第05講有理數減法（2個知識點+7個考點+易錯分析）

模塊一思維導圖串知識1.掌握有理數減法的運算法則,理解減法法則與加法法

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）則的關系,體會轉化的思想方法

模塊三核心考點舉一反三2.能熟練地進行有理數的減法運算,會進行有理數的加

模塊四小試牛刀過關測減混合運算,會解決簡單的實際問題，

3.能將和式中的括號和加號省略,并利用加法運算律進

行相關計算

知識點1.有理數的減法法則（重點）

（1）有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數．即：a﹣b＝a+（﹣b）

（2）方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數的符號；

②將有理數轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數的性質符號

（減數變相反數）；

【注意】：

在有理數減法運算時，被減數與減數的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．

減法法則不能與加法法則類比，0加任何數都不變，0減任何數應依法則進行計算．

【例1】計算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．

【答案與解析】法一：

法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27

第1頁共33頁.

11

【變式1-1】計算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3－5.

24

解析：先根據有理數的減法法則，將減法轉化為加法，再根據有理數的加法法則計算即可．

解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；

1111113

(2)－3－5＝－3＋(－5)＝－(3＋5)＝－8.

2424244

方法總結：進行有理數減法運算時，將減法轉化為加法，再根據有理數加法法則進行計算．要特別注意減數

的符號．

【變式1-2】上海某天的最高氣溫為6℃，最低氣溫為－1℃，則這一天的最高氣溫與最低氣溫的差為()

A．5℃B．6℃C．7℃D．8℃

解析：由題意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故選C.

方法總結：要根據題意列出算式，再運用有理數的減法法則解答．

【變式1-3】已知有理數a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，試判定a－b的符號．

解析：判斷a，b差的符號，可能不好理解，不妨把它轉化為加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法則進行判定．

解：因為b＜0，所以－b＞0.又因為a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a與－b是異號兩數相加，那么它們和的

符號由絕對值較大的加數的符號決定，因為|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符號，而a＜0，因此a－

b的符號為負號．

方法總結：此類問題如果是填空或選擇題，可以采用“特殊值”法進行判斷，若是解答題，可以將減法轉化

為加法通過運算法則來解答．

知識點2.有理數的加減混合運算（難點）

（1）有理數加減混合運算的方法：有理數加減法統一成加法．

（2）方法指引：

①在一個式子里，有加法也有減法，根據有理數減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括號的和的

形式．

②轉化成省略括號的代數和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化．

12

【例2】計算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；

55

2222

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；

315315

2113

(3)－－(－)＋(－)．

3838

解析：本題根據有理數加減互為逆運算的關系把減法統一成加法，省略加號后，運用加法運算律，簡化運

算，求出結果．其中互為相反數的兩數先結合；能湊成整數的各數先結合．另外，同號各數先結合；同分

母或易通分的各數先結合．

12

解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－

55

9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；

第2頁共33頁.

222222222222

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝－14＋11＋12－14－11＝(－14＋12)＋(11－11)

315315315315331515

－14＝－2＋0－14＝－16；

21132113211311

(3)－－(－)＋(－)＝－＋－＝(＋)＋(－－)＝1＋(－)＝.

38383838338822

方法總結：(1)為使運算簡便，可適當運用加法的結合律與交換律．在交換加數的位置時，要連同前面的符

號一起交換．(2)注意同分母分數相加，互為相反數相加，湊成整數的數相加，這樣計算簡便．(3)當一個算

式中既有小數又有分數時，一般要統一，具體是統一成分數還是小數，要看哪一種計算簡便．

【變式2-1】計算：+1?+1+?3??63.

5454

【答案】6.1

【分析】根據有理數的加減混合運算進行計算即可求解．

【詳解】解：+1?+1+?3??63

5454

1133

=??+6

5454

1331

=?+6+?

5544

21

=?+6+

52

=?0.4+6+0.5

=6.1．

【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算，掌握有理數的加減的運算法則是解題的關鍵．

【變式2-2】．計算下列各式：

1111

(1)(?3)+(+7)?8(2)3+(?0.5)+(?3.2)+5．

2352

25

【答案】(1)?，(2)5

6

【分析】（1）根據有理數的加減運算法則計算，即可解答；

（2）利用加法的結合律和交換律，即可解答．

11125

【詳解】（1）原式=(?3)+(+7)?8+(?)+=?4?=?；

2366

（2）原式=3.2+(?3.2)+(?0.5)+5.5=5．

【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算法，解決本題的關鍵是利用加法運算律進行簡算．

【變式2-3】列式計算：

1

（1）?3減去?5與2.5的和所得差是多少？

2

（2）3，?5，?6的和比這三個數和的絕對值大多少？

【答案】（1）0；（2）-16

【分析】（1）先列出算式，再根據有理數的加法和有理數的減法運算法則進行計算即可得解；

（2）先列出算式，再根據有理數的加法和有理數的乘方的定義以及有理數的減法運算法則和絕對值的性質

進行計算即可得解．

【詳解】解：（1）(?3)??51+2.5

2

第3頁共33頁.

=(?3)?(?3)

=(?3)+3

=0；

（2）[3+(?5)+(?6)]?|3+(?5)+(?6)|

=(?8)?8

=(?8)+(?8)

=?16．

【點睛】本題考查了有理數的減法，絕對值的性質，有理數的加法，熟記運算法則并準確列出算式是解題

的關鍵．

【變式2-4】計算：

（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；

（2）11－12+13－15+16－18+17；

111

（3）3.76-39-5+68-4.76-2+1

362

5113

（4）3.46+4--3.87-2+1.54+3.37+

6344

1355

（5）-3+5+4-6；

24618

13

（6）2.25+3-2+1.875

84

【解析】（1）觀察各個加數，可以發現－3.72與3.72互為相反數，把它們分為一組；

4.18、－2.93與－1.25的和為0，把它們分為一組可使計算簡便．

解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72

＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23

＝0+0－1.23＝－1.23

（2）把正數和負數分別分為一組．

解：11－12+13－15+16－18+17

＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)

＝57+(－45)＝12

（3）仔細觀察各個加數，可以發現兩個小數的和是－1，兩個整數的和是29，三個分數通分后也不難算．故

把整數、分數、小數分別分為一組．

111

解：3.76-39-5+68-4.76-2+1

362

111

=(3.76-4.76)+(5-2+1)+(-39+68)=-1+(-6)+29=22

362

第4頁共33頁.

5

（4）3.46和1.54的和為整數,把它們分為一組；－3.87與3.37的和為－0.5，把它們分為一組；4與

6

113

-易于通分，把它們分為一組；-2與同分母，把它們分為一組．

344

5113

解：3.46+4--3.87-2+1.54+3.37+

6344

5113

=(3.46+1.54)+(-3.87+3.37)+(4-)+(-2+)

6344

11

=5+(-0.5)+4+(-1)=4.5+3=7.5

22

（5）先把整數分離后再分組．

1355

解：-3+5+4-6

24618

1355

=-3-+5++4+-6-

24618

1355

=(-3+5+4-6)+(-++-)

24618

-18+27+30-10

=0+

36

29

=

36

注：帶分數中的整數與分數分離時，如果這個數是負數，那么分離得到的整數與分數都是負數，例如

11

-3=-3-．

22

（6）如果按小數、整數分組，效果似乎不是很好．可先將小數和分數統一后再考慮分組．

13

解：2.25+3-2+1.875

84

=(2.25-2.75)+(3.125+1.875)

=-0.5+5=4.5

知識點3.省略加號的和式的寫法讀法

（1）把算式中的減法轉化為加法；

（2）去括號時注意符號，能省掉的“+”號要省掉；

（3）多觀察，巧妙利用運算律簡便計算．

【例3】將下列式子寫成省略括號和加號的形式，并用兩種讀法將它讀出來．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)

解析：先把加減法統一成加法，再省略括號和加號；讀有理式，式子中第一項的符號，要作為這一項的符

第5頁共33頁.

號讀出正負來，式子中的符號就讀作加或減．

解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.

讀法①：負13、正7、負21、負9、正32的和；

讀法②：負13減去負7減去21減去9加上32.

方法總結：注意掌握括號前是“＋”號時，將括號連同它前邊的“＋”號去掉，括號內各項都不變；括號前

是“－”號時，將括號連同它前邊的“－”去掉，括號內各項都要變號．

【變式3-1】有理數的加減混合運算可以統一成加法運算，如算式“?20?(?9)+(?8)+10”可以看成

________這4個數的和．

【答案】?20+9+(?8)+10

【分析】根據減法運算法則進行解答即可．

【詳解】解：?20?(?9)+(?8)+10=?20+9+(?8)+10．

故答案為：?20+9+(?8)+10．

【點睛】本題主要考查了有理數減法運算，解題的關鍵是熟練掌減去一個數等于加上這個數的想法．

【變式3-2】把(?4)?(+13)+(?5)?(?9)寫成省略加號和括號的形式是___________；讀作：___________

或___________．

【答案】?4?13?5+9﹣4﹣13﹣5+9負4減13減5加9負4、負13、負5、9的和

【分析】首先把減法改為加法，省略括號和前面的加號即可．

【詳解】解：(?4)?(+13)+(?5)?(?9)

=(?4)+(?13)+(?5)+(+9)

=?4?13?5+9；

讀作：負4減13減5加9或負4、負13、負5、9的和．

故答案為：?4?13?5+9﹣4﹣13﹣5+9；負4減13減5加9；負4、負13、負5、9的和．

【點睛】此題考查有理數的加減混合運算混合運算的簡寫方法，注意簡寫前后符號的變化，讀法按兩種意

義去讀．

易錯點1:混淆有理數減法中的運算符號和性質符號

【例4】.計算：-7-5-11．

莉莉的解法如下：

-7-5-11

=-(7-5)-11

=-2-11

=-(2-11)

=-(-9)

=9．

請問莉莉的解法正確嗎？如果不正確，請寫出正確解法．

【答案】莉莉的解法不正確，詳見解析，-23

第6頁共33頁.

【分析】錯誤，運算法則運用錯誤，寫出正確的解題過程即可．

【詳解】莉莉的解法不正確．

正確解法：-7-5-11=(-7)+(-5)+(-11)=(-12)+(-11)=-23．

【點睛】此題考查了有理數的減法法則，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵

易錯點2：錯用運算律

【例5】．（23-24七年級上·福建三明·階段練習）錯用運算律，可能會導致計算的結果出錯

例如有同學計算5-3.2+0.2時，得到的結果為1.6，這位同學的計算過程如下：

解：5-3.2+0.2①

=5-3.2+0.2②

=5-3.4③

=1.6④

以上計算過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是.

【答案】②

【分析】根據有理數的加減運算和添括號法則可作出判斷．

【詳解】解：5-3.2+0.2

=5-3.2-0.2

=5-3

=2，

第②步括號內沒變符號導致錯誤，即開始出現錯誤的那一步對應的序號是②，

故答案為：②．

【點睛】本題考查有理數的加減，添括號法則，解題的關鍵是掌握添括號法則：所添括號前面是“+”號，括

到括號里的各項都不改變正負號；所添括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變正負號，添括號和去括

號的過程正好相反，添括號是否正確，可以用去括號檢驗一下．

考點1：有理數的加減混合運算

1．計算：

?1??1?

(1)-2.125+?+3÷+?+5÷+-3.2；

è5?è8?

2?1??2??1?

(2)0-21+?+3÷-?-÷-?+÷；

3è4?è3?è4?

?1?1

(3)?-7÷+-3.37+6+2.125+-0.25+-2.63．

è8?4

【答案】(1)3；

第7頁共33頁.

(2)-18；

(3)-5．

?1??1?

【詳解】（1）解：-2.125+?+3÷+?+5÷+-3.2

è5?è8?

=-2.125+5.125+3.2-3.2

=3；

2?1??2??1?

（2）解：0-21+?+3÷-?-÷-?+÷

3è4?è3?è4?

?22??11?

=?-21+÷+?3-÷

è33?è44?

=-21+3

=-18；

?1?1

（3）解：?-7÷+-3.37+6+2.125+-0.25+-2.63

è8?4

=-7.125+2.125+-3.37-2.63+6.25-0.25

=-5-6+6

=-5．

2．計算：

(1)-15++7--3；

?3??1??2?

(2)+0.125-?-3÷+?-3÷-?-10÷-+1.25．

è4?è8?è3?

【答案】(1)-5

1

(2)10

6

【詳解】（1）解：原式=-15+7+3

=-5；

312

（2）解：原式=0.125+3-3+10-1.25

483

13121

=+3-3+10-1

84834

?11??31?2

=?-3÷+?3-1÷+10

è88?è44?3

12

=-3+2+10

23

1

=10．

6

3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”

第8頁共33頁.

5?2?3?1?

計算：-5+?-9÷+17+?-3÷

6è3?4è2?

?5231??3?3

解：原式=-5-9+17-3+?--+-÷=0+?-1÷=-1

è6342?è4?4

?3??1?3?1?

啟發應用，用上面的方法完成下列計算：?-3÷+?-1÷+2-?2÷

è10?è2?5è2?

7

【答案】-4

10

3131

【分析】將原式利用“拆項法”得出原式=-3-1+2-2+(--+-)，再根據有理數的加減運算法

10252

則計算可得．

?3??1?3?1?

【詳解】解：?-3÷+?-1÷+2-?2÷

è10?è2?5è2?

3131

=-3-1+2-2+(--+-)

10252

7

=-4+(-)

10

7

=-4．

10

【點睛】題目主要考查有理數的加減混合運算，理解題干中的“拆項法”是解題關鍵．

考點2：絕對值與有理數的減法的綜合問題

4．有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡式子：a-c-a-b+2a=______．

【答案】-c-b

【詳解】由數軸可得：c＜a＜0＜b，

∴a-c＞0，a-b＜0，2a＜0，

∴|a-c|-|a-b|+|2a|

=a-c+a-b-2a

=-c-b．

故答案為：-c-b．

5.已知|x-4|+|y+2|=0，求x-y的值．

【答案】x-y=6

【詳解】∵|x-4|+|y+2|=0，|x-4|30，|y+2|30，

∴x-4=0，y+2=0，

解得x=4，y=-2，

∴x-y=4-(-2)=6．

第9頁共33頁.

6.在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉，例如：

6+7=6+7，6-7=7-6，7-6=7-6，-6-7=6+7．

(1)根據上面的規律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式；

①|7-21|=______；

1

②|-+0.8|=______；

2

77

③-=______；

1718

115015011

(2)用合理的方法計算：-+---.；

555755722

11111111

(3)用簡單的方法計算：-+-+-+?+-．

32435420212020

177

【答案】(1)①21-7；②0.8-；③-；

21718

1

(2)-

5

2019

(3)

4042

【詳解】（1）①|7-21|=21-7；

11

②-+0.8=0.8-；

22

7777

③|-|=-；

17181718

177

故答案為：①21-7；②0.8-；③-；

21718

150111501

（2）原式=-+--

557525572

150150111

=(-)+(-)-

557557225

1

=-；

5

11111111

（3）原式=-+-+-+...+-

23344520202021

11

=-

22021

2019

=．

4042

7.某檢修小組從A地出發，在東西向的馬路上檢修線路，如果規定向東行駛為正，向西行駛為負，一天中十

次行駛紀錄如下（單位：km）．

第10頁共33頁.

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次

-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5

(1)最后他們是否回到出發點A？若沒有，則他們停留在A地的什么方向？距離A地多遠？

(2)在第_________次紀錄時距A地最遠．

(3)若每千米耗油0.08升，問共耗油多少升？

【答案】(1)他們沒有回到出發點A，停留在A地東邊10km處

(2)五

(3)共耗油5.6升

【詳解】（1）解：-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5=10km．

答：他們沒有回到出發點A，停留在A地東邊10km處；

（2）解：第一次：-10=10；

第二次：-10-3=13；

第三次：-10-3+4=9；

第四次：-10-3+4-2=11；

第五次：-10-3+4-2-8=19；

第六次：-10-3+4-2-8+16=3；

第七次：-10-3+4-2-8+16-2=5；

第八次：-10-3+4-2-8+16-2+12=7；

第九次：-10-3+4-2-8+16-2+12+8=15；

第十次：-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5=10．

∴在第五次紀錄時距A地最遠．

故答案為：5；

（3）解：?é-10+-3++4+-2+-8++16+-2++12++8+-5?ù′0.08

=70′0.08

=5.6（升）．

答：共耗油5.6升．

考點3.利用有理數減法求數軸上兩點間的距離

8．“數形結合”是重要的數學思想．如：|3-(-2)|表示3與-2差的絕對值，實際上也可以理解為3與-2在

數軸上所對應的兩個點之間的距離．進一步地，數軸上兩個點A，B所對應的數分別用a，b表示，那么A，

B兩點之間的距離表示為AB=|a-b|．利用此結論，回答以下問題：

第11頁共33頁.

(1)數軸上-2和5這兩點之間的距離為．

(2)若x表示一個實數，|x+2|+|x-4|的最小值為．

(3)直接寫出所有符合條件的x，使得|x-2|+|x+5|=9，則x的值為．

【答案】(1)7

(2)6

(3)-6或3

【詳解】（1）|(-2)-5|=7．

故答案為：7；

（2）|x+2|+|x-4|表示x到-2和4的距離之和，

當x<-2時，|x+2|+|x-4|>6；

當-2￡x￡4時，|x+2|+|x-4|=6；

當x>4時，|x+2|+|x-4|>6，

故|x+2|+|x-4|最小值為6．

故答案為：6；

（3）|x-2|+|x+5|=9表示x到-2和4的距離之和等于9，

-5￡x￡2時，|x-2|+|x+5|=7，

當x<-5時，x=-5-1=-6；

當x>2時，x=2+1=3．

故答案為-6或3．

9.已知數軸上A、B兩點所對應的數分別是1和3，P為數軸上任意一點，對應的數為x．

（1）則A、B兩點之間的距離為________；

（2）式子|x-1|+|x-3|+LL+|x-2017|+|x-2019|的最小值為________．

【答案】2；510050．

【詳解】（1）A、B兩點之間的距離為3-1=2，

故答案為：2；

（2）由已知條件可知，|x-a|表示數x到數a的距離，

只有當x到1的距離等于x到2019的距離時，式子即可取最小值，

1+2019

\當x==1010時，|x-1|+|x-3|++|x-2017|+|x-2019|取最小值，

2LL

最小值為：|1010-1|+|1010-3|+LL+|1010-2017|+|1010-2019|

=1009+1007+1005+L1+1+L+1005+1007+1009

=2′(1009+1007+1005+L1)

第12頁共33頁.

(1009+1)′505

=2′

2

=510050

10.數學實驗室：點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B

兩點之間的距離AB＝|a﹣b|；利用數形結合思想回答下列問題：

①數軸上表示1和﹣5的兩點之間的距離是．

②數軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為．數軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為．

③若x表示一個有理數，則|x﹣2|+|x+4|的最小值＝．

④若x表示一個有理數，且|x+1|+|x﹣4|＝5，則滿足條件的所有整數x的和是．

⑤若x表示一個有理數，且|x﹣3|+|x+1|＝8，則滿足條件的x的所有值是．

【分析】①利用數形結合思想和題干中的結論解答即可；

②利用數形結合思想和題干中的結論解答即可；

③利用數形結合思想和題干中的結論解答即可；

④利用數形結合思想和題干中的結論將滿足條件的所有整數一一列舉，并把它們相加即可得出結論；

⑤利用數形結合思想和題干中的結論結合絕對值的意義解答即可．

【解答】解：①數軸上表示1和﹣5的兩點之間的距離是|1﹣（﹣5）|＝6，

故答案為：6；

②數軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為|x+2|，

數軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為|a﹣7|，

故答案為：|x+2|；|x﹣7|；

③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的點到表示2，﹣4兩點的距離之和，

∴當x在2和﹣4之間時，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值為|2﹣（﹣4）|＝6，

故答案為：6；

④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的點到表示﹣1，4兩點的距離之和為5，

又表示﹣1，4兩點的距離之和為5，

∴數x在﹣1和4之間，

∵x為整數，

∴滿足條件的所有整數x的值為：﹣1，0，1，2，3，4，

∴滿足條件的所有整數x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，

故答案為：9；

⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的點到表示﹣1，3兩點的距離之和為8，

又∵3﹣（﹣1）＝4，

∴表示x的點可能在3的右側或在﹣1的左側，

即x＞3或x＜﹣1．

第13頁共33頁.

當x＞3時，

∵|x﹣3|+|x+1|＝8，

∴x﹣3+x+1＝8，

解得：x＝5；

當x＜﹣1時，

∵|x﹣3|+|x+1|＝8．

∴3﹣x﹣x﹣1＝8，

解得：x＝﹣3，

綜上，滿足條件的x的所有值是5和﹣3．

故答案為：5和﹣3．

【點評】本題主要考查了有理數的減法，絕對值，數軸，利用數形結合的方法解答是解題的關鍵．

考點4：利用數軸信息進行有理數的加減運算

11．郵遞員騎車從郵局出發，先向西騎行2km到達A村，繼續向西騎行3km到達B村，然后向東騎行9km

到達C村，最后回到郵局．

(1)以郵局為原點，以向東方向為正方向，以1個單位表示1km，在該數軸上表示A，B，C三個村莊的位置；

(2)C村離A村有多遠？

(3)郵遞員一共騎行了多少千米？

【答案】(1)答案見解析

(2)6千米

(3)18千米

【詳解】（1）解：

（2）解：C村離A村的距離為4--2=6(km)；

（3）解：郵遞員一共行駛了2+3+9+4=18（千米）．

12.如圖，是北京S1線地鐵的分布示意圖，其中橋戶營、四道橋、金安橋、蘋果園四站在同一條直線上．如

果在圖中以正東為正方向建立數軸，橋戶營站、蘋果園站表示的數分別是-4，2，那么金安橋站表示的數

是___________．

第14頁共33頁.

【答案】0

【詳解】∵橋戶營站、蘋果園站表示的數分別是-4，2，

∴橋戶營站與蘋果園站的距離是2-（-4）=6，

∵橋戶營站與蘋果園站之間共有三個單位長度，

∴每個單位長度表示6?3=2，

∴金安橋表示的數是2-2=0，

故答案為：0．

13．A，B兩個動點在數軸上同時做勻速運動，運動方向不變，它們的運動時間和在數軸上的位置所對應的

數記錄如表．

(1)根據題意，填寫下列表格：

時間（秒）057

A點在數軸上的位置100___________

B點在數軸上的位置___________1220

(2)A、B兩點在___________秒時相遇，此時A、B點對應的數是___________；

(3)在A、B兩點上分別安裝一個感應器，感應距離為3至8（即當兩點距離大于等于3，小于等于8時會一

直發出震動提示，距離太遠或太近都不提示）．

①A、B兩點開始運動后，經過幾秒感應器開始發出提示？第一次提示持續多長時間？

②A、B兩點開始運動后，經過幾秒感應器開始發出第二次提示？

【答案】(1)見解析

(2)3；4

55

(3)①A、B兩點開始運動后，經過秒感應器開始發出提示，第一次提示持續秒；②A、B兩點開始運動后，

36

經過3.5秒感應器開始發出第二次提示

【分析】（1）根據表格中的數據，得出點A、B運動速度和方向，求出點A在7秒時的位置和點B在0秒

時的位置即可；

（2）根據A、B兩點間的距離和A、B運動速度求出A、B兩點相遇時間；根據A、B兩點在0秒時的位置，

結合運動速度和方向，求出相遇時，A、B點對應的數即可；

（3）①根據A、B兩點間的距離和A、B運動速度，結合題意列出算式計算即可得出開始運動到發出第一次

提示的時間；算出第一次持續振動過程中通過的單位長度，然后根據兩個點的速度求出持續振動時間即可；

②根據A、B運動速度，開始運動到第二次振動需要運動的總路程，算出時間即可．

【詳解】（1）解：∵0秒時，點A在數軸上的位置為10，

5秒時，點A在數軸上的位置為0，

10-0

∴點A向左運動，且運動速度為=2個單位/秒，

5

第15頁共33頁.

∴7秒時，點A在數軸上的位置為10-2′7=-4；

∵5秒時，點B在數軸上的位置為12，

7秒時，點B在數軸上的位置為20，

20-12

∴點B向右運動，且運動速度為=4個單位/秒，

7-5

∴0秒時，點B在數軸上的位置為20-4′7=-8，

時間（秒）057

A點在數軸上的位置100-4

B點在數軸上的位置-81220

（2）解：根據解析（1）可知，點A向左運動，每秒運動2個單位，點B向右運動，每秒運動4個單位，

則A、B兩點相遇時間為：

10--8

=3（秒）；

2+4

相遇時A、B兩點對應的數為10-2′3=4；

故答案為：3；4．

（3）解：①當A、B兩點相距8個單位時，發出提示，

10--8-85

∴感應器開始發出提示的時間為：=（秒）；

2+43

∵當A、B兩點相距3個單位時，停止發出提示，

∴持續8-3=5個單位，

55

∴第一次提示持續時間為=（秒），

2+46

55

即A、B兩點開始運動后，經過秒感應器開始發出提示，第一次提示持續秒；

36

②∵當A、B兩點相遇后，再相距3個單位開始第二次提示，

10--8+3

∴A、B兩點開始運動后，到第二次發出提示的時間為：=3.5（秒），

2+4

A、B兩點開始運動后，經過3.5秒感應器開始發出第二次提示．

【點睛】本題主要考查了數軸上的動點問題，數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是根據表格中的數據得

出A、B兩點運動的速度和方向．

考點5：新定義運算問題

第16頁共33頁.

14．（23-24七年級上·新疆阿克蘇·期末）規定符號a,b表示兩個數中較小的一個，規定符號a,b表示兩

é23ù

個數中較大的一個，例如：2,1=1，2,1=2，則-2,3+-,-的值為（）

?ê34?ú

81179

A．-B．-C．D．

3434

【答案】A

【分析】

本題考查了新定義，有理數的加減；

é23ù2

根據新規定求出-2,3=-2,-,-=-，然后計算即可．

?ê34?ú3

é23ù2

【詳解】解：由題意得：-2,3=-2,-,-=-，

?ê34?ú3

é23ù28

∴-2,3+-,-=-2-=-，

?ê34?ú33

故選：A．

15．閱讀材料尋找共同存在的規律：有一個運算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝

n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝．

【答案】﹣2017

【詳解】解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝

a⊕b﹣2c＝n﹣2c，

∵1⊕1＝2，

∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021．

又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，

∴2020⊕2020＝﹣2017．

16.設x表示不大于x的最大整數，如3.2=3,-2=-2，

（1）6.9=___________；

（2）-7.1--3=__________；

【答案】6-5

【詳解】解：（1）由：x表示不大于x的最大整數，

可得：6.9=6；

故答案為：6；

（2）解：-7.1=-8,-3=-3，

∴-7.1--3=-8--3=-5；

故答案為：-5．

第17頁共33頁.

考點6：有理數的加減在實際生活中的應用

17．（2023秋·江蘇鹽城·七年級統考期末）當前，手機移動支付已經成為新型的消費方式，中國正在向無現

金社會發展．下表是媽媽元旦當天的微信零錢支付明細：則元旦當天，媽媽微信零錢最終的收支情況是

（）

微信轉賬+50.00

掃二維碼付款-75.00

微信紅包+66.00

便民菜站-18.00

A．收入23元B．支出23元C．收入116元D．支出93元

【答案】A

【分析】根據收入記作“+”，支出記作“-”，收入與支出之和就是結余錢數，然后計算得出結果．

【詳解】解：50-75+66-18

=-25+66-18

=23（元），

∴元旦當天，媽媽微信零錢最終的收支情況是收入23元．

故選：A．

【點睛】本題考查了正負數的表示方法以及有理數的加減運算．正確理解正數與負數的相反意義是解題的

關鍵．

18．小明同學將2B鉛筆筆尖從原點O開始沿數軸進行連續滑動，先將筆尖沿正方向滑動1個單位長度完成

第一次操作，再沿負方向滑動2個單位長度完成第二次操作；又沿正方向滑動3個單位長度完成第三次操

作；再沿負方向滑動4個單位長度完成第四次操作，…，以此規律繼續操作，經過第99次操作后筆尖停留

在點P處，則點P對應的數是（）．

A．0B．-10C．-25D．50

【答案】D

【詳解】解：規定正方向為正、負方向為負，則

1-2+3-4+L+99=1-2+3-4+L+97-98+99=-49+99=50，

故選：D．

19．某地的國際標準時間是指該地與格林尼治的時差．以下為同一時刻5個城市的國際標準時間（正數表

示當地時間比格林尼治時間早的時數，負數表示當地時間比格林尼治時間遲的時數）：

城市倫敦北京東京多倫多紐約

國際標準時間0+8+9-4-5

第18頁共33頁.

(1)倫敦時間中午12點時，北京的當地時間是_________點，紐約的當地時間是_________點：

(2)某人在北京首都機場乘坐中午12點整的航班飛往倫敦，若飛行時間為12小時，則此人到達倫敦時，倫

敦的當地時間是幾點?（以上時刻均用24小時制作答）

【答案】(1)20，7

(2)16點

【詳解】（1）12+8=20（時），12+(-5)=7（時）；

答：北京的當地時間是20點，紐約的當地時間是7點；

（2）12+12-8

=16（時）；

答：倫敦的當地時間是16點．

20．為了慶祝中華人民共和國成立72周年，空軍航空開放活動在其機場舉行，某特技飛行隊做特技表演時，

其中一架J31型飛機起飛0.5km后的高度（上升記為正）變化為：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．

(1)求該飛機完成這四個表演動作后離地面的高度；

(2)已知飛機平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么這架飛機在做完這四個表

演動作過程中，一共消耗了多少升燃油？

【答案】(1)1.5km

(2)25.8升

【詳解】（1）解：0.5+2.5-1.2+1.1-1.4=1.5（千米）；

答：飛機完成這四個表演動作后離地面的高度1.5千米；

（2）解：(2.5+1.1)′5+(1.2+1.4)′3

=3.6′5+2.6′3

=18+7.8

=25.8（升)，

答：一共消耗了25.8升燃油．

21．小穎大學暑假期間在某玩具廠勤工儉學．廠里規定每周工作6天，每人每天需生產A玩具30個，每周

生產180個．下表是小穎某周實際的生產情況（增產記為正、減產記為負）：

星期一二三四五六

增減產值＋9-7-4＋8-1＋6

(1)根據記錄的數據可知小穎星期二生產玩具___________個；

(2)根據記錄的數據可知小穎本周實際生產玩具___________個；

(3)該廠規定：每生產一個玩具可得工資5元，若超額完成任務，則超過部分每個另獎3元，少生產一個則

倒扣2元；工資采用“每日計件工資制”或“每周計件工資制”．小穎本周應選擇哪種工資形式更合算？請說明

理由．

第19頁共33頁.

【答案】(1)23

(2)191

(3)選擇每日計件工資制更合算，見解析

【詳解】（1）小穎星期二生產玩具30-7=23（個）；

故答案為：23；

（2）本周實際生產玩具：30′6+(+9-7-4+8-1+6)=191（個）；

故答案為：191；

（3）每日計件工資制：

5′191+(9+8+6)′3-(7+4+1)′2

=955+69-24

=1000（元），

每日計件工資制，小穎本周的工資總額是1000元；

每周計件工資制：

5′191+(191-180)′3=988（元），

每周計件工資制，小穎本周的工資總額是988元；

988<1000，

∴小穎應選擇每日計件工資制更合算．

考點7:規律探究創新題

22．（23-24七年級上·浙江金華·期末）觀察前三個圖形，利用得到的計算規律，得到第四個圖形的計算結

果為（）

A．-3B．-5C．5D．9

【答案】D

【分析】根據前三個圖形得到規律：左上角與右下角的兩數之和減去右上角與左下角的兩數之和，即可得

到答案．此題考查了有理數的加減混合運算，根據圖形，發現規律是解題的關鍵．

【詳解】解：由題意可得，

1+4-2+3=5-5=0，

2+4--2+3=6-1=5，

-3+5--1+6=2-5=-3，

∴-3+5--1-6=2+7=9，

故選：D．

第20頁共33頁.

1111

23．觀察下列各式的特征：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；-=-；

2525

1111

-=-，根據規律，解決相關問題：

5225

（1）把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計算結果）；

①|7-21|=_____________；

77

②-=___________．

1718

（2）當a>b時，|a-b|=___________；當a<b時，|a-b|=__________．

（3）有理數a在數軸上的位置如圖，則化簡|a-2|的結果為___________

A．a-2B．a+2C．2-a