題型練5大題專項(三)統計與概率問題1.第五代移動通信技術(簡稱5G)是最新一代蜂窩移動通信技術,也是繼2G、3G和4G系統之后的延伸.5G的性能目標是高數據速率、減少延遲、節省能源、降低成本、提高系統容量和大規模設備連接.某大學為了解學生對5G相關知識的了解程度,隨機抽取男、女學生各50名進行問卷測評,所得分數的頻率分布直方圖如圖所示,并規定得分在80分以上為“比較了解”.(1)求a的值,并估計該大學學生對5G比較了解的概率.(2)已知對5G比較了解的樣本中男女比例為4∶1.完成下列2×2列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為對5G比較了解與性別有關.性別比較了解不太了解合計男性女性合計(3)用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人,再從6人中隨機選取2人,求至少有1人得分低于40分的概率.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8282.(2022新高考Ⅱ,19)在某地區進行某種疾病調查,隨機調查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數據頻率分布直方圖.(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡;(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)(2)估計該地區一人患這種疾病,其年齡位于區間[20,70)的概率;(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%,該地區年齡位于區間[40,50)的人口占該地區總人口數的16%,從該地區任選1人,若此人的年齡位于區間[40,50),估計此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).3.《中華人民共和國民法典》被稱為“社會生活的百科全書”.在法律體系中居于基礎性地位,也是市場經濟的基本法.某中學培養學生知法懂法,組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果,現從高一、高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績(單位:分),繪制成莖葉圖如圖所示.(1)通過莖葉圖分析哪個年級的學生學習效果更好.(不要求計算,分析并給出結論)(2)根據學生的競賽成績,將其分為四個等級:測試成績(單位:分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等級合格中等良好優秀①從樣本中任取2名同學的競賽成績,在成績為優秀的情況下,求這2名同學來自同一個年級的概率.②現從樣本中成績為良好的學生中隨機抽取3人座談,記X為抽到高二年級的人數,求X的分布列和數學期望.4.(2022四川石室中學模擬)某研究機構為了解大學生對冰壺運動是否有興趣,從某大學隨機抽取了600人進行調查,經統計男生與女生的人數之比為11∶13,對冰壺運動有興趣的人數占抽取的總人數的23,女生中有75人對冰壺運動沒有興趣(1)完成下面2×2列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為對冰壺運動是否有興趣與性別有關?性別是否有興趣合計有興趣沒有興趣男女75合計600(2)按性別用分層抽樣的方法從對冰壺運動有興趣的學生中抽取8人,若從這8人中隨機選出3人作為冰壺運動的宣傳員,設X表示選出的3人中女生的人數,求X的分布列和數學期望.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8285.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:支付金額/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率.(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數,求X的分布列和數學期望.(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發現他們本月的支付金額都大于2000元.根據抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由.6.某學校食堂為了解師生對某種新推出的菜品的滿意度,從品嘗過該菜品的學生和教師中分別隨機調查了20人,得到師生對該菜品的滿意度評分如下:教師:6063656769757777797982838687899293969696學生:4749525455576365666674747577808283849596根據師生對該菜品的滿意度評分,將滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設教師和學生對該菜品的評價結果相互獨立,根據所給數據,用事件發生的頻率估計相應事件發生的概率.(1)設數據中教師和學生評分的平均值分別為μ1和μ2,方差分別為η1和η2,試比較μ1和μ2,η1和η2的大小(結論不要求證明).(2)從全校教師中隨機抽取3人,設X為3人中對該菜品非常滿意的人數,求隨機變量X的分布列及數學期望.(3)求教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級的概率.7.某汽車公司擬對甲款高端汽車發動機進行科技改造,根據市場調研與模擬,得到科技改造投入x(單位:億元)與科技改造直接收益y(單位:億元)的數據統計如下:x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當0<x≤17時,建立了y與x的兩個回歸模型:模型①:y^=4.1x+11.8;模型②:y^=21.3x14.4;當x>17時,確定y與x滿足的線性回歸方程為y^=0.(1)根據下列表格中的數據,比較當0<x≤17時模型①、②的相關指數R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預測對甲款汽車發動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程y^=4.1x+11.y^=21.314.4∑182.479.2附:相關指數R2=1∑i=1n(yi(2)為鼓勵科技創新,當科技改造投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預測依據,比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小.附:用最小二乘法求線性回歸方程y^=b^x+a(3)科技改造后,甲款汽車發動機的熱效率X大幅提高,X服從正態分布N(0.52,0.012),公司對科技改造團隊的獎勵方案如下:若發動機的熱效率不超過50%,則不予獎勵;若發動機的熱效率超過50%但不超過53%,則每臺發動機獎勵2萬元;若發動機的熱效率超過53%,則每臺發動機獎勵5萬元.求每臺發動機獲得獎勵的數學期望.(附:隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545)

題型練5大題專項(三)統計與概率問題1.解(1)根據頻率和為1,得(0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1,解得a=0.016;計算得分在80分以上的頻率為(0.016+0.004)×10=0.20,所以估計該大學學生對5G比較了解的概率為0.20.(2)根據題意知,對5G比較了解的人數有100×0.2=20,其中男性為20×44+1性別比較了解不太了解合計男性163450女性44650合計2080100計算K2=100×(16×46-所以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為對5G比較了解與性別有關.(3)用分層抽樣法從得分在50分以下的樣本中抽取6人,其中在區間[30,40)內的有2人,記為A,B,在區間[40,50)內的有4人,分別記為c,d,e,f.從這6人中隨機選取2人,所有可能的結果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef共15個,則至少有1人得分低于40分的結果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf共9個,故所求的概率P=92.解(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)由題圖,得這100位這種疾病患者中年齡位于區間[20,70)的頻率為(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故估計該地區一人患這種疾病,其年齡位于區間[20,70)的概率為0.89.(3)設事件B為“任選1人年齡位于區間[40,50)”,事件C為“任選1人患這種疾病”,則P(C|B)=P(BC)P(B)=0故若此人的年齡位于區間[40,50),估計此人患這種疾病的概率為0.0014.3.解(1)由題中莖葉圖知,高二年級的學生成績的平均分高于高一年級學生成績的平均分,高二年級的學生成績比較集中,而高一年級的學生成績比較分散,所以高二年級的學生學習效果更好.(2)①記事件A為“從樣本中任取2名同學的競賽成績為優秀”,事件B為“這兩個同學來自同一個年級”,則P(A)=C112C402,P所以在成績為優秀的情況下,這2名同學來自同一個年級的概率為P(B|A)=P②由題意X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C43C103=130P(X=2)=C62C41C10所以X的分布列為X0123P1311數學期望為E(X)=0×130+1×310+24.解(1)根據題意,男生有275人,女生有325人,對冰壺運動有興趣的有400人,對冰壺運動沒有興趣的有200人,對冰壺運動沒有興趣的男生有125人,對冰壺運動有興趣的男生有150人,對冰壺運動有興趣的女生有250人,得到如下2×2列聯表.性別是否有興趣合計有興趣沒有興趣男150125275女25075325合計400200600所以K2=600×(150×75-125所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為對冰壺運動是否有興趣與性別有關.(2)由(1)知對冰壺運動有興趣的有400人,其中男生有150人,女生有250人,則用分層抽樣的方法從中抽取8人,抽到的男生人數為8×150400女生人數為8×250400=所以X的所有可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)=C33C83=156P(X=2)=C31C52C8所以X的分布列為X0123P115155所以E(X)=0×156+1×1556+25.解(1)由題意知,樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人,僅使用B的學生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有10030255=40人.所以從全校學生中隨機抽取1人,該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為40100=0.4(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”.由題設知,事件C,D相互獨立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)·P(D)=0.4×(10.6)+(10.4)×0.6=0P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數學期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設樣本僅使用A的學生中,本月支付金額大于2000元的人數沒有變化,則由上個月的樣本數據得P(E)=1答案示例1:可以認為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生,就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發生,但還是有可能發生的,所以無法確定有沒有變化.6.解(1)μ1=120×(60+63+65+67+69+75+77+77+79+79+82+83+86+87+89+92+93+96+96+96)=80μ2=120×(47+49+52+54+55+57+63+65+66+66+74+74+75+77+80+82+83+84+95+96)=69η1=120×[(6080.55)2+(6380.55)2+…+(9680.55)2+(9680.55)2]η2=120×[(4769.7)2+(4969.7)2+…+(9569.7)2+(9669.7)2]≈所以μ1>μ2,η1<η2.(2)教師對菜品非常滿意的概率P=520=14,則隨機變量XX可取0,1,2,3,且P(X=k)=C3kpk(1p)3所以P(X=0)=C301401-1P(X=2)=C321421-1所以分布列為X0123P272791所以數學期望E(X)=0×2764+1×2764+2(3)記事件C:教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級,用A1,A2,A3分別表示教師對該菜品“不滿意”“滿意”“非常滿意”,用B1,B2,B3分別表示學生對該菜品“不滿意”“滿意”“非常滿意”,且A1,A2,A3,B1,B2,B3相互獨立,則P(A1)=520,P(A2)=1020,P(A3)=520,P(B1)=1020,P(B2)=820,P(B所以P(C)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=10即教師的滿意度等級