第08講有理數的乘方（5個知識點+7個考點+易錯分析）

模塊一思維導圖串知識1.理解有理數的乘方的意義,并能進行乘方運算

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.掌握有理數的混合運算順序,并能熟練、正確地進行計算

模塊三核心考點舉一反三3.借助生活進一步感受較大的數,并能用科學記數法表示絕對值大

模塊四小試牛刀過關測于10的數

4.了解近似數的意義,能按要求取近似數

知識點1.有理數乘方的意義（重點）

1、求n個相同因數a的積的運算叫乘方，乘方的結果叫冪。a叫底數，n叫指數，an讀作：a的n次冪(a

的n次方)。

2、乘方的意義：an表示n個a相乘。

n個a

n

aaaaa

3、寫法的注意：

當底數是負數或分數時，底數一定要打括號，不然意義就全變了．

2222

如：()2＝()×()，表示兩個相乘．

3333

2222

而＝，表示2個2相乘的積除以3的相反數．

33

第1頁共29頁.

4、an與－an的區別．

(1)an表示n個a相乘，底數是a，指數是n，讀作：a的n次方．

(2)－an表示n個a乘積的相反數，底數是a，指數是n，讀作：a的n次方的相反數．

如：(2)3底數是2，指數是3，讀作(－2)的3次方，表示3個(－2)相乘．

(2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．

23底數是2，指數是3，讀作2的3次方的相反數．23＝－(2×2×2)＝－8．

注：(2)3與23的結果雖然都是－8，但表示的含義并不同。

【例1】把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數和指數各是什么．

(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；

222222

(2)×××××；

555555

解析：首先化成冪的形式，再指出底數和指數各是什么．

解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底數是－3.14，指數是

5；

22222222

(2)×××××＝()6，其中底數是，指數是6；

55555555

方法總結：乘方是一種特殊的乘法運算，冪是乘方的結果，當底數是負數或分數時，要先用括號將底數括

起來再寫指數．

【變式1-1】（1）根據有理數乘方的意義，算式55555可表示為．

4

（2）在3中指數是，底數是．

【答案】5543

【分析】（1）根據題意寫成有理數乘方的形式即可；

（2）根據冪的概念即可求解．

5

【詳解】解：（1）555555；

4

（2）在3中指數是4，底數是3．

故答案為：55；4；3；

【點睛】本題主要考查有理數乘方的應用、冪的概念，掌握冪的概念是解題的關鍵．

5

【變式1-2】（2022秋·浙江金華·七年級校聯考階段練習）2表示（）

A．2乘5B．5個2相加C．5個2相乘D．2個5相加

【答案】C

【分析】根據乘方的意義：表示n個數相乘，即可．

第2頁共29頁.

5

【詳解】解：2表示5個2相乘；

故選C．

【點睛】本題考查有理數的乘方．熟練掌握an表示n個a相乘，是解題的關鍵．

【變式1-3】（2022秋?黃山期末）﹣25表示的意義是（）

A．5個﹣2相乘B．5個2相乘的相反數

C．2個﹣5相乘D．2個5相乘的相反數

【分析】原式利用乘方的意義判斷即可．

【解答】解：﹣25表示的意義是5個2相乘的相反數，

故選：B．

【點評】此題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．

知識點2.有理數乘方運算的符號規律（重點）

乘方運算的符號規律．

(1)正數的任何次冪都是正數．

(2)負數的奇次冪是負數．

(3)負數的偶次冪是正數．

(4)0的奇數次冪，偶次冪都是0．

所以，任何數的偶次冪都是正數或0。

32

【例2】計算：(1)－(－3)3;(2)(－)2；(3)(－)3;(4)(－1)2015.

43

解析：可根據乘方的意義，先把乘方轉化為乘法，再根據乘法的運算法則來計算；或者先用符號法則來確

定冪的符號，再用乘法求冪的絕對值．

解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；

3339

(2)(－)2＝×＝；

44416

22228

(3)(－)3＝－(××)＝－；

333327

(4)(－1)2015＝－1.

方法總結：乘方的運算可以利用乘法的運算來進行．負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數；－1

的奇數次冪是－1，－1的偶數次冪是1.

4

【變式2-1】計算：1，14．

【答案】11

【詳解】解：141，

141，

第3頁共29頁.

33

?2??2?23

【變式2-2】計算：?÷；?÷；．

è3?è3?3

888

【答案】

27273

【變式2-3】計算：

323

?1?2?1?2

(1)?÷；(2)3；(3)?1÷；(4)．

è2?è2?3

198

【答案】(1)(2)9(3)(4)

843

【分析】根據有理數乘方計算即可．

?1??1??1?1

【詳解】（1）解：原式?÷?÷?÷；

è2?è2?è2?8

（2）解：原式339；

?3??3?9

（3）解：原式?÷?÷；

è2?è2?4

2228

（4）解：原式

33

【點睛】本題主要考查有理數乘方運算，掌握有理數乘方運算的意義是解題的關鍵．

知識點3.有理數的混合運算（難點）

1、有理數的混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，先算括號里面的，再算括號

外面的。

2、括號前帶負號，去掉括號后括號內各項要變號，即

(ab)ab，(ab)ab

11

【例3】計算：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)；

1010

21

(2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}．

32

解析：(1)題是含有減法、乘法、除法的混合運算，運算時，一定要注意運算順序，尤其是本題中的乘除運

算．要從左到右進行計算；(2)題有大括號、中括號，在運算時，可從里到外進行．注意要靈活掌握運算順

序．

111

解：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)＝(－5)－(－5)××10×(－5)＝(－5)－25＝－30；

101010

21

(2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}

32

23

＝－1－{－27－[3＋×(－)]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－1)}＝－1－(－26)

32

＝25.

第4頁共29頁.

方法總結：有理數的混合運算可用下面的口訣記憶：混合運算并不難，符號第一記心間；加法需取大值號，

乘法同正異負添；減變加改相反數，除改乘法用倒數；混合運算按順序，乘方乘除后加減．

【變式3-1】計算：973422．

【答案】20

【詳解】解：973422

23162

6162

20．

12

【變式3-2】計算：141262

4

【答案】0

5

【詳解】解：原式144

4

154

0．

【變式3-3】計算：

4

101

é?1?ù21?1?5

(1)1ê1?10.5÷6ú；(2)8?(2)|6|?÷(2)．

?è3??2è2?

【答案】(1)3

(2)3

é?1?ù

【詳解】（1）原式1ê1?1÷6ú

?è6??

?5?

1?16÷

è6?

115

14

3；

11

（2）原式8?4632

216

232

3

【點睛】本題考查了含乘方的有理數的混合運算，熟練掌握混合運算的順序是解答本題的關鍵．混合運算

的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按從左到右的順序計算．如果有括號，先算括號

里面的，并按小括號、中括號、大括號的順序進行．

知識點4.科學記數法（重點）

第5頁共29頁.

（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，

這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】

（2）規律方法總結：

①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此

規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．

②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是

前面多一個負號．

【例4】我區深入實施環境污染整治，關停和整改了一些化工企業，使得每年排放的污水減少了167000噸，

將167000用科學記數法表示為()

A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106

解析：根據科學記數法的表示形式，先確定a，再確定n，解此類題的關鍵是a，n的確定.167000＝1.67×

105，故選C.

方法總結：科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值

以及n的值．

【變式4-1】2022年12月28日，臺州市域鐵路S1線開通運營，標志著臺州城市發展邁入軌道時代臺州市

域鐵路S1線全長約52.4公里，總投資約228.19億元，是連接椒江區、路橋區及溫嶺市之間重要的城市

快速通道．其中數據228.19億用科學記數法表示為（）

A．0.22819×1010B．0.22819×1011

C．2.2819×1010D．2.2819×1011

【解答】解：228.19億＝22819000000＝2.2819×1010．

故選：C．

【變式4-2】用科學記數法表示的數為4.315×103，這個數原來是（）

A．4315B．431.5C．43.15D．4.315

【解答】解：用科學記數法表示的數為4.315×103，這個數原來是4315，

故選：A．

【變式4-3】已知下列用科學記數法表示的數，寫出原來的數：

(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.

解析：(1)將2.01的小數點向右移動4位即可；(2)將6.070的小數點向右移動5位即可；(3)將－3擴大

1000倍即可．

解：(1)2.01×104＝20100；

(2)6.070×105＝607000；

(3)－3×103＝－3000.

方法總結：將科學記數法a×10n表示的數，“還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n位所

得到的數．

第6頁共29頁.

知識點5.近似數（難點）

（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．

（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．

（3）規律方法總結：

“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前

者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．

【例5.1】下列數據中，不是近似數的是()

A．某次地震中，傷亡10萬人B．吐魯番盆地低于海平面155m

C．小明班上有45人D．小紅測得數學書的長度為21.0cm

解析：A.某次地震中，傷亡10萬人中的10為近似數，所以A選項錯誤；B.吐魯番盆地低于海平面155m中

的155為近似數，所以B選項錯誤；C.小明班上有45人中45為準確數，所以C選項正確；D.小紅測得數

學書的長度為21.0cm中的21.0為近似數，所以D選項錯誤，故選C.

方法總結：經過“四舍五入”得到的叫近似數，一般用工具量出來的數都是近似數；能表示原來物體或事

件的實際數量的數是準確數，一般通過計數數出來的數都是準確數．

【例5.2】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）

A．0.1（精確到0.1）B．0.05（精確到千分位）

C．0.05（精確到百分位）D．0.0502（精確到0.0001）

【解答】解：A、0.05019≈0.1（精確到0.1），所以此選項正確，故A不符合題意；

B、0.05019≈0.050（精確到千分位），所以此選項錯誤，故B符合題意；

C、0.05019≈0.05（精確到百分位），所以此選項正確，故C不符合題意；

D、0.05019≈0.0502（精確到0.0001），所以此選項正確，故D不符合題意；

故選：B．

【例5.3】近似數1.70所表示的準確值a的范圍是()

A．1.700＜a≤1.705B．1.60≤a＜1.80

C．1.64＜a≤1.705D．1.695≤a＜1.705

解析：若是向前進1得到的，那么a≥1.695；若是舍去下一位得到的，那么a＜1.705，∴1.695≤a＜1.705.

故選D.

方法總結：此題不是由準確數求近似數，而是由近似數求準確數的范圍，這是對逆向思維能力的考查．

【變式5-1】下列由四舍五入得到的近似數，各精確到哪一位？

(1)25.7;(2)0.407；(3)4000萬；(4)4.4千萬．

解析：精確度由最后一位數字所在的位置確定，一般來說，近似數四舍五入到哪一位，就精確到哪一位．

解：(1)25.7(精確到十分位)；

(2)0.407(精確到千分位)；

(3)4000萬(精確到萬位)；

第7頁共29頁.

(4)4.4千萬(精確到百萬位)．

方法總結：若是漢字單位為“萬”、“千”、“百”類的近似數，精確度依然是由其最后一位數所在的數

位確定，但必須先把該數寫成單位為“個”的數，再確定其精確度．

【變式5-2】下列說法正確的是()

A．近似數4.60與4.6的精確度相同B．近似數5千萬與近似數5000萬的精確度相同

C．近似數4.31萬精確到0.01D．1.45×104精確到百位

解析：選項A.近似數4.60精確到百分位，4.6精確到十分位，故錯誤；選項B.近似數5千萬精確到千萬位，

近似數5000萬精確到萬位，故錯誤；選項C.近似數4.31萬精確到百位．故錯誤；選項D.正確．故選D.

方法總結：解答此題應掌握數的精確度的知識，保留整數精確度為1，一位小數表示精確到十分之一，兩位

小數表示精確到百分之一等．

【變式5-3】用四舍五入法將下列各數按括號中的要求取近似數．

(1)0.6328(精確到0.01)；(2)7.9122(精確到個位)；

(3)47155(精確到百位)；(4)130.06(精確到0.1)；

(5)4602.15(精確到千位)．

解析：(1)把千分位上的數字2四舍五入即可；(2)把十分位上的數字9四舍五入即可；(3)先用科學記數法

表示，然后把十位上的數字5四舍五入即可；(4)把百分位上的數字6四舍五入即可；(5)先用科學記數法

表示，然后把百位上的數字6四舍五入即可．

解：(1)0.6328≈0.63(精確到0.01)；

(2)7.9122≈8(精確到個位)；

(3)47155≈4.72×104(精確到百位)；

(4)130.06≈130.1(精確到0.1)；

(5)4602.15≈5×103(精確到千位)．

方法總結：按精確度找出要保留的最后一個數位，再按下一個數位上的數四舍五入即可．

易錯點：含乘方運算時符號考慮不全產生漏解

11

【例6】（23-24七年級上·貴州銅仁·階段練習）小明同學在計算：(1)2023(2)36?()時，步驟如下：

23

11

解：原式2023(6)6?6???（1）

23

202361218??（2）

2023??（3）

(1)小明的計算過程中開始出現錯誤的步驟是________；（填序號）

(2)請給出正確的解題過程．

【答案】(1)（1）

(2)過程見解析

第8頁共29頁.

【分析】

本題考查的是含乘方的有理數的混合運算，掌握運算順序與運算法則是解本題的關鍵；

（1）由乘方計算錯誤與除法計算錯誤可得答案；

（2）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減運算，有括號計算括號內的運算即可；

【詳解】（1）解：第（1）步就出現錯誤；

11

（2）(1)2023(2)36?()

23

1

186?

6

1866

1836

43；

考點1：有理數的混合運算

22?11??1?

1.計算：432?÷??1÷．

è32?è3?

29

【答案】

2

?1?3

【詳解】解：原式1634?÷

è6?4

13

1612

64

3

16

2

29

．

2

342

2.計算：2?312．

5

【答案】1

4

【詳解】解：原式8?314

5

5

833

4

109

1．

42?3?

3.計算：1[43)?ù3??÷2．

è4?

第9頁共29頁.

【答案】1

42?3?

【詳解】解：1[43)?ù3??÷2

è4?

?4?

1493?÷2

è3?

1542

542

1．

2

4.計算：(1)2022(18)4?(2)．

9

【答案】1

20222

【詳解】1184?2

9

2

1182

9

142

1

考點2：用科學記數法表示數

5．“神威·太湖之光”超級計算機運算速度達每秒9.31016次，它工作1h可進行多少次運算？（結果用科學記

數法表示）

【答案】它工作1h可進行3.3481020次運算

【詳解】解：1h=3600s，

9.3101636003348010163.34810410163.3481020（次），

答：它工作1h可進行3.3481020次運算．

6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以達到3×108m/s，如果我們用光速行駛3.6×103s，請問

我們行駛的路程為多少m？

【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．

答：行駛的路程為1.08×1012m．

7.已知一個U盤的名義內存為10GB，平均每個視頻的內存為512MB，平均每首音樂的內存為10.24MB，平

均每篇文章的內存為10.24KB．現該U盤已存16個視頻，50首音樂．若該U盤的內存的實際利用率為

90%，求還可以存文章的最多篇數（用科學記數法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）

【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，

答：還可以存文章的最多篇數是5.12×104．

考點3：按要求取近似值

8.由四舍五入法得到的近似數8.8×103，下列說法中正確的是（）

第10頁共29頁.

A．精確到十分位B．精確到個位

C．精確到百位D．精確到千位

【解答】解：近似數8.8×103精確到百位．

故選：C．

9．小明的身高為1.68m，表示他實際身高a的范圍為（）

A．1.675≤a＜1.685B．1.675＜a≤1.685

C．1.675≤a≤1.685D．1.675＜a＜1.685

【解答】解：小明的身高為1.68m，表示他實際身高a的范圍為1.675≤a＜1.685．

故選：A．

10.數3.303105精確到位．

【答案】百

【詳解】解：數3.303105330300精確到百位，

11.下列問題中出現的數，哪些是精確值?哪些是近似值?

(1)某院校的某專業計劃招生200人；

(2)小明的立定跳遠成績是2.31m；

(3)若塵的這次數學考試成績是96分；

(4)據統計，公園門口每月的車流量大約是30000輛．

【答案】(1)準確數

(2)近似數

(3)準確數

(4)近似數

【詳解】（1）解：某院校的某專業計劃招生200人，是準確數；

（2）小明的立定跳遠成績是2.31m，是近似數；

（3）若塵的這次數學考試成績是96分，是準確數；

（4）據統計，公園門口每月的車流量大約是30000輛，是近似數．

考點4:有理數乘方與其他知識的綜合應用

2

?1?2023

12．（23-24七年級上·重慶江津·期中）若a2?b÷0，則ab．

è2?

【答案】1

【分析】本題主要考查了絕對值的非負性，平方的非負性，解題的關鍵是求出a、b的值，準確進行計

算．先根據絕對值和平方的非負性求出a、b的值，然后再代入ab2023中計算即可．

2

?1?

【詳解】Qa2?b÷0，

è2?

第11頁共29頁.

2

?1?

\a20，?b÷0，

è2?

1

\a2，b，

2

12023

將a2，b代入ab中得：

2

2023

2023?1?2023

ab?2÷11，

è2?

故答案為：1．

2

13．（22-23七年級上·廣東湛江·期末）若x6y20，則xy．

【答案】36

【分析】利用非負數的性質求出x，y的值，再代入計算即可．

2

【詳解】解：∵x6y20，

2

∴x60，y20，

∴x60，y20，

∴x6，y2，

2

∴xy636，

故答案為：36．

【點睛】本題考查了非負數的性質，代數式求值，初中階段有三種類型的非負數：①絕對值；②偶次方；③

二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．

22023

14．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）若x3y20，則xy的值為．

【答案】1

【分析】本題主要考查有理數的乘方運算，掌握絕對值、平方數的非負性，有理數的乘方運算是解題的關

鍵．

根據絕對值、平方數的非負性可求出x,y的值，代入求值即可．

【詳解】解：在x3y220中，

2

∵x330，y230，

∴x3,y2，

202320232023

∴xy3211，

故答案為：1．

考點5：有關乘方的規律探究問題

15．觀察下列等式：212，224，238，2416，…．通過觀察，用你發現的規律確定22023的個位數

第12頁共29頁.

字是（）

A．2B．4C．8D．6

【答案】C

【詳解】解：繼續計算：2532,2664,27128,28256，…，

顯然個位數字是按2，4，8，6這一規律循環的，

而202345053，所以22023的個位數字是8；

故選：C．

16．觀察下列等式：313，329，3327，3481，35243，36729，解答下列問題：33233××××××32022

的末尾數字是

【答案】2

【詳解】解：∵313，329，3327，3481，35243，36729，

∴末尾數，每4個一循環，

∵2022?4＝505?2，

232022

∴3333的末位數字相當于：3971?397139715053910112的末

尾數為2．

17．觀察下列算式：

①313，②329，③3327，④3481，⑤35243，⑥36729，⑦372187，⑧386561，…那

么32023的個位數字是．

【答案】7

【詳解】已知313，末位數字為3，

329，末位數字為9，

3327，末位數字為7，

3481，末位數字為1，

35243，末位數字為3，

36729，末位數字為9，

372187，末位數字為7，

386561，末位數字為1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數字以3、9、7、1四個數字為一循環，

又2023?4505×××3，

所以32023的末位數字與33的末位數字相同是7．

18．如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據此規律可得：

第13頁共29頁.

(1)這樣的一個細胞經過2小時后可分裂成多少個細胞？

(2)這樣的一個細胞經過多少小時后可分裂成64個細胞？

【答案】(1)16

(2)3

【詳解】（1）解：經過2小時，即第4個30分鐘后，可分裂成2416個細胞，

\經過2小時后，可分裂成16個細胞；

（2）解：根據題意，一個細胞第1個30分鐘分裂成2個，即21個細胞；

第2個30分鐘分裂成4個，即22個；

…

依此類推，第n個30分鐘分裂為2n個細胞；

\2n=64，解得n6，

\經過6個30分鐘，即3小時后可分裂成64個細胞．

考點6：利用有理數乘方解決實際問題

19．（22-23七年級上·浙江溫州·期中）小明的Word文檔中有一個如圖1的實驗中學Logo，他想在這個Word

文檔中用1000個這種Logo，設計出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復制粘貼”（用鼠標選中Logo，右

鍵點擊“復制”，然后在本Word文檔中“粘貼”)的方式完成，則他需要使用“復制粘貼”的次數至少為（）

A．9次B．10次C．11次D．12次

【答案】B

【分析】本題考查了有理數的乘方，理解題意是解題的關鍵．根據復制粘貼呈2倍的速度增加，所以求2

的冪運算．

109

【詳解】解：Q21024>1000，2512<1000，

故選：B

20．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長方形紙片分割成8個部分，部分①的面積

是原長方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依

次類推，陰影部分的面積為（）

第14頁共29頁.

1111

A．1B．1C．D．

27282728

【答案】C

【分析】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題意和圖

形，可以得到陰影部分的面積．

1

【詳解】解：由圖可得，陰影部分的面積是，

27

故選：C．

21．（22-23七年級上·江蘇鎮江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為6cm，第二個正方體紙盒的體積比

第一個正方體紙盒的體積大127cm3．

(1)求第二個正方體紙盒的棱長；

(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？

【答案】(1)第二個正方體紙盒的棱長為7cm

(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多78cm2

【分析】本題主要考查了有理數乘方運算的應用，解題的關鍵熟練掌握正方體的體積公式和表面積公式．

（1）先求出第一個正方體的體積，再求出第二個正方體的體積，得出其棱長即可；

（2）根據正方體的表面積公式列出算式進行計算即可．

【詳解】（1）解：第一個正方體紙盒的體積為：63216cm3，

第二個正方體紙盒的體積為：216127343cm3，

∵73343，

∴第二個正方體紙盒的棱長為7cm；

（2）解：67266278cm2，

答：第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多78cm2．

考點7：有關乘方的拓展創新題

22．小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，

根據牌面上的數字進行混合運算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數字只能用一次，

并使得運算結果等于24．

（1）小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結果等于24的算式；

第15頁共29頁.

（2）請你抽取任意數字不相同的4張撲克牌，并列出一個結果等于24的算式．

【解答】解：（1）5×6﹣2×3＝24；

（3+5）×（6÷2）＝24；

（5﹣3）×2×6＝24；

（2）如抽到黑桃3、紅桃4、方塊6、梅花10，

則有：3×6+10﹣4＝24．

23．閱讀下面的材料：我們已經學習過“乘方”和“開方”運算，下面給同學們介紹一種新的運算，即對數運

算．

b

定義：如果aN（a>0，a11，N>0），則b叫做以a為底N的對數，記作logaNb．

32

例如：因為5125，所以log51253；因為11121，所以log111212．

(1)填空：log66，log381

(2)如果log3m23，求m的值．

(3)對于“對數”運算，小明同學認為有“logaMNlogaM×logaN（a>0，a11，M>0，N>0）”，他的說法

正確嗎？如果正確，請給出證明過程；如果不正確，請說明理由，并加以改正．

【答案】(1)1；4

(2)29

(3)不正確，理由見解析，logaMNlogaMlogaN

【詳解】（1）解：∵616，

∴log661，

∵3481，

∴log3814，

故答案為：1，4；

（2）∵log3m23，

∴33m2，

∴m29；

（3）不正確，理由如下：

設axM，ayN，

第16頁共29頁.

則logaMx，logaNy（a>0，a11，M>0，N>0），

∵ax×ayaxy，

∴axyMN，

∴logaMNxy，

即logaMNlogaMlogaN．

24.概念學習：

現規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如2?2?2，3?3?3?3

等，類比有理數的乘方，我們把2?2?2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，3?3?3?3寫作

3④，讀作“3的圈4次方”，一般地把a14444444244444443?a?a?......?aa10寫作a?，讀作“a的圈n次方”．

n個a

初步探究：

③

②?1?

(1)直接寫出計算結果：3=；?÷；

è3?

(2)下列關于除方說法中，錯誤的有；（在橫線上填寫序號即可）

A．任何非零數的圈2次方都等于1

B．任何非零數的圈3次方都等于它的倒數

C．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數

D．圈n次方等于它本身的數是1或-1．

深入思考：

我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那么有理數的除方運

算如何轉化為乘方運算呢？

(3)歸納：請把有理數aa10的圈nn33次方寫成冪的形式為：a?=；

⑩⑩

(4)比較：24；（填“＞”“＜”或“=”）

①④

③2?1?⑥?1?

(5)計算：114??÷748??÷．

è2?è7?

【答案】(1)1，-3

(2)D

n2

?1?

(3)?÷

èa?

(4)>

9

(5)

49

第17頁共29頁.

【詳解】（1）3②=3?3=1；

③

?1??1??1??1??1?

?-÷=?-÷??-÷??-÷=?-÷′(-3)′(-3)=-3；

è3?è3?è3?è3?è3?

故答案為：1；3；

（2）A．任何非零數的圈2次方都等于1，故A不符合題意；

B．任何非零數的圈3次方都等于它的倒數，故B不符合題意；

C．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數，故C不符合題意；

D．圈n次方等于它本身的數是1，1的圈偶數次方等于1，1的圈奇數次等于1，故D符合題意；

故選：D；

n-2

?111?1?

（3）a=a?a?a?a=a××=?÷，

aaaèa?

n2

?1?

故答案為：?÷；

èa?

88

⑩?1?1⑩?1?111

（4）∵-2=?-÷=，4，>

()?÷8?÷888

è2?2è4?424

⑩⑩

∴(-2)>(-4)，

故答案為：>；

①④

③2?1?⑥?1?

（5）114??÷748??÷

è2?è7?

4

2?1??1?2

=-1+14??-÷′?-÷-(-48)?(-7)

è2?è7?

4

2?1?2

=-1+14′(-2)′?-÷-(-48)?(-7)

è7?

848

=-1-+

4949

9

=-

49

25．（本學期我們學習了“有理數乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算．

定義：am與an（a10，m，n都是正整數）叫做同底數冪，同底數冪除法記作am?an．

運算法則如下：

ì

?當m>n時，am?anamn

mn?mn

a?aí當mn時，a?a1

?1

?當m<n時，am?an

?anm

3

?1??1?25

(1)填空：?÷??÷______，5?5______；

è3?è3?

第18頁共29頁.

1

(2)如果x>0，且2x4?22x5，求出x的值；

8

2x2x7

(3)如果x2?x21，請直接寫出x的值______．

11

【答案】(1)，；

9125

(2)x2；

(3)x5，x3，x1．

3312

?1??1??1??1?1

【詳解】（1）解：?÷??÷?÷?÷，

è3?è3?è3?è3?9

11

52?55，

552125

11

故答案為：，；

9125

（2）解：因為x>0，

所以x4<2x5，

11

所以2x4?22x5，

22x5x42x1

11

因為，

823

所以x13，

解得：x2；

（3）由題意知，①2x2x7，

解得：x5；

②x21，

解得：x3；

③x21且2x2與x7為偶數，

解得：x1；

綜上，x5，x3，x1．

一、單選題

1．（23-24七年級上·福建南平·期末）2023年“亞運＋雙節”讓杭州火出圈，相關數據顯示，國慶期間杭州共

接待游客約13000000人次，將數據13000000用科學記數法表示為（）

A．1.3106B．1.3107C．0.13108D．13106

【答案】B

【分析】本題考查了科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵．將一個數表示成a10n的形

式，其中1≤a＜10，n為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可得到答案．

第19頁共29頁.

【詳解】解：130000001.3107，

故選：B．

2．（23-24七年級上·重慶長壽·期中）下列各組數中，其值相等的是（）

232

A．32和23B．2和22C．3和33D．32和3222

【答案】C

【分析】此題主要考查了有理數的乘方運算，熟練應用有理數的乘方運算法則是解題關鍵；分別利用有理

數的乘方運算法則求出進而比較得出即可；

【詳解】解：A、329,238，故不符合題意；

2

B、24，224故不符合題意；

3

C、327，3327故符合題意；

2

D、3236，32229436故不符合題意；

故選：C．

3．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）用四舍五入法對2.06032分別取近似值，其中錯誤的是（）

A．2.1（精確到0.1)B．2.06（精確到百分位）

C．2.0（精確到十分位）D．2.0603（精確到0.0001)

【答案】C

【分析】本題考查了近似數與精確度，熟練掌握精確度的定義是解答本題的關鍵．要求精確到某一位，應

當對下一位的數字進行四舍五入．

【詳解】解：A．2.06032?2.1（精確到0.1)，正確，不符合題意；

B．2.06032?2.06（精確到百分位），正確，不符合題意；

C．2.06032?2.1（精確到十分位），原說法錯誤，符合題意；

D．2.06032?2.0603（精確到0.0001)，正確，不符合題意；

故選C．

4．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來

記錄數量，即“結繩計數”，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，采取滿七進一的方式，用來記錄孩

子自出生后的天數．例如圖1表示的是孩子出生后30天時打繩結的情況（因為：47127030），那

么由圖2可知，孩子出生后的天數是（）天

A．510B．511C．513D．520

第20頁共29頁.

【答案】A

【分析】

本題考查了計數方法，有理數的混合運算．類比于現在我們的十進制“滿十進一”，可以表示滿七進一的數為：

千位上的數73百位上的數72十位上的數7個位上的數，再列式計算即可．

【詳解】解：173372276510（天），

答：孩子自出生后的天數是510天．

故選：A．

5．（23-24七年級上·福建泉州·期中）為了紀念著名的數學家蘇步青及其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約

218000000公里的行星命名為“蘇步青星”，數據218000000用科學記數法表示為（）

A．0.218109B．2.18109C．2.18108D．218106

【答案】C

【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1￡a<10，n

為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，