模塊二常見模型專練

專題28截長補短模型

例1（2021年·四川廣安·中考真題）在數學中，我們會用“截長補短”的方法來解決幾條線段之間的和差問

題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，BADBCD90，ABAD，若AC5cm，求四邊

形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BECD，連接AE，我們可以證明BAE≌DAC，根據全等三角形的性質得

AEAC5，EABCAD，則EACEABBACDACBACBAD90，得

S四邊形ABCDSABCSADCSABCSABESAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰直角三角形EAC面

積．

(1)根據上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

(2)如圖2，在ABC中，ACB90，且ACBC4，求線段AB的最小值．

(3)如圖3，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，且BOC60；AC+BD=10，則AD是否

為定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此時平行四邊形ABCD的面積．

【答案】(1)12.5

(2)22

5253

(3)不是，，

24

【分析】（1）根據題意，可以計算出等腰直角三角形AEC的面積，從而可以得到四邊形ABCD的面積；

（2）由勾股定理可得AB2(AC2)28，由配方法可求解；

第1頁共63頁.

2

525

（3）由平行四邊形的性質可得BOCO5，ADBC，由勾股定理可求BC3BO，由配方

24

法可求BC的最小值，即可求解．

【詳解】（1）解：由題意可得，AEAC5，EAC90，

11

則EAC的面積AEAC5512.5(cm2)，

22

即四邊形ABCD的面積為12.5cm2，

故答案為：12.5；

（2）解：ACBC4，

BC4AC，

ACB90，

ABAC2BC2AC2(4AC)22(AC2)28，

當AC2時，AB取最小值，最小值為22；

（3）解：如圖，過點B作BHAC于H，

四邊形ABCD是平行四邊形，

AOCO，BODO，ADBC，

AC+BD=10，

BOCO5，

CO5BO，

BOC60，BHAC，

OBH30，

13

HOBO，BH3HOBO，

22

3

CHCOHO5BO，

2

第2頁共63頁.

222

2233525，

BCBHCHBO5BO3BO

2224

555

當BO時，BC有最小值，即AD的最小值為，

222

5

此時：BOBC，BOC60，

2

BOC是等邊三角形，

2

35253．

SABCD4SBOC4

424

5253

綜上可知，AD不是定值，AD的最小值為，此時平行四邊形ABCD的面積為．

24

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，平行四邊形的性質，靈活運

用這些性質是解題的關鍵．

例2（2021年·湖北襄陽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是O內正方形，P是圓上一點（點P與點A，

B，C，D不重合），連接PA，PB，PC．

(1)若點P是弧AD上一點，

①∠BPC度數為___________；

②求證：PAPC2PB；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明思路完

成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE．

(2)探究當點P分別在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的數量關系，直接寫出答案，不需要證明．

【答案】(1)①45，②見解析

(2)PCPA2PB；PAPC2PB；PAPC2PB；證明見解析

【分析】（1）①理由正方形的性質和圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半解答即可；

②在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE，利用全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的判

第3頁共63頁.

定與性質解答即可；

（2）利用截長補短法，依題意畫出相應圖形，按小明思路完成解答即可．

【詳解】（1）①解：BPC45，理由：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ABBCCDDA，

∴BC的度數為90，

1

∴BPC9045，

2

故答案為：45；

②證明：在PC的延長線上截取點E，使CEPA．連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內接正方形，

∴ABBC，

又∵點P在AD上，

∴四邊形ABCP為O內接四邊形

∴PABBCE．

在PAB和ECB中，

PAEC

PABECB，

ABCB

∴PAB≌ECBSAS，

∴PBPE，ABPCBE，

∵ABPPBC90，

∴PBCCBE90，

第4頁共63頁.

∴PBE90，

∴△PBE為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCCEPCPE2PB；

（2）當點P在AB上時，PCPA2PB；

在PC上取點E，使CEPA，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內接正方形，

∴ABBC，

在PAB和ECB中，

PAEC

PABECB，

ABCB

∴PAB≌ECBSAS，

∴PBPE，ABPCBE，

∵ABEEBC90，

∴PBAABE90，

∴PBE90，

∴△PBE為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PCPAPCECPE2PB；

當點P在BC上時，PAPC2PB，

在PA上取點E，使AEPC，連接BE，如圖，

第5頁共63頁.

∵四邊形ABCD是O內接正方形，

∴ABBC，

在ABE和BCP中，

ABBC

BAEBCP，

AECP

∴ABE≌BCPSAS，

∴BEBP，ABECBP，

∵∠ABE∠CBE90，

∴CBECBP90，

∴EBP90，

∴△EBP為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCPAAEPE2PB；

當點P在CD上時，PAPC2PB，理由：

在PA的延長線上截取點E，使AEPC，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內接正方形，

∴ABBC，

又∵點P在CD上，

第6頁共63頁.

∴四邊形ABCP為O內接四邊形

∴EABBCP．

在EAB和PCB中，

ABBC

EABPCB，

AECP

∴EAB≌PCBSAS，

∴BEBP，ABEPBC．

∵ABPPBC90，

∴ABPABE90，

∴EBP90．

∴△EBP為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCPAAEPE2PB．

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的內接四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，

等腰直角三角形的判定與性質，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用截長補短法，構造恰當的輔助線解答

是解題的關鍵．

模型截長補短

截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長

就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊。

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在

EF=AB+CD，可以考慮截長補短法。

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB，再證明

GF=CD即可。

補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD，

再證明AH=EF即可。

第7頁共63頁.

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系。截長，指在長線段中截取一段等于已知線段；補短，

指將短線段延長，延長部分等于已知線段。

該類題目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞句，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證

明過程。

概述圖：

【變式1】（2021秋·河北滄州·八年級統考期中）【閱讀】在證明線段和差問題時，經常采用截長補短法，

再利用全等圖形求線段的數量關系．截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩

段相等．補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線

段相等．

【應用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，CADCBD90，組成一個四邊形ACBD，以D為頂

點作MDN，交邊AC、BC于M、N．

第8頁共63頁.

(1)若ACD30，MDN60，證明：AMBNMN；經過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補

短法，延長CB到點E，使BEAM，連接DE，先證明DAM≌DBE，再證明△MDN≌△EDN，即可

求得結論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；

(2)當ACDMDN90時，AM、MN、BN三條線段之間有何數量關系？（直接寫出你的結論，不用證

明）

(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則AM、MN、BN

之間有何數量關系？證明你的結論．

【答案】(1)證明見解析

(2)AMBNMN

(3)BNAMMN，證明見解析

【分析】（1）根據題意得AD=BD，延長CB到E，使BEAM，連接DE，利用全等三角形的判定得出

△DAM≌△DBESAS，△MDN≌△EDNSAS，再根據全等三角形的性質結合圖形即可證明；

（2）證明方法與（1）一致，證明即可；

（3）在CB截取BEAM，連接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBESAS，

△MDN≌△EDNSAS再根據全等三角形的性質結合圖形即可得出結果．

（1）

證明：根據題意得：AD=BD，

延長CB到E，使BEAM，連接DE

∵ACBD90，

∴AEBD90，

在△DAM和DBE中

第9頁共63頁.

AMBE

ADBE，

ADBD

∴△DAM≌△DBESAS，

∴BDEMDA，DMDE，

∵MDNADC60，

∴ADMNDC，

∴BDENDC，

∵NDCNDB60

∴BDENDBNDE60

∴MDNNDE，

在△MDN和△EDN中

DMDE

MDNNDE

DNDN

∴△MDN≌△EDNSAS，

∴MNNE，

∵NEBEBNAMBN，

∴AMBNMN．

（2）

由（1）中條件得∠ACD+∠MDN=90°，

證明方法同（1）類似，

∴AMBNMN；

（3）

BNAMMN，

證明：在CB截取BEAM，連接DE，

第10頁共63頁.

∵BCAD90，

∴BDAM90，

在△DAM和DBE中

AMDE

DAMDBE，

ADBD

∴△DAM≌△DBESAS，

∴BDEADM，DMDE，

∵CDAACD90，MDNACD90，

∴MDNCDA，

∴MDNADNCDAADN，

即MDACDN，

∴BDECDN，

∵ADCBDC

∴ADCCDNBDCBDE

即NDAEDC

∴NDAMDAEDCCDN

即MDNEDN，

在△MDN和△EDN中

DMDE

MDNNDE，

DNDN

第11頁共63頁.

∴△MDN≌△EDNSAS，

∴MNNE，

∵NEBNBEBNAM，

∴BNAMMN．

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，理解題意，作出相應輔助線，找出各角之間的關系是解

題關鍵．

【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題

復習課，學習過七種作輔助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法．

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等．

這兩種方法統稱截長補短法．

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點，求證：AB－AC＞PB－PC

【答案】見解析

【分析】截長法：在AB上截取AN=AC，連結PN，可證得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利

用三角形的三邊關系，即可求證；補短法：延長AC至M，使AM=AB，連結PM，證明△ABP≌△AMP，

可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三邊關系，即可求證．

【詳解】解：截長法：在AB上截取AN=AC，連結PN，

第12頁共63頁.

在△APN和△APC中

∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，

∴△APN≌△APC，

∴PC=PN，

∵△BPN中有PB－PN＜BN，

即PB－PC＜AB－AC；

補短法：延長AC至M，使AM=AB，連結PM，

在△ABP和△AMP中，

∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，

∴△ABP≌△AMP，

∴PB=PM，

又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，

即AB－AC＞PB－PC．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，理解截長補短法是解題的關鍵．

【變式3】（2022·貴州遵義·統考三模）（1）問題發現：學完垂徑定理后，小紅對弧的中點與弦的關系再

次做了研究，如圖甲，O中，點C是劣弧AB的中點，D點在BC弧之間，過點C作CEAD，垂足為點

E，小紅在電腦上用幾何畫板的度量功能度量了線段ED、DB、AE的長度如下表所示，小紅發現了一個數

量關系，這個關系是______（用ED、DB、AE的式子表示）

第13頁共63頁.

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

（2）探索結論：

怎么完成（1）中關系的證明呢？小紅根據學習經驗想到了“截長補短”中的“截長”思想，如圖乙，在線段AE

上截取點F，使得FEDE，連接CF、CD．小紅試圖構造關于AF、DB所在的三角形，通過全等完成證

明，請接著小紅的想法完成證明．

（3）結論應用：

如圖丙，等邊三角形ABC內接于O，點D在O上，連接BD、CD，過點C作CEAD，垂足為點E，

若BD31，CBD45，求O的半徑．

第14頁共63頁.

【答案】（1）AE=DE+BD；

（2）證明見解析；

（3）2．

【分析】（1）由AE、DE、BD的取值可得結論AE=DE+BD；

（2）如圖1，在線段AE上取一點F，使得EF=DE，連接CD、BC、CF、AC，先證明AFCCBACAE，

BCDBADCABCAE，從而得出BCDAFC，進而證明△BCD≌△AFC得AFBD，即可

證明結論成立；

（3）如圖2，作直徑AF，連接CF，由等邊三角形ABC內接于O，得ABCADCF60，ACBC，

進而得CEDEtanADCDEtan603DE，AE=CE，從而求得DE=1，AE=3，最后求得AF22，

即可求得O的半徑．

【詳解】（1）解：由表格可得：當AE=3.60，DE=1.37，BD=2.23時，有3.60=1.37+2.23，即AE=DE+BD；

當AE=3.58，DE=1.51，BD=2.07時，有3.58=1.51+2.07，即AE=DE+BD；

當AE=3.56，DE=1.63，BD=1.93時，有3.56=1.63+1.93，即AE=DE+BD；

當AE=3.51，DE=1.91，BD=1.60時，有3.56=1.91+1.60，即AE=DE+BD；

因此，線段ED、DB、AE的關系為AE=DE+BD，

故答案為AE=DE+BD；

（2）證明：如圖1，在線段AE上取一點F，使得EF=DE，連接CD、BC、CF、AC，

CEAD，EF=DE，

CF=CD，

CFECDE，

ACFCFECAECDECAECBACAE，

O中，點C是劣弧AB的中點，

第15頁共63頁.

ACBC，

ACBC，

CABCBA，

CAFCABCAE，

BCDBADCABCAE，

BCDCAF，

BCD≌ACF，

AFBD，

AE=AF+EF=DE+BD；

（3）解：如圖2，作直徑AF，連接CF，

等邊三角形ABC內接于O，

ABCADCF60，ACBC，

CEAD，

CEDEtanADCDEtan603DE，

CEAD，CAECBD45，

第16頁共63頁.

ACE90CAE45CAE，

AE=CE，

CEAD，ACBC，BD31，

AECEDEBDDE313DE，

DE=1，AE=3，

AE3

AC6，

cosCAEcos45

AF是O的直徑，

ACF90，

AC6

AF22，

sinFsin60

1

O的半徑為AF2．

2

【點睛】本題主要考查了圓與等邊三角形的性質，圓周角定理，全等三角形的判定及性質以及等腰三角形

的性質，做輔助線構造全等三角形及直角三角形是解題的關鍵．

【變式4】（2022·全國·九年級專題練習）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添

加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一

短邊相等，從而解決問題．

(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的

數量關系．

解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證

得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關

系．根據上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數量關系是______；

【拓展延伸】

(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、

DB、DC之間的數量關系，并說明理由；

第17頁共63頁.

【知識應用】

(3)如圖3，兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為______cm．

【答案】(1)DA=DB+DC

(2)2DA=DB+DC；理由見解析

(3)PQ26cm

【分析】（1）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°，

知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ABD=∠ACE，證得△ABD?△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證明△ADE

是等邊三角形，等量代換可得結論；

（2）同理可證△ABD△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得DA2AE2DE2，等量代換即

得結論；?

（3）由直角三角形的性質可得QN的長，由勾股定理可得MQ的長，由（2）知2PQQNQM，由此可

求得PQ長．

（1）

（1）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠BAC+∠BDC=180°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD△ACE(SAS)，

∴AD=AE?，∠BAD=∠CAE，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

第18頁共63頁.

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，

（2）

2DA=DB+DC，

理由如下：延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=180°

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2AE2DE2，

2

∴2DA2DBDC，

∴2DADBDC，

（3）

如圖所示：連接PQ，

第19頁共63頁.

∵MN4cm，∠QMN=30°，

1

∴QNMN2cm，

2

根據勾股定理得QMMN2QN2422223cm，

由（2）知2PQQNQM，

QNQM223

∴PQ26cm，

22

【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形和等邊三角形的性質，

熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．

【培優練習】

1．（2022秋·山東煙臺·七年級統考期末）閱讀材料：

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數量關系．截長，即在長線段上截

取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，

使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段．

依據上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為邊作等邊DEF，連

接CF．

(1)如圖，若點D在邊BC上，試說明CECFCD；（提示：在線段CD上截取CGCE，連接EG．）

(2)如圖，若點D在邊BC的延長線上，請探究線段CE，CF與CD之間的數量關系并說明理由．

第20頁共63頁.

【答案】(1)證明見解析

(2)FC＝CD+CE

【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易證△CEG是等邊三角形，得出EG＝EC＝CG，證明△DEG≌△FEC

（SAS），得出DG＝CF，即可得出結論；

（2）過D作DGAB，交AC的延長線于點G，由平行線的性質易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD

為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．

（1）

證明：在CD上截取CG＝CE，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ECG＝60°，

∴△CEG是等邊三角形，

∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，

∴∠DEG＝∠FEC，

在△DEG和△FEC中，

第21頁共63頁.

DEFE

DEGFEC，

EGEC

∴△DEG≌△FEC（SAS），

∴DG＝CF，

∴CD＝CG+DG＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

（2）

解：線段CE，CF與CD之間的等量關系是FC＝CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

過D作DGAB，交AC的延長線于點G，如圖2所示：

∵GDAB，

∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，

∴∠GDC＝∠DGC＝60°，

∴△GCD為等邊三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，

∵△EDF為等邊三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

EDDF

EDGFDC，

DGCD

∴△EGD≌△FCD（SAS），

第22頁共63頁.

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

【點睛】此題考查了平行線的性質，三角形全等及其性質，三角形全等的判定，等邊三角形的性質等知識，

作輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．

2．（2022秋·全國·九年級專題練習）問題：如圖1，O中，AB是直徑，ACBC，點D是劣弧BC上任

ADBD

一點（不與點B、C重合），求證：為定值．

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補短法，先證明ACE≌BCD．按思路完成下列證明過程．

證明：在AD上截取點E，使AEBD，連接CE．

運用：如圖2，在平面直角坐標系中，O1與x軸相切于點A3,0，與y軸相交于B、C兩點，且BC8，

連接AB、O1B．

(1)OB的長為___________．

(2)如圖3，過A、B兩點作O2與y軸的負半軸交于點M，與O1B的延長線交于點N，連接AM、MN，當O2

的大小變化時，問BMBN的值是否變化，為什么?如果不變，請求出BMBN的值．

【答案】(1)1

(2)不變，理由見解析

【分析】問題：在AD上截取AE=BD，再根據同弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后證明

△ACE≌△BCD，然后根據角的等量代換得出∠ECD=90°，進而得出△ECD為等腰直角三角形，用ED表

示CD，因為ED=AD-BD最后即可得出結論；

（1）連接O1A，過O1作O1H⊥BC于點H，根據垂徑定理和勾股定理求出O1B的長度，根據切線的性質得

第23頁共63頁.

出O1A⊥x軸，得到OH=5，進而即可得出結果；

（2）在圖2中先根據平行和O1A=O1B得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB上取一點G，使MG=BN構造全等，

證明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根據等腰三角形三線合一得出BG=2，再根據等量代換即可得到

結論．

【問題詳解】證明：如圖1，在AD上截AE=BD，

在△ACE和△BCD中，

ACBC

CAECBD，

AEBD

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ECD=90°，

∴△ECD是等腰直角三角形，

2

∴CD=ED，

2

∵ED=AD-AE=AD-BD，

ADBDADBD

∴=2，即為定值；

CDCD

【詳解】（1）解：如圖2，連接O1A，過O1作O1H⊥BC于點H，

∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x軸，

∴22，

O1B=O1HHB=5

∴O1A=O1B=5，

第24頁共63頁.

∴HO=5，

∴OB=HO-HB=5-4=1，

故答案為：1；

（2）解：BM-BN的值不變，

如圖2，

由（1）得，O1A⊥OA，

∵OB⊥AO，

∴O1A∥OB，

∴∠O1BA=∠OBA，

∵O1A=O1B，

∴∠O1BA=∠O1AB，

∴∠ABO1=∠ABO，

如圖3，在MB上取一點G，使MG=BN，連接AN，AG，

∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN，

∴∠ABO=∠AMN，

∵∠ABO=∠ANM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

在AMG和ANB中，

△△

第25頁共63頁.

AMAN

AMGANB，

MGBN

∴△AMG≌△ANB（SAS），

∴AG=AB，

∵AO⊥BG，

∴BG=2BO=2，

∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN的值不變．

【點睛】本題考查圓的綜合題，同弧所對的圓周角相等，兩條半徑所形成的三角形是等腰三角形，等腰三

角形三線合一，垂徑定理是解本題的必備知識，利用“截長補短”法證明全等是解本題的關鍵．

3．（2022秋·北京·八年級統考期末）如圖，在等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，∠BAP＝（30°＜

＜60°），作點B關于直線AP的對稱點D，連接DC并延長交直線AP于點E，連接BE．

（1）依題意補全圖形，并直接寫出∠AEB的度數；

（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數量關系，并證明．

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質……

②通過截長補短，利用60°角構造等邊三角形，進而構造出全等三角形，從而達到轉移邊的目的．

請根據上述分析過程，完成解答過程．

【答案】（1）圖見解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，證明見解析

【分析】（1）依題意補全圖形，如圖所示：然后連接AD，先求出CAP60，然后根據軸對稱的性

質得到∠PAD=∠BAP=，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出∠CAD=260，即可求出

1

∠ACD=∠ADC=180∠CAD=120，再由∠EAC∠AEC=∠ACD=120進行求解即可；

2

（2）如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．先證明△BGE是等邊三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE

＝60°．再證明∠ABG＝∠CBE，即可證明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，則AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

第26頁共63頁.

【詳解】解：（1）依題意補全圖形，如圖所示：連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵BAP，

∴CAP60，

∵B、D關于AP對稱，

∴∠PAD=∠BAP=，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，

∴∠CAD=∠PAD∠CAP=60=260，

1

∴∠ACD=∠ADC=180∠CAD=120，

2

∴∠EAC∠AEC=∠ACD=120，

∴AEC60

∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．

證明：如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．

∵∠AEB＝60°，

∴△BGE是等邊三角形，

∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，

∴∠ABG＝∠CBE．

在△ABG和△CBE中，

第27頁共63頁.

AB＝CB，

ABG＝CBE，

BG＝BE，

∴△ABG≌△CBE（SAS），

∴AG＝CE，

∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，軸對稱的性質，等腰三角形的性

質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質等等，熟知相關知識是解題的關鍵

4．（2021秋·湖南永州·九年級校考階段練習）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線

的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與

另一短邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，BDC120，探索線段DA、DB、DC之

間的數量關系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據BACBDC180，可證ABDACE，易

證得ABD≌ACE，得出ADE是等邊三角形，所以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數

量關系．

根據上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之間的數量關系是______，并寫出證明過程；

【拓展延伸】

第28頁共63頁.

（2）如圖2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若點D是邊BC下方一點，BDC90，探索線段

DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；

【知識應用】

（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距

離PQ的平方為多少？

2

【答案】（1）DA=DC+BD，見解析；（2）2AD2DCBD；見解析；（3）23

【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由

∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．

（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據此可得

∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，繼而可得2AD2=（DC+BD）2；

1

（3）由直角三角形的性質知QN=MN=1，MQ=22，利用（2）中的結論知

2MNQN3

2

2PQ2QNMQ，據此可得答案．

【詳解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

第29頁共63頁.

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案為：DA=DC+BD；

2

（2）2AD2DCBD，如圖2，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，

∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2+AE2=DE2，

2

∴2AD2DCBD；

（3）如圖3，連接PQ，

∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，

第30頁共63頁.

1

∴QN=MN=1，

2

∴MQMN2QN222123，

2

由（2）知2PQ2QNMQ．

2

2

QNMQ13

∴PQ2=23．

22

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理、等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的

性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．

5．（2022秋·河北石家莊·八年級校考期末）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的

添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另

一長邊相等，從而解決問題．

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，連結DA、DB、DC，且BDC120，探

索線段DA、DB、DC之間的數量關系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據BACBDC180，則ABDACD180，

因為ACDACE180可證ABDACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所

以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關系．根據上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC

之間的數量關系是；

【拓展延伸】

（2）如圖②，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC．若點D是邊BC下方一點，BDC=90，探索線

段DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；

【知識應用】

（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30所對直角邊等于斜邊一半，

則PQ的長為_____________cm．（結果無需化簡）

第31頁共63頁.

13

【答案】（1）DADBDC；（2）猜想：2ADDCDB證明見解析；（3）．

2

【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由

∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證ADE是等邊

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．△△

（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據此可得

∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，△繼而可得2DA2=（DB+DC）2；

1

（3）由直角三角形的性質知QN=MN=1，MQ=22，利用（2）中的結論知

2MNQN3

2PQ=QN+QM=1+3，據此可得答案．

【詳解】解：（1）DA=DC+DB，理由：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案為：DA=DC+DB；

（2）2DA=DB+DC如圖2，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

第32頁共63頁.

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，

∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2+AE2=DE2，

∴2DA2=（DB+DC）2，

∴2DA=DB+DC；

（3）如圖3，連接PQ，

∵MN=2，∠QMN=30°，

1

∴QN=MN=1，

2

第33頁共63頁.

∴MQ=MN2QN222123，

由（2）知2PQ=QN+QM=1+3，

13

∴PQ=，

2

故答案為：13．

2

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形

的判定定理和性質定理是解題的關鍵．

6．（2021秋·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第70中校考期末）閱讀下面文字并填空：

數學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在ABC中，AD平分BAC，B2C．求證：

ABBDAC．

李老師給出了如下簡要分析：“要證ABBDAC就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截

長法’如圖2，在AC上截取AEAB，連接DE，只要證BD__________即可，這就將證明線段和差問題

__________為證明線段相等問題，只要證出__________≌△__________，得出BAED及

BD_________，再證出_____________________，進而得出EDEC，則結論成立．此種證法的基

礎是‘已知AD平分BAC，將△ABD沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處’成為可能．

方法二：“補短法”如圖3，延長AB至點F，使BFBD．只要證AFAC即可．此時先證__________C，

再證出_________≌△_________，則結論成立．”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．

第34頁共63頁.

【答案】方法一：CE；轉化；ABD；AED；DE；EDC；C；方法二：F；AFD；ACD

【分析】方法一：在AC上截取AEAB，由SAS可證ABDAED可得BAED，BD=DE，根據等角

對等邊得到CE=DE，即可求證；

方法二：延長AB至點F，使BFBD，由AAS可證AFDACD，可得AC=AF，即可證明．

【詳解】方法一：在AC上截取AEAB，連接DE，如圖2

∵AD平分BAC，

∴BADDAC，

在ABD和AED中

AEAB

BADDAC，

ADAD

∴ABDAED，

∴BAED，BD=DE，

∵B2C，

∴AED2C

而AEDCEDC2C，

∴EDCC，

∴DE=CE，

∴AB+BD=AE+CE=AC，

故答案為：CE；轉化；ABD；AED；DE；EDC；C；

方法二：如圖3，延長AB至點F，使BFBD，

∴FBDF

∴ABDFBDF2F

∴ABD2C

∴FC

在AFD和ACD中

FADCAD

FC，

ADAD

∴AFDACD，

第35頁共63頁.

∴AC=AF，

∴AC=AB+BF=AB+BD，

故答案為：F；AFD；ACD．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數學中的轉化思想，

此類題的關鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式．

7．（2022秋·浙江·八年級專題練習）閱讀材料并完成習題：

在數學中，我們會用“截長補短”的方法來構造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD

中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據全等三角形的性質得

AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形

ABCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰直角三角形EAC面積．

△△△△△

（1）根據上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

（2）請你用上面學到的方法完成下面的習題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．

【答案】（1）2；（2）4

【分析】（1）根據題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；

（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證FGH≌FNK，