試聽課成功秘訣（一）試聽課承擔師生相互了解、取得學生甚至家長認同的重要任務，相信老師們都很重視并且各有奇招。

如果你有廣博的知識上知天文下知地理，如果你多才多藝琴棋書畫都有涉獵，如果你風趣幽默舌綻蓮花，如果你氣質優雅舉止得體……

那么恭喜你已經有了一半勝算，那么另一半，那就是學科知識的熟練掌握和適當選擇。

今天將要和大家分享的是個人總結的一些經驗，在試聽課中經常使用的一些關于數學的小想法。水平有限，僅供參考，請大家多指教。

引言10的奇偶性2循環小數化為分數30為什么不能做分母4冪的運算5趣味應用題

目錄6多邊形面積的平分7三角形邊角大小的對應910下次課介紹和月考范圍9本次課總結8三角形四心的存在性問題1：0是奇數還是偶數還是什么都不是？分析：（1）奇數與偶數的定義：能被2整除的整數叫做偶數，不能被2整除

的整數叫做奇數.（2）整除定義（概念）：整數a除以整數b，如果所得商仍是整數，

并且沒有余數，我們就說a

能被b整除，或者說b能整除a.引申：1是質數（素數）還是合數還是什么都不是？提示：用定義解題.

返回問題1：0是奇數還是偶數還是什么都不是？分析：（1）奇數與偶數的定義：能被2整除的整數叫做偶數，不能被2整除

的整數叫做奇數.（2）整除定義（概念）：整數a除以整數b，如果所得商仍是整數，

并且沒有余數，我們就說a

能被b整除，或者說b能整除a.引申：1是質數（素數）還是合數還是什么都不是？提示：用定義解題.返回解答：質數與合數的定義是：一個數除了1和它本身，不再有別的約數，

這個數叫做質數（也叫做素數）；一個數除了1和它本身，還有

別的約數，這個數叫做合數.1只有它本身一個約數，所以既不是質數也不是約數.

提示：方程思想.

返回

提示：方程思想.返回

問題3：0為什么不能做分母？分析：（1）0做分母無意義，比如我們知道分數的意義是把單位“1”平均分成

若干份，表示這樣的一份或者幾份，那么0做分母表示平均分成0份，

無法分.（2）0做分母相當于承認0有倒數，而我們知道0是沒有倒數的.返回問題3：0為什么不能做分母？分析：（1）0做分母無意義，比如我們知道分數的意義是把單位“1”平均分成

若干份，表示這樣的一份或者幾份，那么0做分母表示平均分成0份，

無法分.（2）0做分母相當于承認0有倒數，而我們知道0是沒有倒數的.提示：反證法.引申：如何證明“如果兩條直線都平行于同一條直線，那么這兩條直線也

互相平行”返回

問題3：0為什么不能做分母？分析：（1）0做分母無意義，比如我們知道分數的意義是把單位“1”平均分成

若干份，表示這樣的一份或者幾份，那么0做分母表示平均分成0份，

無法分.（2）0做分母相當于承認0有倒數，而我們知道0是沒有倒數的.提示：反證法.引申：如何證明“如果兩條直線都平行于同一條直線，那么這兩條直線也

互相平行”證明：如右圖所示，直線AB∥EF，CD∥EF．假設AB與CD不平行，則直線AB與CD相交，設它們的交點為P，于是經過點P就有兩條直線AB和CD都與直線EF平行，與經過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行相矛盾，所以假設不能成立，故AB∥CD．返回

提示：數學知識點之間緊密聯系.返回

返回提示：數學知識點之間緊密聯系.問題5：趣味應用題1、兩個男孩各騎一輛自行車，從相距20英里（1英里合1.6093千米）的兩個地方，開始沿直線相向騎行。

在他們起步的同時，一輛自行車車把上的一只蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就立即轉向往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。

如果每輛自行車都以每小時10英里的等速前進，蒼蠅以每小時15英里的等速飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？解答：每輛自行車運動的速度是每小時10英里，兩者將在1小時后相遇于20英里距離的中點。

蒼蠅飛行的速度是每小時15英里，因此在1小時中，總共飛行了15英里。返回提示：許多人試圖用復雜的方法求解這道題目。他們計算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數求和，這是非常復雜的高等數學，完全沒有必要。問題5：趣味應用題2、有位漁夫，頭戴一頂大草帽，坐在劃艇上在一條河中釣魚。河水的流動速度是每小時3英里，“我得向上游劃行幾英里，”他自言自語道，“這里的魚兒不愿上鉤！”

在靜水中，漁夫劃行的速度總是每小時5英里。在他向上游或下游劃行時，一直保持這個速度不變。

正當他開始向上游劃行的時候，一陣風把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我們這位漁夫并沒有注意到他的草帽丟了，仍然向上游劃行。

直到他劃行到船與草帽相距5英里的時候，才發覺這一點。于是他立即掉轉船頭，向下游劃去，如果漁夫是在下午2時丟失草帽的，那么他找回草帽是在什么時候？解答：既然漁夫離開草帽后劃行了5英里，那么，他當然是又向回劃行了5英里，回到草帽那兒。因此，相對于河水來說，他總共劃行了10英里。

漁夫相對于河水的劃行速度為每小時5英里，所以他一定是總共花了2小時劃完這10英里。于是，他在下午4時找回了他那頂落水的草帽。返回提示：由于河水的流動速度對劃艇和草帽產生同樣的影響，所以在求解這道趣題的時候可以對河水的流動速度完全不予考慮。

雖然是河水在流動而河岸保持不動，但是我們可以設想是河水完全靜止而河岸在移動。就我們所關心的劃艇與草帽來說，這種設想和上述情況毫無無差別。

其實本題用追及問題公式來算也可以，只是沒有必要而已。引申：我們還可以這樣思考：1、假設所有的兔子都抬起兩條前腿做“玉兔拜月”，那么腿數正好是頭數的兩倍(其實就是假設全是雉)，所以35×2=70，用94-70=24是兔的前腿數，24÷2=12即為兔數，35-12=23即為雉數；2、抬腿法(波利亞跳舞法)：假設所有的雉都抬起一條腿做“金雞獨立”，所有的兔都抬起兩條前腿做“玉兔拜月”，那么腿數變為原來的一半，94÷2=47，那么，腿比頭多的數量即為兔數，47-35=12…問題5：趣味應用題3、雞兔同籠：出自《孫子算經》，原題如下：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？

解答(二元一次方程組)：設x為雉數，y為兔數，

則有x＋y＝35，2x＋4y＝94，解得：x＝23，y＝12…返回開心一刻：1、數學謎語：(1)從后面算起（打一數學名詞）(2)從嚴判刑（打一數學名詞）(3)醫生提筆（打一數學名詞）(4)考試不作弊（打一數學名詞）(5)一筆債務（打一數學名詞）(6)婚姻法（打一數學名詞）(7)五四三二一（打一數學名詞）(8)徹底消滅（打一數學名詞）(9)再見了，媽媽（打一數學名詞）(10)七除以二（打一成語）返回倒數加法（加罰）開方真分數負數結合律倒數整除分母不三不四2、一人去吃早餐，要了一碗豆漿，想了想問老板可不可以換根油條！老板同意了，這人吃完油條就走了！老板攔住他：“你油條還沒給錢呢”

這貨說：“我用豆漿換的啊”

老板喝道：“豆漿是我的”

這貨又說：“可是我沒喝啊！”

老板凌亂了。。。問題6：多邊形面積的平分引入：如圖，△ABC，過A點的中線能把三角形分成面積相同的兩部分.

你能過AB邊上一點E作一條直線EF，使它也將這個三角形分成兩個

面積相等的部分嗎？解答：如圖DFABCDMFE返回1、借鑒三角形等分面積的方法，能否等分四邊形？問題6：多邊形面積的平分2、如圖，欲將一塊四方形的耕地中間的一條折路MPN改直，但不能

改變折路兩邊的耕地面積的大小，應如何畫線？提示：面積的轉化.引申：是否可以用一條線平分五邊形解答：如圖FEMNF返回問題7：如何證明“同一個三角形中，大邊對大角，

大角對大邊”？1、如圖1，△ABC中，AB＞AC，求證∠C＞∠B.提示：割補法.證明：在AB上截取AD=AC，連接CD，則∠ADC=∠ACD；∵∠ADC>∠B(三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角）

∴∠ACD>∠B(等量代換）

又∵∠ACB>∠ACD(整體大于部分）

∴∠ACB>∠B(不等式的傳遞性）

DCBA圖1BCA圖2D2、如圖2，△ABC中，

∠B＞∠C，求證AC＞AB.證明：在∠ABC內部作∠CBD=∠C，則BD=CD；

∵AD+BD>AB(三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AD+CD>AB(等量代換）

即AC>AB.返回引申：是否都可以用“補”的方法來證明?問題7：如何證明“同一個三角形中，大邊對大角，

大角對大邊”？1、如圖1，△ABC中，AB＞AC，求證∠C＞∠B.提示：割補法.證明：延長AC到D，使AD=AC，連接BD，則∠ABD=∠D；∵∠ACB>∠D(三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角）

∴∠ACB>∠ABD(等量代換）

又∵∠ABD>∠ABC(整體大于部分）

∴∠ACB>∠ABC(不等式的傳遞性）

2、如圖2，△ABC中，

∠B＞∠C，求證AC＞AB.證明：在∠ACB外部作∠BCD=∠B，AD為BA延長線，則BD=CD；∵AC+AD>CD(三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AC+AD>BD(等量代換）即AC+AD>AB+AD，∴AC>AB

返回引申：是否都可以用“補”的方法來證明?DCBA圖1BCA圖2D問題8：三角形“四心定理”的證明1、內心：三角形三條內角平分線必交于一點，這個點是三角形的內切圓

的圓心，簡稱內心證明：如圖，設∠ABC、∠ACB的平分線相交于I,

過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，

則IE==ID，IF=ID，所以IE=IF

因此I也在∠BAC的平分線上，即三角形三內角平分線交于一點．2、外心：三角形三條邊的垂直平分線必交于一點，這個點是三角形的

外接圓的圓心，簡稱外心證明：如圖，設AB、BC的中垂線交于點O，

連接OA、OB、OC，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，即三角形三邊的垂直平分線交于一點．返回ABCI

E

F

DABCO問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點，這個點叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

D問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點，這個點叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

D連接DE，∵D、E分別為BC、AC的中點問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點，這個點叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

DNM∵D、E分別為BC、AC的中點∴DE//AB且AB=2DE分別取AG、BG的中點M、N并連接MN有MN//AB且AB=2MN∴DE//MN且DE=MN∴四邊形DEMN是平行四邊形問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點，這個點叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

DNMPQ∵D、E分別為BC、AC的中點∴DE//AB且AB=2DE分別取AG、BG的中點M、N并連接MN有MN//AB且AB=2MN，∴DE//MN且DE=MN問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點，這個點叫做三角形的重心.證明：方法五(利用三角形的中位線和平行四邊形2)：

如圖，△ABC的中線AD、BE交于點G連接CG并延長到P，交AB于F，并使PG=CG，連接AP、BP，

∵D、G分別為BC、PC的中點

∴DG//BP，即GA//BP，

∴同理EG//AP，即GB//AP，

∴四邊形PAGB是平行四邊形

∴AF=BF，

∴CF為AB邊上的中線，即三角形三條中線相交于一點．返回ABCG

E

D

FP問題8：三角形“四心定理”的證明4、垂心：三角形的三條高線必交于一點，這個點叫做三角形的垂心.證明：方法一(四點共圓)：

如圖，△ABC的高AD、BE交于點H

連結CH交AB于F，連結DE.

∵∠BDC=∠BEC=90°

∴A、B、D、E四點共圓(以AB為直徑)

∴∠BAD=∠BED······①(同弧所對圓周角相等)

又∵∠CDH=∠CEH=90°

∴C、D、H、E四點共圓(以CH為直徑的圓)

∴∠HED=∠HCD······②(同弧所對圓周角相等)

由①②可知，∠BAD=∠BCF

且∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠BCF+∠CBF=90°，即CF⊥AB