過程控制技術過程控制系統的過渡過程分析3過程控制系統的分析 過程控制系統分析與設計的方法很多，本章只介紹微分方程分析方法。 微分方程分析法的步驟是：

(1)首先建立過程控制系統的微分方程式（或傳遞函數）;(2)然后在階躍輸入的作用下，對過程控制系統求解，從而得到系統過渡過程的表達式并繪制出過渡過程曲線;(3)最后通過對曲線進行質量指標計算，得出關于過程控制系統質量的結論。3過程控制系統的分析3.1過程控制系統的過渡過程分析一階過程控制系統的過渡過程微分方程式：傳遞函數：當輸入x（t）為單位階躍信號時，在零初始條件下（以后分析如沒有特別指明，均理解為初始條件為零），輸出y（ｔ）稱為單位階躍響應（如圖3-1所示）：3過程控制系統的分析圖3-1（b）是一條指數上升曲線，其變化平穩而不作周期波動，故一階系統的過渡過程為“非周期”過渡過程。一階系統有兩個特征參數。3過程控制系統的分析（1）放大系數Ｋ它表示輸出變量y（t）的穩態值y（∞）與輸入變量x（t）的穩態值x（∞）之比。可見Ｋ是系統的靜態參數。在單位階躍輸入時x（∞）＝１，Ｋ的求取：3過程控制系統的分析（2）時間常數Ｔ在階躍輸入信號作用下，系統的輸出變量y（ｔ）開始上升，當y（t）到達最終穩態值的６３.２％所需要的時間，即為系統的時間常數。3過程控制系統的分析可見Ｔ是系統的動態參數，Ｔ越小，y（ｔ）達到穩態值的時間即過渡過程越短。為了提高系統的響應速度必須減小時間常數Ｔ的值，如圖3-2所示。3過程控制系統的分析二階過程控制系統的過渡過程以圖２-１（ａ）所示的蒸汽直接加熱器出口溫度控制系統為例，其原理圖和方塊圖繪成如圖３-3所示。3過程控制系統的分析在圖３-3（ａ）中，蒸汽通過噴嘴與冷流體直接接觸，將冷流體加熱流出。工藝要求加熱器流體出口溫度保持在80℃，并已知：加熱器的容積Ｖ＝500Ｌ，冷流體流量Ｆin0＝100kg/min,入口溫度Ｔin＝（20±10）℃，密度ρ＝１kg/Ｌ，比熱容c＝4.184kＪ/ｋg·℃，蒸汽在98.1kＰa壓力下，冷凝釋放的汽化潛熱λ＝22594kＪ/kg。安裝在加熱器出口處的測溫元件為熱電阻，經溫度變送器將溫度信號送至控制器，控制器根據被測的溫度信號與設定值（x＝80℃）信號相比較所得偏差信號，按一定的控制規律輸出去驅動控制閥，使加熱器蒸汽流量Ｗ作相應變化，以保證溫度控制的需要。3過程控制系統的分析１.過程控制系統的微分方程式（1）被控對象的微分方程式蒸汽直接加熱器的數學模型在上一章中已求得，其擾動通道和控制通道的微分方程式為：3過程控制系統的分析上述式中y——加熱器出口溫度（Ｔout），即被控變量，℃；ｆ

——冷流體入口溫度，即擾動變量，℃；Ｗ

——加熱蒸汽流量，即操縱變量,ｋg/min。式中特征參數通過實驗測取或理論計算得：3過程控制系統的分析（2）測量元件、變送器的微分方程式變送器的數學模型前已說明可視為K＝1的比例環節。測溫元件熱電阻的數學模型可視為一階特性：3過程控制系統的分析（3）氣動薄膜控制閥的微分方程式氣動薄膜控制閥一般為一階特性：3過程控制系統的分析控制閥的時間常數一般很小，與被控對象和測量元件的時間常數相比可以忽略，使控制閥又可近似為一個比例環節，即3過程控制系統的分析假定采用線性控制閥，則控制閥的放大系數Ｋv為常數。顯然當輸入信號為4～20ｍＡ時，控制閥開度對應全關和全開（氣開閥）。為了使系統對正向或反向的擾動都能進行工作，則可選定靜態工作點，即控制器的p0＝12mADC，也就是說，系統在無擾動時，其輸出溫度為80℃，控制閥開度達到50％，通過控制閥的蒸汽流量為Ｗ0。根據熱量平衡方程式列出靜態方程式：3過程控制系統的分析式中下標“0”表示系統在初始平衡狀態下的數值，則3過程控制系統的分析（4）控制器的控制規律在過程控制系統中常使用的控制器，其控制規律有比例、比例積分和比例積分微分三種，它們的數學模型分別為：3過程控制系統的分析在這個系統中若選用的是電動比例控制器，則p＝Ｋcｅ在過程控制儀表中控制器的放大系數Ｋc是通過改變控制器的比例度δ來設置的，若采用測量范圍（量程）為50～100℃，輸出信號為4～20mADC的電動溫度變送器，并選用電動控制器的比例度δ＝２０％，于是根據比例度的定義計算出控制器的放大系數是：

3過程控制系統的分析因為y（t）稱為被控變量的真實值，它是客觀存在的溫度，但是如果不用測量儀表是無法知道的。所以，為使理論計算和實際工作情況相一致，z（t）稱為被控變量的測量值，并作為控制系統的輸出變量。現應用拉氏變換求得各環節的傳遞函數，則加熱器溫度控制系統的方塊圖如圖３-4所示。3過程控制系統的分析定值控制系統的傳遞函數隨動控制系統的傳遞函數于是加熱器出口溫度控制系統的微分方程式為：3過程控制系統的分析2.過程控制系統的過渡過程當過程控制系統的數學模型建立起來之后，下面便是在階躍信號作用下，求系統的階躍響應（即過渡過程的解析式）。3過程控制系統的分析（1）系統在設定值作用下階躍響應蒸汽直接加熱器的出口處溫度工藝要求應在80℃，現調整到81℃，即控制器的設定值增加Δx＝１℃，其Ｘ（s）＝１/s，代入式（３-12）得：

Z（t）=0.929-0.97e-0.3tsin（1.013t+73.5o）3過程控制系統的分析（2）系統在擾動作用下的階躍響應當蒸汽直接加熱器的出口溫度工藝要求仍保持在80℃不變，而系統擾動來自冷流體溫度的波動，由20℃階躍上升到30℃，即Δｆ＝10℃，其Ｆ（s）＝10/s，代入式（３-11）得：3過程控制系統的分析對式（３-17）進行拉氏反變換得：3過程控制系統的分析3.過程控制系統過渡過程曲線為了能較迅速地繪出過渡過程曲線，一般是先找出曲線上的一些特殊的數值，如曲線與直線（最終穩態值）的交點以及曲線的各個極值點，然后列表，繪制出曲線。（1）繪制階躍設定作用下的過渡過程曲線①過渡過程曲線與直線z（ｔ）＝0.929的交點時間。曲線與直線相交，表明式（３-16）等于0.929，則這時：sin（1.013t＋73.5°）＝0即1.013t＋73.5°＝π，2π，3π，…，ｎπ（ｎ為正整數）

3過程控制系統的分析所以：②過渡過程曲線的各個極值的時間。對式（３-16）求一階導數：3過程控制系統的分析③將上述兩種時間代入式（３-16），就可以求得過渡過程曲線的各個特殊點數值，現將其數值列于表３-１中。3過程控制系統的分析（2）繪制階躍擾動作用下的過渡過程曲線同理，對于式（３-18）為了作圖方便，利用一些特殊點就能較快地繪制出過渡過程曲線，即當時，曲線與直線z（ｔ）＝0.717相交。而當3過程控制系統的分析時曲線有極值點（ｎ為正整數）。將上述兩種ｔ值代入式（３-18），就能求出過渡過程曲線的各個特殊點數值，其數值列入表３-２中。3過程控制系統的分析根據表３-２中數據繪制出過渡過程曲線如圖３-5中的曲線２所示過程控制技術第六講過程控制系統的過渡過程分析（二）3過程控制系統的分析過程控制系統的質量指標質量指標是衡量控制系統質量的一些數據。根據分析的方法不同，質量指標也有很多形式。微分方程分析法中常用的是以過渡過程形式表示的質量指標，下面就討論過程控制系統在階躍信號作用下的過渡過程質量指標。3過程控制系統的分析（1）最大偏差A（或超調量Ｂ）最大偏差等于被控變量的最大指示值與設定值之差。對于在階躍擾動作用下的控制系統，過渡過程的最大偏差是被控變量第一個波的峰值與設定值之差，如圖3-6（a）中的A表示。對于在階躍設定作用下的控制系統，過渡過程的最大偏差如圖3-6（b）中的Ａ表示。3過程控制系統的分析3過程控制系統的分析最大偏差反映系統在控制過程中被控變量偏離設定值的程度，也可以用超調量Ｂ表示，如圖3-6所示。超調量是指過渡過程曲線超出新穩定值的最大值，即Ｂ＝最大指示值-新穩定值＝y（ｔp）-y（∞）所以，圖3-６（ａ）中Ｂ＝A-Ｃ，圖3-６（ｂ）中Ｂ＝A＋Ｃ。對于系統在階躍設定作用下有時用最大百分比超調量（相對超調量）σ表示，即相對超調量3過程控制系統的分析（2）衰減比n

是指過渡過程曲線同方向的前后相鄰兩個峰值之比，如圖3-6中Ｂ/Ｂ′＝n，或習慣表示為n∶1。可見n

愈小，過渡過程的衰減程度越小，意味著控制系統的振蕩程度越加劇烈，穩定性也就低，當n

＝１時，過渡過程為等幅振蕩；反之，n愈大，過渡過程愈接近非振蕩過程，相應的穩定性也越高。從對過程控制系統的基本性能要求綜合考慮（穩定、迅速），3過程控制系統的分析衰減比n在４～１０之間為宜。如以n＝４為例，當第一波峰值Ｂ＝１時，則第二波峰值Ｂ′為1/4Ｂ，第三波峰值為1/16Ｂ，可見衰減之快。這樣，當被控變量受到擾動之后，可以斷定它只需經過幾次振蕩很快就會穩定下來，不會出現造成事故的異常值。因此，衰減比ｎ是表示衰減振蕩過渡過程的衰減程度，是反映控制系統穩定程度的一項指標。3過程控制系統的分析（3）上升時間tr、峰值時間tp和過渡時間ts

①上升時間tr是過渡過程曲線從零上升至第一次到達新穩定值所需的時間。②峰值時間tp是過渡過程曲線到達第一個峰值所需的時間。③過渡時間ts又稱控制時間（過渡過程時間）。它是從擾動發生起至被控變量建立起新的平衡狀態止的一段時間。嚴格地講，被控變量完全達到新的穩態值需要無限長的時間。實際上從儀表的靈敏度以及工程上規定：過渡過程曲線衰減到與最終穩態值之差不超過±５％時所需要的時間，為過渡過程時間或控制時間ts。上升時間tr

、峰值時間tp和過渡時間ts都是衡量控制系統快速性的質量指標。3過程控制系統的分析（4）振蕩周期Ｔ（或振蕩頻率f）過渡過程曲線從第一個波峰到同方向第二個波峰之間的時間叫做振蕩周期或稱工作周期，其倒數稱為振蕩頻率或工作頻率。在衰減比相等同的條件下，振蕩周期與過渡時間成正比，振蕩周期短，過渡時間就快。因此，振蕩周期也是衡量控制系統快速性的一個質量指標。3過程控制系統的分析（5）余差Ｃ（殘余偏差）余差是過渡過程終了時設定值與被控變量的穩態值之差，用數學式表示為余差是一個反映控制系統準確性的質量指標，也是一個精度指標。它由生產工藝給出，一般希望余差為零或不超過預定的范圍。3過程控制系統的分析綜上所述，過渡過程的質量指標主要有：最大偏差或超調量、衰減比、過渡時間、振蕩周期、余差。一般希望最大偏差或超調量、余差小一些，過渡時間短一些，這樣控制質量就好一些，但也有矛盾，不能同時給予保證。如當最大偏差和余差都小時，則過渡時間就要長。因此，要根據工藝生產的要求，結合不同的控制系統，對控制質量指標分出主次，區別輕重，優先保證主要控制質量指標。3過程控制系統的分析過程控制系統過渡過程的質量指標評定（1）曲線１表示的是加熱器出口溫度控制系統的設定值由80℃增加到81℃時，被控變量測量值z（ｔ）的變化情況［并不是y（ｔ）的情況，而且縱坐標為增量表示］。由曲線對控制系統的質量指標計算如下：3過程控制系統的分析（2）曲線２表示的是加熱器冷流體的入口溫度由原來的20℃階躍增加到30℃時，被控變量測量值z（ｔ）的變化情況。由曲線對控制系統的質量指標計算如下：3過程控制系統的分析（3）被控變量的測量值與真實值的質量評定。過程控制系統被控變量的真實值y（ｔ）是客觀存在卻無法得到的，它是通過測量環節為人們所觀察到，被控制器所感受，因此，測量值與真實值之間存有差異，這在系統質量指標評定時必須引起注意。從圖３-4所示系統可知，被控變量的測量值對于設定作用的階躍響應是：3過程控制系統的分析用相同的計算方法得知，被控變量的真實值對于設定作用的階躍響應是：3過程控制系統的分析比較Ｚ（ｓ）與Ｙ（ｓ）表達式，它們的分母相同，即特征方程相同，則極點相同，傳遞系數相同，因而過渡過程應具有相同的形狀,而過渡過程的幅值將不相同。現將階躍響應曲線z（ｔ）和y（ｔ）繪出見圖３-7所示。已知z（ｔ）主要質量指標為：3過程控制系統的分析而y（ｔ）的主要質量指標為：最大偏差Ａ＝1.4℃衰減比ｎ＝6.44過渡時間ｔｓ＝10min余差Ｃ＝0.07℃3過程控制系統的分析通過對被控變量的測量值與真實值的質量評定比較知道，被控變量的真實值y（ｔ）的變化情況要比測量環節反映出來的測量值z（ｔ）的變化情況嚴重，兩者的差異在最大偏差數值上。而且差異程度取決于測量環節的時間常數Ｔm，Ｔm

越大，z（t）與y（t）的差異越大。這結論說明：在實際工作中要將質量指標留有余地，而且應選擇Ｔm

較小的測量環節。過程控制技術第七講過程控制系統的穩定性3過程控制系統的分析3.2過程控制系統的穩定性在過程控制系統的分析中，最重要的問題是穩定性問題。因此，對過程控制系統的要求首先必須是穩定的。

過程控制系統穩定的基本條件為了知道系統穩定的基本條件，先從系統微分方程的特征根與過渡過程的關系討論。（1）一階系統一階系統的微分方程式：3過程控制系統的分析3過程控制系統的分析一階系統的單位階躍響應為：y（t）＝Ｋ（１-ｅ-t/Ｔ）最終有穩定值，其值為：y（∞）＝Ｋ

所以，一階系統穩定的基本條件是：①特征根為負；②微分方程的系數ａ1＞0，ａ0＞0。3過程控制系統的分析（2）二階系統二階系統的一般微分方程式：其特征方程為：故特征根為：3過程控制系統的分析當ａ21-4a2a0＞０時，s1、s2為一對相異負實根。由于ａ2

在二階系統中相當于時間常數，所以ａ2＞０；若要使-ａ1/2ａ2＜０，則須ａ1

＞０；另外還應該保證

即須ａ2＞０，ａ1＞０，ａ0＞０。3過程控制系統的分析二階系統的標準形式：傳遞函數：特征方程：

特征根：3過程控制系統的分析由于自然頻率ω0一般取正值有意義，因此二階系統的衰減系數ζ與穩定性的關系可歸納成如表３-3所示。3過程控制系統的分析通過上述分析，可知二階系統穩定的基本條件是：①特征根實數部分為負；②微分方程系數均須大于零，即ａ2＞０，ａ1＞０，ａ0＞０；③衰減系數ζ＞０。3過程控制系統的分析如果從根平面（特征根用復數平面上的點來表示）來看系統穩定的基本條件是：系統的全部特征根都落在根平面的左半平面。如果有一個特征根落在根平面的右半平面或虛軸上，則系統將都是不穩定的。可用圖３-8表示。3過程控制系統的分析●過程控制系統的穩定裕度（1）穩定裕度δ1（2）穩定裕度檢驗過程控制技術第八講常規控制規律對過程控制質量的影響3過程控制系統的分析常規控制器的控制規律（1）比例控制規律具有這種控制規律的控制器，其輸出p（t）與輸入偏差信號ｅ（t）之間的關系為：

p（t）＝Ｋcｅ（ｔ）或傳遞函數：

（３-22）

3過程控制系統的分析圖3-10比例控制器方塊圖

3過程控制系統的分析式中Ｋc叫做控制器的比例放大倍數，故比例控制器實際上是一個可調增益（放大倍數）的放大器。在相同輸入偏差ｅ（ｔ）下，Ｋc越大，輸出p（ｔ）也越大，所以Ｋc是衡量比例控制作用強弱的因素。它的方塊圖如圖３-１0所示。在過程控制儀表中，一般用比例度δ來表示比例控制作用的強弱。比例度δ定義為：3過程控制系統的分析

×100％3過程控制系統的分析3過程控制系統的分析（3）比例積分微分控制規律①微分控制規律理想的微分控制規律數學表達式為：式中Ｔd——微分時間。

3過程控制系統的分析理想微分控制規律是輸出信號p（t）跟輸入信號ｅ（ｔ）對時間的導數成正比，如圖３-15所示。由圖可見，微分的輸出大小與偏差的變化速度有關，而與偏差的存在數值大小無關，偏差為定值時，微分無輸出。所以說微分規律具有超前控制作用。3過程控制系統的分析②比例微分控制規律理想的比例微分控制規律的數學表達式為：3過程控制系統的分析當ｔ＝0＋時：p（t）＝ＫcＡ＋ＫcＡ（Ｋd-1）＝ＫcＫdＡ當ｔ→∞時：p（ｔ）＝ＫcＡ當ｔ＝Ｔd/Ｋd時：p（t）＝ＫcＡ＋0.368ＫcＡ（Ｋd-1）

因此，實際比例微分控制規律在幅度為Ａ的階躍偏差作用下的開環輸出特性，如圖３-16所示。微分增益Ｋd越大，微分作用越強；時間常數Ｔ越大，也反映微分作用越強。所以，微分時間Ｔd＝ＴＫd。因此微分時間越大，表明微分作用越強。3過程控制系統的分析③比例積分微分控制規律理想的比例、積分、微分三作用控制器控制規律的數學表達式為：式中Ｋｃ——比例放大倍數；Ｔｉ——積分時間；Ｔd——微分時間。

3過程控制系統的分析3過程控制系統的分析當有階躍偏差作用時，微分作用超前動作抑制偏差，同時比例作用動作減小偏差，積分作用最后慢慢地消除偏差。所以，三作用控制器的參數（δ、Ｔi、Ｔd）如選擇得當，可以充分發揮三種控制規律的優點，而得到較滿意的控制質量。3過程控制系統的分析（2）比例積分控制規律具有這種控制規律的控制器，是在比例控制規律的基礎上加積分控制規律，其數學表達式為：Ｇc（ｓ）＝

（３-25）式中Ｋc——控制器的比例放大倍數；Ｔi——控制器的積分時間。3過程控制系統的分析3過程控制系統的分析常規控制器的控制規律對過程控制質量的影響由上述分析知道了三作用控制器的參數與規律的關系：比例度δ越小，比例放大倍數Ｋc越大，表明比例控制作用越強；積分時間Ｔi越小，積分輸出的速度越快，表明積分控制作用越強；微分時間Ｔd越大，微分輸出保持的就越長，表明微分控制作用越強。下面來分析和討論控制器的比例度δ、積分時間Ｔi、微分時間Ｔd對過程控制質量的影響，為ＰＩＤ三作用控制器在過程控制工程中的參數（δ、Ｔi、Ｔd）整定，奠定理論基礎。3過程控制系統的分析１.比例控制規律對過程控制質量的影響 仍以圖３-3蒸汽直接加熱器溫度控制系統為例，把圖３-4所示的控制系統方塊圖改畫成定值控制系統（擾動作用下）形式的方塊圖，如圖３-20所示。3過程控制系統的分析在擾動作用下Ｚ（ｓ）與Ｆ（ｓ）之間的閉環傳遞函數為：比例控制規律對過程控制質量的影響可以從下面幾個方面來討論。（1）穩定性控制系統過渡過程的穩定性常用衰減系數ζ來衡量。衰減系數ζ越大，過渡過程振蕩越小，系統就越穩定。對于式（３-30）所表示的二階系統，特征方程式是：3過程控制系統的分析其中：則有：3過程控制系統的分析由式（３-31）可知系統穩定性與ζp的關系①當Ｋc較小時，ζp值較大，并有可能大于１，這時過渡過程為不振蕩過程；隨著Ｋc的增加，ζp值逐漸減小，直至小于１，相應的過渡過程將由不振蕩過程而變為不振蕩與振蕩的臨界狀況直至衰減振蕩過程；隨著Ｋc的繼續增大，ζp值繼續減小，過渡過程的振蕩加劇。可通過理論與試驗加以驗證（略），見圖３-21所示。3過程控制系統的分析②無論Ｋc值增到多大，ζp不可能小于零，因而這個系統不會出現發散振蕩，所以系統總是穩定的。③當被控對象的時間常數Ｔo較大，放大系數Ｋo較小時，為得到相同的ζp值，Ｋc可取得大些（δ值可小些）；反之，Ｋc的值應小些（δ值應大些）。一般溫度控制系統中的被控對象其時間常數較其他被控對象的時間常數大，所以在溫度控制系統中控制器的放大系數Ｋc一般較其他控制系統大（即δ較其他系統小些）。下面這些經驗的比例度范圍可供參考：壓力控制系統３０%～７０％，流量控制系統４０%～１００％，液位控制系統２０%～８０％，溫度控制系統２０%～６０％。3過程控制系統的分析（２）余差系統在受到幅值為Ａ的階躍擾動作用后，其余差（穩定值）可應用終值定理求得：應用比例控制規律構成的控制系統，被控變量的最終穩定值不為零，即系統有余差。余差隨著比例控制作用Ｋc的增大而減小，但是余差不能靠Ｋc的增大而完全消除。為了消除余差，必須引入積分控制作用。3過程控制系統的分析（3）其他質量指標比例控制規律對其他質量指標的影響，如超調量、最大偏差和上升時間等，可以通過對圖３-21進行整理，列于表３-4所示。3過程控制系統的分析２.積分控制規律對過程控制質量的影響對于圖３-20所示系統，增加積分控制規律之后，其方塊圖如圖３-22所示。此閉環系統的傳遞函數為：3過程控制系統的分析（1）穩定性從式（３-33）表明增加積分控制作用后，使原來的二階系統變為三階系統。可以給出一組積分時間Ｔi求解出相應的過渡過程如圖３-23所示。增加積分控制作用之后，會使系統的穩定性降低。積分作用越強，即積分時間Ｔi越短，振蕩過程將加劇，積分作用過強，甚至會使系統成為不穩定的發散振蕩過程。3過程控制系統的分析為了能像二階系統一樣用衰減系數ζ值的大小來比較系統的穩定性，可對圖３-22所示的系統進行簡化，忽略測量元件的時間常數，則成為如圖３-24所示的方塊圖。該系統的傳遞函數為：這是二階系統，其衰減系數為：3過程控制系統的分析（2）余差根據圖３-22所示，對式（３-33）應用終值定理，可以求得階躍擾動作用下系統過渡過程的最終穩態值為零，即系統的余差為零。所以積分控制作用能消除余差，這是積分控制規律的重要特點。3過程控制系統的分析（3）其他質量指標可以通過定量解析得知（略），在相同衰減比ｎ即穩定性相同的前提下，在比例控制的基礎上引入積分控制作用后，最大偏差Ａ將加大，上升時間tr延長，振蕩周期加長，唯一的優點是余差消除了。究其原因是為了保持與比例控制具有相同衰減比，而犧牲了控制器放大倍數Ｋc（Ｋc下降，δ增大）造成其他質量指標變壞。3過程控制系統的分析由于比例積分控制規律除了具有比例和積分兩種控制規律的優點之外，比例度δ和積分時間Ｔi兩個參數還可以在一定的范圍內作適當的匹配，以滿足控制質量指標的要求，因此比例積分控制規律適用面比較廣泛。3過程控制系統的分析３.微分控制規律對過程控制質量的影響（1）穩定性在圖３-20所示的控制系統中增加微分控制規律后，其方塊圖如圖３-25所示，系統的閉環傳遞函數為：3過程控制系統的分析這也是個二階系統，其衰減系數為：3過程控制系統的分析（2）余差對于圖３-25的系統，可對式（３-37）應用終值定理，求得在階躍擾動作用下的余差為：3過程控制系統的分析４.比例積分微分控制規律對過程控制質量的影響將理想的比例積分微分三作用控制器應用于圖３-20所示的控制系統中，方塊圖如圖３-26所示，系統的閉環傳遞函數為：3過程控制系統的分析為了更進一步地理解ＰＩＤ控制規律對系統質量的影響，可以對圖３-3所示的蒸汽直接加熱器溫度控制系統分別繪出采用比例、比例積分、比例積分微分控制規律時的過渡過程曲線，如圖３-27所示。3過程控制系統的分析圖中三條曲線分別代表著比例控制、比例積分控制、比例積分微分控制的過渡過程曲線。比例控制時δ＝20％，衰減比ｎ＝6.35；比例積分控制時δ＝32％，Ｔi＝5min，衰減比ｎ＝6.05；比例積分微分控制時δ＝10％，Ｔi＝5min，Ｔd＝0.2min，衰減比ｎ＝6.7。三條曲線的衰減比很接近，穩定程度相近。因此通過比較看出，在比例積分控制規律的基礎上增加微分規律后，系統的質量可以全面得到提高，即最大偏差減小，振蕩周期縮短；而且由于有積分控制規律，系統的余差也將消除。3過程控制系統的分析ＰＩＤ控制規律綜合了Ｐ、Ｉ、Ｄ三種控制規律的優點，具有較好的控制性能，在過程控制工程中應用廣泛，且將δ、Ｔi、Ｔd三參數進行最佳匹配（整定），一般情況下都能夠滿足控制系統質量指標的要求。本章小結1.主要內容利用解微分方程求取控制系統輸出（被控變量）的時間特性（過渡過程）或時間響應以分析系統性能的方法稱為系統的微分方程分析法（又稱時域分析法）。(1)微分方程分析法的步驟：①建立過程控制系統的數學模型（微分方程式或傳遞函數）；②求系統在階躍輸入信號作用下的解（被控變量的過渡過程或階躍響應）；③把過渡過程解析式繪成曲線即過渡過程曲線（階躍響應曲線）；④根據曲線評定過程控制系統的質量指標。(2)穩定性是任何控制系統必須具備的基本性能。在時域分析中，系統穩定的必要充分條件是：系統閉環傳遞函數的所有極點均具有負實部；或系統微分方程式的所有特征根都分布在ｓ平面的左半平面上。對于二階系統則須ζ＞０，系統才是穩定的。在根平面上，閉環特征根離虛軸的水平距離大小代表著系統的穩定裕度δ1。(3)控制器（輸出信號）產生控制信號的作用稱作控制作用，控制作用所遵循的數學規律稱為控制規律。①比例（Ｐ）控制規律的輸出p（t）與輸入偏差ｅ（ｔ）成比例Ｋc關系。Ｋc越大，比例控制作用越強。在控制儀表中控制器是用比例度δ代表比例控制作用的強弱。比例度δ是控制器輸入與輸出的比例范圍：使輸出信號作全范圍的變化，輸入信號必須改變全量程的百分之幾。在單元組合儀表中，δ與Ｋc互成倒數，即δ＝1/Ｋc×100％。因此，控制器的δ越小（Ｋc越大）比例控制作用越強。比例控制作用是基本控制作用。②比例積分（ＰＩ）控制規律的輸出p（ｔ）是由比例部分和積分部分兩項構成。積分項輸出是與偏差隨時間的累積成正比；積分時間Ｔi越短，積分輸出的積累越快（積分速度越快），表明積分控