專題07解題技巧專題：與絕對值化簡的有關問題壓軸題五種模型全攻略

【考點導航】

目錄

【典型例題】....................................................................................................................................................1

【考點一絕對值非負性的應用】......................................................................................................................1

【考點二利用數軸化簡絕對值】......................................................................................................................1

【考點三分類討論化簡絕對值】......................................................................................................................3

【考點三利用幾何意義化簡絕對值】..............................................................................................................4

【考點四解含絕對值的方程】..........................................................................................................................7

【典型例題】

【考點一絕對值非負性的應用】

例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習）若x5y80，則xy．

【變式訓練】

1．（2023秋·全國·七年級專題練習）若(a1)2|ab4|0，則a，b．

2

2．（2023秋·七年級課時練習）若（a2）＋b3＝0，則ab的值是．

3．（2023·河北秦皇島·校考一模）已知a，b都是實數．若|a1|(b2)20，則ab．

4．（2023秋·全國·七年級專題練習）若有理數a，b滿足a20b190，則ab.

【考點二利用數軸化簡絕對值】

例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，試化簡下式：

abbcac．

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【變式訓練】

1．（2023·全國·七年級假期作業）已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡ab的結果是（）

A．abB．abC．abD．ab

2．（2023秋·山東濟寧·七年級統考期末）有理數a，b，c在數軸上位置如圖，則化簡caabbc的

值為（）

A．2cB．2bC．0D．2c

3．（2023春·福建福州·七年級統考開學考試）有理數x在數軸上的位置如圖聽示，化簡：

|2x2023||x|．

4．（2023秋·四川巴中·七年級統考期末）有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡bbaa1的結

果為．

5．（2023春·黑龍江大慶·六年級校考階段練習）已知a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡

|ac||a2b||c2b|的結果是．

6．（2023春·上海·六年級專題練習）如圖，已知a、b、c在數軸上的位置．

a

（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）

c

a

（2）如果a、c互為相反數，求＝．

c

（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．

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【考點三分類討論化簡絕對值】

例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學校校考期中）已知a、b、c均為不等式0的有理數，則

abc

的值為．

abc

【變式訓練】

|a||b|

1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）若有理數a，b滿足ab0，則的值為．

ab

abc

2．（2023春·廣東河源·七年級校考開學考試）若n，abc0，則n的值為．

abc

3．（2023·全國·七年級假期作業）請利用絕對值的性質，解決下面問題：

ab

(1)已知a，b是有理數，當a0時，則_______；當b0時，則_______．

|a||b|

bcacab

(2)已知a，b，c是有理數，abc0，abc<0，求的值．

|a||b||c|

|a||b||c|

(3)已知a，b，c是有理數，當abc0時，求的值．

abc

4．（2023秋·全國·七年級專題練習）分類討論是重要的數學方法，如化簡|x|，當x0時，|x|x；當x0

時，|x|0；當x0時，|x|x．求解下列問題：

xxx

(1)當x3時，值為______，當x3時，的值為______，當x為不等于0的有理數時，的值為

|x||x||x|

______；

yzxzxy

(2)已知xyz0，xyz0，求的值；

|x||y||z|

(3)已知：x1,x2,,x2021,x2022,x2023，這2023個數都是不等于0的有理數，若這2023個數中有n個正數，

x1x2x2021x2022x2023

m，則m的值為______（請用含n的式子表示）

x1x2x2021x2022x2023

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【考點四利用幾何意義化簡絕對值】

例題：（2023秋·浙江·七年級專題練習）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數軸上表示3和2的兩點之間的距離是_____；表示2和1兩點之間的距離是_____；一般地，數軸上表

示數m和數n的兩點之間的距離等于mn．

(2)如果x12，那么x______；

(3)若a34，b23，且數a、b在數軸上表示的數分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，

最小距離是_____．

(4)若數軸上表示數a的點位于3與5之間，則a3a5_____．

(5)當a_____時，a1a5a4的值最小，最小值是_____．

【變式訓練】

1．（2022秋·福建泉州·七年級統考期中）閱讀下面材料：如圖，點A、B在數軸上分別表示有理數a，b，則A、B

兩點之間的距離可以表示為ab．

根據閱讀材料與你的理解回答下列問題：

(1)數軸上表示8與2的兩點之間的距離是______；

(2)若x53，則x______；若x1x3，則x______；

(3)x1x3表示數軸上有理數x所對的點到1和-3所對的兩點距離之和．請你利用數軸，寫出所有符合

條件的整數x，使得x1x34．

(4)若x表示一個有理數，則x1010x504x1011有最小值嗎？若有，請直接寫出最小值．若沒有，

說出理由．

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2．（2022秋·河北保定·七年級校聯考期中）閱讀下列材料：我們知道，x的幾何意義是在數軸上數x對應的

點與原點的距離：xx0，也就是說，x表示在數軸上數x與數0對應點之間的距離．這個結論可以推

廣為：ab表示在數軸上數a，b對應點之間的距離．

如：數軸上數2，5對應點之間的距離為253；

數軸上數2，7對應點之間的距離為2(7)9；

又如：已知x12，求x的值．意為：數軸上數x與數1對應點之間的距離為2，觀察數軸可知x的值為1

或3．

請運用上述的幾何方法解決下列問題：

(1)若x3，則x________；

(2)若x32，則x________；

(3)41表示數軸上數________與________對應點之間的距離；

(4)若x24，則x________；

(5)若x3x25，則滿足條件的所有整數x為________________；

(6)若x1x45，則x的取值范圍為________________________．

3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期中）【問題提出】a1a2a3a2021的最小值是多少？

【閱讀理解】

為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．a的幾何意義是a這個數在數軸上對應的點到原點的距

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離，那么a1可以看作a這個數在數軸上對應的點到1的距離；a1a2就可以看作a這個數在數軸上

對應的點到1和2兩個點的距離之和，下面我們結合數軸研究a1a2的最小值．

我們先看a表示的點可能的3種情況，如圖所示：

如圖①，a在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．

如圖②，a在1，2之間（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距離之和等于1．

如圖③，a在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結論：

當a在1，2之間（包括在1，2上）時，a1a2有最小值1．

【問題解決】

(1)a4a7的幾何意義是，請你結合數軸研究：a4a7的最小值是；

(2)請你結合圖④探究a1a2a3的最小值是，由此可以得出a為；

(3)a1a2a3a4a5的最小值是；

(4)a1a2a3a2021的最小值為；

(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．

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【考點五解含絕對值的方程】

例題：（2023秋·全國·七年級專題練習）閱讀材料：我們把絕對值符號內含有未知數的方程叫做“含有絕對值

的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路

是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．

【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據絕對值的意義進一步解決問題．

解：根據絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．

解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．

根據以上材料解決下列問題：

(1)解方程：|3x﹣2|＝4；

(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．

【變式訓練】

1．（2023·浙江·七年級假期作業）解下列方程：

13

(1)x53(2)2x17(3)x41(4)x524

24

2．（2022秋·福建泉州·七年級校考階段練習）同學們都知道，42表示4與2的差的絕對值，實際上

也可以理解為4與2兩數在數軸上所對應兩點之間的距離：同理x3也可以理解為x與3兩數在數軸上所

對應的兩點之間的距離，