處：由此兩式相加得方法（2）導體球殼的靜電勢能為已挖去小面元為求電場力設想將球表面擴大！由功能關系有由此得設想將球殼的半徑擴大為（R+dR）.靜電勢能的增量為再求上、下半個球殼間的靜電力：如圖，設兩球殼的界面為S′,半球殼表面為S.單位面積的球殼所受的靜電力為2.能不能考慮直接讓兩半球殼分開一個微元距離dx（如圖）而求出兩半球殼間的靜電力？題后思考1.能否用其他方法求球面上的場強?求圓環的電場對細線的作用力還是求細線的電場對圓環的作用力？

一半徑為R的均勻帶正電細圓環，帶有電荷q.在圓環的軸線上，有一根很長的均勻帶正電細線，其一端與環心重合，