大招飛鏢模型和8字模型大招飛鏢模型和8字模型模型介紹模型介紹模型一：飛鏢模型（1）角的飛鏢模型結論：SKIPIF1<0解答：=1\*GB3①方法一：延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0得證=2\*GB3②方法二：延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0得證=3\*GB3③方法三：延長SKIPIF1<0到在其延長方向上任取一點為點SKIPIF1<0得證總結：利用三角形外角的性質證明（2）邊的飛鏢模型結論：SKIPIF1<0解答：延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0+三角形三邊關系+同號不等式大的放左邊，小的放在右邊得證模型二：8在模型（1）角的8字模型結論：SKIPIF1<0解答：=1\*GB3①方法一：三角形內角和得證=2\*GB3②方法二：三角形外角SKIPIF1<0的性質得證總結：=1\*GB3①利用三角形內角和等于SKIPIF1<0證明推出=2\*GB3②利用三角形外角的性質證明（2）邊的8字模型結論：SKIPIF1<0解答：三角形三邊關系+同號不等式得證總結：=1\*GB3①三角形兩邊之和大于第三邊例題精講例題精講考點一：飛鏢模型【例1】．如圖，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，則∠BOC=_______解：延長BO，交AC于點D，∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B＝20°+70°+40°＝130°．變式訓練【變式1-1】．如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A＝55°，∠D＝15°，則∠P的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°解：如圖，延長PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分線交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的內角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．故選：B．【變式1-2】．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，∠ABC+∠ACB＝100°，則∠BIC的度數為（）A．80° B．50° C．100° D．130°解（1）∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，∴∠BCI＝∠ACB，∠CBI＝∠ABC，∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°；故選：D．【變式1-3】．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．解：如圖，根據三角形的外角性質，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根據三角形內角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．【變式1-4】．如圖所示，已知P是△ABC內一點，試說明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．證明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分別相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考點二：8字模型【例2】．如圖，∠1＝60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝解：由三角形外角的性質得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，∴∠2+∠3＝120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，∵∠B+∠C＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．變式訓練【變式2-1】．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，則：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案為：360．

【變式2-2】．如圖，A，B，C，D，E，F是平面上的6個點，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數是360度．解：延長FE交AB于M，設FE交CD于N，∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，故答案為：360．【變式2-3】．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，又∵∠1+∠2+∠E+∠F＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案為：360．

【變式2-4】．一副三角板如圖擺放，其中一塊三角板的直角邊EF落在另一塊三角板的斜邊AC上，邊BC與DF交于點O，則∠BOD的度數是105°．解：△COF中，∵∠CFO＝45°，∠FCO＝30°，∴∠COF＝180°﹣∠CFO﹣∠FCO＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF＝∠BOD，∴∠BOD＝105°，故答案為：105°．實戰演練實戰演練1．如圖，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，則∠D的度數為（）A．35° B．45° C．55° D．65°解：因為∠AEB與∠DEC是一組對頂角，所以∠AEB＝∠DEC．在△ABO中AB⊥BD，∠A＝35°，所以∠AEB＝65°．在△DCO中AC⊥CD，∠DEC＝65°，所以∠D＝35°．故選：A．2．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數為（）A．120° B．150° C．180° D．200°解：如圖可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故選：C．3．如圖，在△ABC中，M，N分別是邊AB，BC上的點，將△BMN沿MN折疊；使點B落在點B'處，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，則∠AMB'的度數為（）A．30° B．37° C．54° D．63°解：∵△BMN沿MN折疊，使點B落在點B'處，∴△BMN≌△B'MN，∴∠BMN＝∠B'MN，∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故選：C．4．如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數為140°．解：如圖，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案為：140°．5.已知如圖，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，則∠BQC＝（α+β）．（用α，β表示）解：連接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，∴∠3+∠4＝（β﹣α），∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），即：∠BQC＝（α+β）．故答案為：（α+β）．6．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540度．解：如圖，連接CH，由三角形的內角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，由多邊形的內角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）?180°＝540°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．故答案為：540．7．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝230°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝115°+115°＝230°．故答案為：230°．8．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數為解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內角和＝（7﹣2）×180°＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故選：C．9．如圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應減少（填“增加”或“減少”）10度．解：連接CF，并延長至點M，如圖所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴圖中∠D應減少（填“增加”或“減少”）10度．故答案為：減少；10．

10．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．解：如圖所示，分別延長BC、IH交EF于點M、N，由三角形的外角的性質可知：∠C+∠D＝∠1，∠G+∠H＝∠2，∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°11．如圖，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分線交于點F．探究∠BFE與∠BCE之間的數量關系，并證明你的結論．解：過點C作直線MN∥AB，∵AB∥DE，MN∥AB，∴MN∥DE，∴∠DEC＝∠ECN，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCN，∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，∵∠ABC、∠CED的平分線交于點F，∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．12．如圖，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求證：∠P＝（∠A+∠C）證明：如右圖所示，∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分線，∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，∴2∠P＝∠C+∠A，∴∠P＝（∠A+∠C）．13．如圖，在四邊形ABCD中，AM、CM分別平分∠DAB和∠DCB，AM與CM交于M．探究∠AMC與∠B、∠D間的數量關系．解：∠AMC＝180°﹣∠B+∠D，理由如下：∵AM、CM分別平分∠DAB和∠DCB，∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，∴∠BAM+∠BCM+∠B+∠D＝180°，∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣∠B﹣∠D，∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣∠B﹣∠D＝360°，∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠D）﹣∠B＝180°﹣∠B+∠D．14．（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數．解：（1）作射線AO，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）連接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．15．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形“．如圖2，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于點M、N．試解答下列問題：①仔細觀察，在圖2中有3個以線段AC為邊的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，試求∠P的度數；③∠C和∠B為任意角時AP、DP分別是∠CAB、∠BDC的三等分線，寫出∠P與∠C、∠B之間數量關系，并說明理由．解：①3；故答案為3．②證明：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），∵∠C＝80°，∠B＝76°，∴∠P＝（80°+76°）＝78°；③∠P＝（2∠C+∠B）或∠P＝（∠C+2∠B）．證明：設∠CAB＝3α，∠BDC＝3β，i）如圖3，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝2：1，∴∠CAP＝2α，∠BAP＝α，∠BDP＝β，∠CDP＝2β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝2β﹣2α，∠P﹣∠B＝β﹣α，∴∠C﹣∠P＝2∠P﹣2∠B，∴∠P＝（∠C+2∠B），ii）如圖4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，∴∠CAP＝α，∠BAP＝2α，∠BDP＝2β，∠CDP＝β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β﹣2α，∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴∠P＝（2∠C+∠B），16．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數為25°；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數量關系為∠P＝．【模型應用】應用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代數式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數式表示）應用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝．（用含有α和β的代數式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P