第一講二次函數的圖像與性質

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一y=ax2（a≠0）圖像與性質..............................................................................................................3

考點二y=a(x-h)2+k（a≠0）的圖像與性質................................................................................................4

考點三y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與性質.................................................................................................7

知識導航

必備知識點

1.yax2(a0)的圖像

函數yx2yx2yx2與y5x2

大致

圖像

開口

向上向下向上

方向

對稱軸x0（y軸）x0（y軸）x0（y軸）

當x＜0時，y隨x的增大而減小當x＜0時，y隨x的增大而增大當x＜0時，y隨x的增大而減小

增減性

當x＞0時，y隨x的增大而增大當x＞0時，y隨x的增大而減小當x＞0時，y隨x的增大而增大

頂點（0，0）（0，0）（0，0）

最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0

【總結】：①a＞0，開口方向向上，有最小值；a＜0，開口方向向下，有最大值

②|a|越大，開口越小，函數值變化越快

第1頁共8頁.

2.ya(xh)2(a0)的圖像

函數y2x2與y2(x2)2y2x2與y2(x2)2y-2x2與y-2(x2)2

大致

圖像

開口

向上向上向下

方向

對稱軸x2x-2x-2

當x＜2時，y隨x的增大而減小當x＜-2時，y隨x的增大而減小當x＜-2時，y隨x的增大而減大

增減性

當x＞2時，y隨x的增大而增大當x＞-2時，y隨x的增大而增大當x＞-2時，y隨x的增大而增小

頂點（2，0）（-2，0）（-2，0）

最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0

【總結】：①函數的對稱軸為x=h

②仍滿足函數的平移規則：左加右減

3.ya(xh)2k(a0)的圖像

函數yx2與y（x-1）22yx2與y（x1）2-4y-x2與y（-x1）24

大致

圖像

開口

向上向上向上

方向

對稱軸x1x-1x-1

頂點（1，2）（-1，-4）（-1，4）

最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4

【總結】：①函數的對稱軸為x=h，最大值為k，頂點為（h，k）

②仍滿足函數的平移規則：左加右減，上加下減

第2頁共8頁.

4.yax2bxc(a0)的圖像

函數yx2-2x3yx22x-3y-x2-2x3

大致

圖像

開口

向上向上向下

方向

對稱軸x1x-1x-1

與y軸

（0，3）（0，-3）（0，3）

交點

頂點（1，2）（-1，-4）（-1，4）

最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4

將yx2-2x3轉化為ya(xh)2k的形式為：y(x1)22，那么將yax2bxc(a0)轉化

b4acb2

為ya(xh)2k（a0）的形式為：ya(x)2（a0）即

2a4a

2

b4acb2

yax（--）（a0）

2a4a

【總結】：①a決定拋物線開口方向及大小

②c決定拋物線與y軸交點

b

③拋物線的對稱軸：x-

2a

b4acb2

④拋物線的頂點(-，)

2a4a

考點一y=ax2（a≠0）圖像與性質

1．關于函數y＝3x2的性質表述，正確的一項是（）

A．無論x為何實數，y的值總為正

B．當x值增大時，y的值也增大

C．它的圖象關于y軸對稱

D．它的圖象在第一、三象限內

第3頁共8頁.

2．拋物線y＝﹣2x2不具有的性質是（）

A．對稱軸是y軸

B．開口向下

C．當x＜0時，y隨x的增大而增大

D．頂點是拋物線的最低點

3．拋物線y＝x2，y＝﹣2x2，y＝x2共有的性質是（）

A．開口向下

B．頂點是坐標原點

C．都有最低點

D．當x＞0時，y隨x的增大而增大

11

4．如圖為yx2圖像，那么y-x2可能是如下（）圖

25

A．B．C．D．

考點二y=a(x-h)2+k（a≠0）的圖像與性質

1．拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點坐標是（）

A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）

2．若二次函數y＝2（x﹣1）2﹣1的圖象如圖所示，則坐標原點可能是（）

A．點AB．點BC．點CD．點D

3．關于二次函數y＝3（x+1）2﹣7的圖象及性質，下列說法正確的是（）

第4頁共8頁.

A．對稱軸是直線x＝1

B．當x＝﹣1時，y取得最小值，且最小值為﹣7

C．頂點坐標為（﹣1，7）

D．當x＜﹣1時，y的值隨x值的增大而增大

4．頂點為（﹣2，1），且開口方向、形狀與函數y＝﹣2x2的圖象相同的拋物線是（）

A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1B．y＝2（x+2）2+1

C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x+2）2+1

5．對于任何實數h，拋物線y＝﹣x2與拋物線y＝﹣（x﹣h）2的相同點是（）

A．頂點相同B．對稱軸相同

C．形狀與開口方向相同D．都有最低點

6．拋物線y＝（x﹣a）2+a﹣1的頂點一定不在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7．一次函數y＝hx+k的圖象過一、三、四象限，則二次函數y＝a（x﹣h）2+k的頂點在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

8．拋物線y＝x2+1的圖象大致是（）

A．B．C．D．

9．在平面直角坐標系中，二次函數y＝a（x﹣h）2（a≠0）的圖象可能是（）

A．B．C．D．

10．已知函數y＝a（x﹣h）2+k，其中a＜0，h＞0，k＜0，則下列圖象正確的是（）

A．B．C．D．

11．已知二次函數y＝a（x﹣h）2+k的圖象如圖所示，直線y＝ax+hk的圖象經過第幾象限（）

第5頁共8頁.

A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四

12．已知二次函數y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k為常數）在坐標平面上的圖象通過（0，5）、（15，8）兩點．若a

＜0，0＜h＜10，則h之值可能為下列何值？（）

A．5B．6C．7D．8

13．在平面直角坐標系中，直線y＝ax+h與拋物線y＝a（x﹣h）2的圖象不可能是（）

A．B．C．D．

14．在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣kx+1與二次函數y＝x2+k的大致圖象可以是（）

A．B．C．D．

15．在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝mx+n與二次函數y＝nx2+m的大致圖象可以是（）

A．B．C．D．

16．二次函數y＝a（x+m）2+n的圖象如圖，則一次函數y＝mx+n的圖象經過（）象限．

A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四

17．已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a、h、k為常數，a≠0）經過圖中A（2，2）和B（9，9）兩點，則下列判斷

第6頁共8頁.

正確的是（）

A．若h＝3，則a＜0B．若h＝6，則a＞0

C．若h＝4，則k＜2D．若h＝5，則k＞9

18．設函數y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是實數，a≠0），當x＝1時，y＝1；當x＝8時，y＝8，（）

A．若h＝4，則a＜0B．若h＝5，則a＞0

C．若h＝6，則a＜0D．若h＝7，則a＞0

考點三y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與性質

1．用配方法將二次函數y＝x2﹣2x﹣4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）

A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3

C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6

2．二次函數y＝﹣x2+4x+7的頂點坐標和對稱軸分別是（）

A．（2，11），x＝2B．（2，3），x＝2

C．（﹣2，11），x＝﹣2D．（﹣2，3），x＝2

3．已知拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，則關于x的方程x2+mx＝5的根是（）

A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5

4．已知二次函數y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數），當﹣2≤x≤3時，函數y的最小值為﹣2，則m的值為

（）

A．±B．﹣或C．﹣或D．或2

5．已知二次函數y＝﹣x2+2x+1，當a≤x≤0時，y取得最小值為﹣2，則a的值為（）

A．﹣1