2025屆銅川市重點中學高三第二次調研數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，，若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．2．設遞增的等比數列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．3．若函數有且僅有一個零點，則實數的值為（）A． B． C． D．4．已知函數f(x)＝,若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是()A． B．C． D．5．函數的圖像大致為（）.A． B．C． D．6．已知，函數在區間上恰有個極值點，則正實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數的值為（）A． B． C． D．8．設，是方程的兩個不等實數根，記（）.下列兩個命題（）①數列的任意一項都是正整數；②數列存在某一項是5的倍數.A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯誤9．設是等差數列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．210．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數（即質數）的和”，如，．在不超過20的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不對11．設集合，，則（）A． B．C． D．12．很多關于整數規律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數學家和數學愛好者，有些猜想已經被數學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內容是：對于每一個正整數，如果它是奇數，則將它乘以再加1；如果它是偶數，則將它除以；如此循環，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知均為非負實數，且，則的取值范圍為______．14．三所學校舉行高三聯考，三所學校參加聯考的人數分別為160，240，400，為調查聯考數學學科的成績，現采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取樣本，若在學校抽取的數學成績的份數為30，則抽取的樣本容量為____________.15．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．16．正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.19．（12分）已知函數，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實數，，滿足，求證：．20．（12分）在中，內角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．21．（12分）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點．（1）證明：平面；（2）設是線段上的動點，當點到平面距離最大時，求三棱錐的體積．22．（10分）正項數列的前n項和Sn滿足：(1)求數列的通項公式；(2)令，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意可將方程轉化為，令，，進而將方程轉化為，即或，再利用的單調性與最值即可得到結論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根，即，①.因為，①式兩邊同除以，得.所以方程有三個不等的正實根.記，，則上述方程轉化為.即，所以或.因為，當時，，所以在，上單調遞增，且時，.當時，，在上單調遞減，且時，.所以當時，取最大值，當，有一根.所以恰有兩個不相等的實根，所以.故選：B.【點睛】本題考查了函數與方程的關系，考查函數的單調性與最值，轉化的數學思想，屬于中檔題.2、A【解析】

根據兩個已知條件求出數列的公比和首項，即得的值.【詳解】設等比數列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數列的通項和求和公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、D【解析】

推導出函數的圖象關于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數的值，并對的值進行檢驗，即可得出結果.【詳解】，則，，，所以，函數的圖象關于直線對稱.若函數的零點不為，則該函數的零點必成對出現，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數與函數的圖象如下圖所示：此時，函數與函數的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數，考查函數圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出，在求出參數后要對參數的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、D【解析】

由已知可將問題轉化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點，作出圖象，由圖可得：點(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時，k＝；結合圖象即可得解.【詳解】若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點．作出函數y＝f(x)的圖象，如圖，故點(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當直線y＝kx－和y＝lnx相切時，設切點橫坐標為m，則k＝＝，∴m＝.此時，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個交點，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..【點睛】本題主要考查了函數與方程思想及轉化能力，還考查了導數的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題．5、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數,則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.6、B【解析】

先利用向量數量積和三角恒等變換求出，函數在區間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數在區間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數量積運算和三角恒等變換與三角函數性質的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成或的形式;(2)根據自變量的范圍確定的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數范圍.7、D【解析】

由已知可得，結合向量數量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.8、A【解析】

利用韋達定理可得,,結合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數列中的各項,以此判斷②的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實數根,所以,,因為,所以,即當時,數列中的任一項都等于其前兩項之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數列的任意一項都是正整數,故①正確;若數列存在某一項是5的倍數,則此項個位數字應當為0或5,由,,依次計算可知,數列中各項的個位數字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數列中不存在個位數字為0或5的項,故②錯誤;故選:A.【點睛】本題主要考查數列遞推公式的推導,考查數列性質的應用,考查學生的綜合分析以及計算能力.9、C【解析】

利用等差數列的性質化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，屬于基礎題.10、A【解析】

首先確定不超過的素數的個數，根據古典概型概率求解方法計算可得結果.【詳解】不超過的素數有，，，，，，，，共個，從這個素數中任選個，有種可能；其中選取的兩個數，其和等于的有，，共種情況，故隨機選出兩個不同的數，其和等于的概率．故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.11、A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.12、B【解析】

根據程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結果.【詳解】輸入，不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數不成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；成立，跳出循環，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設,可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結合的取值范圍求關于的二次函數的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則,因為,當且僅當時等號成立,所以,,即,令則函數的對稱軸為,所以當時函數有最大值為,即．當且，即，或，時取等號；因為,當且僅當時等號成立,所以,令,則函數的對稱軸為,所以當時,函數有最小值為,即，當,且時取等號，所以.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數求最值相結合求代數式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于綜合型、難度大型試題.14、【解析】

某層抽取的人數等于該層的總人數乘以抽樣比.【詳解】設抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學生基本的運算能力，是一道容易題.15、【解析】

由向量平行坐標表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．16、【解析】

根據向量關系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點睛】此題考查求平面向量數量積的取值范圍，涉及基本運算，關鍵在于恰當地對向量進行轉換，便于計算解題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數方程，將參數方程代入曲線方程，并將其化為一個關于的一元二次方程，根據，結合韋達定理和余弦函數的性質，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數方程（是參數），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數方程為（t為參數），將直線MN的參數方程代入曲線，得，整理得，設M，N對應的對數分別為，，則，當時，取得最小值為．【點睛】該題考查的是有關參數方程的問題，涉及到的知識點有參數方程向普通方程的轉化，直線的參數方程的應用，屬于簡單題目.18、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由消去參數，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）設為曲線上一點，點到曲線的圓心的距離，結合可得最值，的最大值為，從而得解.試題解析：（1）的普通方程為.∵曲線的極坐標方程為，∴曲線的普通方程為，即.（2）設為曲線上一點，則點到曲線的圓心的距離.∵，∴當時，d有最大值.又∵P，Q分別為曲線，曲線上動點，∴的最大值為.19、（1）；（2）證明見詳解.【解析】

（1）將不等式的解集用表示出來，結合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】解：（1），，，因為的解集為，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，當且僅當，，，等號成立．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結合二倍角公式及和