3.6圓內接四邊形年級：九年級學科：初中數(shù)學（浙教版）問題1：在⊙O上，任取三點A、B、C順次連結，得到的是什么圖形？這個圖形與⊙O有什么關系？過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內接三角形。回顧舊識，探索新知問題2：任意的三角形都可以畫出其外接圓，那么過任意四邊形的4個頂點都能畫出一個圓嗎？過四邊形的4個頂點不一定能畫一個圓。類比探索，概念聚焦問題3：如圖，四邊形ABCD2的四個頂點都在⊙O上，請類比三角形，描述四邊形ABCD2與⊙O的關系。

三角形的3個頂點確定一個圓四邊形的4個頂點都在同一個圓上這個圓叫做三角形的外接圓這個三角形叫做圓的內接三角形這個圓叫做四邊形的外接圓這個四邊形叫做圓的內接四邊形類比探索，概念聚焦

如果一個四邊形的各個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。例如上圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓。思考：一個圓內可以作出幾個圓的內接四邊形？無數(shù)個自主探究，提出猜想BD為直徑∠A=∠C=90o∠A+∠C=180o∠ADC+∠ABC=180o探究1：已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，當BD是直徑時，∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數(shù)量關系？探究2：已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若BD不為⊙O的直徑，探究1的結論是否仍然成立？猜想仍然成立∠A+∠C=180o∠ADC+∠ABC=180o推理證明，驗證猜想已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，求證：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

BAD

與

BCD的度數(shù)之和為360°

同理可證∠B＋∠D＝180°回顧猜想，歸納新知幾何語言：∴∠A+∠C=180o

∠B+∠D=180o∵四邊形ABCD內接于⊙O練習1：已知圓內接四邊形有一個內角是50°，求它的對角度數(shù)。練習2：若⊙O的內接四邊形ABCD滿足∠A=∠C，∠B=∠D，則四邊形ABCD是怎樣的特殊平行四邊形？130o∠A=∠B=∠C=∠D=90o矩形圓內接四邊形的性質定理：圓內接四邊形的對角互補。例題演練，掌握新知例1

如圖，AD是?ABC的外角∠EAC的平分線，與?ABC的外接圓交于點D。求證：DB=DCDB=DC∠DCB=∠DAE∠EAD+∠BAD=180o∠DCB+∠BAD=180o∠DAC=∠DAE角平分線∠DAC=∠DBC同弧所對圓周角∠DBC=∠DCB等角對等邊例題演練，掌握新知發(fā)現(xiàn)：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.證明：∵AD是∠EAC的平分線，∴∠DAC=∠DAE.∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠BAD+∠DCB=180°(圓內接四邊形的對角互補).∴∠DCB=∠DAE.而∠DAC=∠DBC(在同圓中,同弧所對的圓周角相等)∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC.例1

如圖，AD是?ABC的外角∠EAC的平分線，與?ABC的外接圓交于點D。求證：DB=DC鞏固練習，性質應用

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，并且AD是⊙O的直徑，點C是弧BD的中點，AB和DC的延長線交⊙O外一點E。求證：BC＝EC.∠E=∠EBC∠ABC+∠D=180o圓內接四邊形性質∠ABC+∠EBC=180o∠D=∠EBC∠EAC=∠DAC弧中點∠E=∠D等角的余角相等BC=

EC鞏固練習，性質應用如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，并且AD是⊙O的直徑，點C是弧BD的中點，AB和DC的延長線交⊙O外一點E。求證：BC＝EC.證明：連接AC.∵AD是⊙O

的直徑，∴∠ACD＝∠ACE＝90°.∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，又∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝∠D.∵C是弧BD的中點，∴∠EAC＝∠DAC，∴∠EAC＋∠E＝∠DAC＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.實際應用，延伸拓展例2

如果要把橫截面直徑為30cm的圓柱形原木鋸成一根橫截面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應怎樣鋸？如果這根原木長15m，問鋸出的木材的體積為多少立方米（樹皮等損耗略去不計）？思考：要使鋸出的橫截面正方形面積盡可能大，正方形和圓應該滿足什么關系？問題：如何畫出這個正方形？正方形內接于⊙O正方形四個直角對角線為直徑對角線互相垂直實際應用，延伸拓展例2

如果要把橫截面直徑為30cm的圓柱形原木鋸成一根橫截面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應怎樣鋸？如果這根原木長15m，問鋸出的木材的體積為多少立方米（樹皮等損耗略去不計）？當原木的直徑為30cm時，AO=BO=15cm，正方形ABCD的面積為4×AO×BO=4××15×15=450(cm2)=4.50×10-2(m2).所以木材的體積為4.50×10-2×15=0.675(m3).答：沿正方形ABCD的四條邊，就可以鋸出符合要求的截面為正方形的木材.如果這根原木長15m，那么鋸出木材的體積為0.675m3.

課堂小結，歸納梳理類比概念數(shù)學基本思想：圓的內接三角形圓的內接四邊形性質特殊應用圓木切割類比思想從特殊到一般數(shù)學建模思想一般合作學習，思維拓展判定方法：問題：不是所有的四邊形都有外接圓，那滿足什么條件的四邊形會有外接圓呢？應用：如圖，四邊形ABCD，AD⊥BD，AC⊥BC，且∠DAB=50o，則∠ACD=______。40o2、四邊形的兩個對角互補。1、四邊形中同一邊所對的兩個邊與對角線所成的角相等。（如∠1與∠2）合作學習，思維拓展判定方法：問題：不是所有的四邊形都有外接圓，那滿足什么條件的四邊形會有外接圓呢？變式：如圖，四邊形ABCD，AD⊥BD，AC⊥BC，且∠DAB=50o，則∠ACD=______。40o1、四邊形中同一邊所對的兩個邊與對角線所成的角相等。（如∠1與∠2