第一章空間向量與立體幾何

（能力挑戰卷）

一、單選題

1.已知空間四點A（4J3）,3（23,1）,C（3,7,-5）,D（x,-1,3）共面，則x的情為（）

A.4B.1C.10D.11

2.如圖，在平行六面體中，AB=AD=\?A4,=夜,N8AAi=45。,/8A0=60",

|UUIT|

則四卜（）

D\c

分x

AB

A.1B.73C.9D.3

3.已知空間向量入人"滿足2+5+"=6,同=1,忖=2,*夕，則Z與辦的夾角為（）

A."B.45°C.60°D.90°

4.已知平面。內兩向量2=（1,1,1）,5=（0,2,-1）,若"為平面a的法向量且工=切￡+法+（4,-4,1）,則加，n

的值分別為（）

A.—2B.1,—2C.1,2D.—1,—2

5.如圖，在圓錐S。中，38為底面圓的兩條直徑，謝18=。，且的，8,5。=。8=3的=＞，

異面直線SC與。E所成角的正切值為（）

B

D

A.叵B.叵C.鳥D.叵

23163

6.已知三棱錐A-88的所有棱長均為2,E為50的中點，空間中的動點尸滿足E4_LPE,PCA,AB,

則動點P的軌跡長度為（）

A.學B.叵C.如D,岳

1682

7.如圖，在棱長為域的正方體48。。-44。1。中，點7＞是平面48。1內一個動點，且滿足

陽+附|=5+2瓜則直線用P與直線A"所成角的取值范圍為（）（參考數據：sin53=，n37o=]）

A.[37,143]B.[37,90]C.[53,143]D.[37,127]

8.如圖，在菱形48CO中，ZBAD=60°,線段AO,8。的中點分別為E,尸，現將△48。沿對角線8。翻

折，則異面直線跖與Cr所成的角的取值范圍是

二、多選題

9.設工及2是空間一個基底，下列選項中正確的是（）

A.若S±c?則a_Lc

B.則〃Ec兩兩共面，但a,反c不可能共面

C.對空間任一向量p,總存在有序實數組（x,y,z）,使p=w+y5+zc

D.則2+5，W，3+3一定能構成空間的一個基底

10.在正三棱柱ABC-ABG中，AC=應,CG=T,點、D為BC中點,則以下結論正確的是（）

——1--1—?—.

A.AD=-AB+-AC-AA

22

B.三棱錐的體積為3

6

C.AB】且人用〃平面ACQ

D.AABC內到直線AC、8用的距離相等的點的軌跡為拋物線的一部分

11.（多選題）在四面體P-A8C中，以上說法正確的有（）

___I—2—

A.若A￡>=§AC+§A8,則可知BC=3B。

—.1—.1一1__

B.若Q為△48C的重心，WlJP（?=-PA+-PB+-PC

C,若用?m=0，定?麗=0，貝IJ麗?慈=0

D.若四面體尸―ABC各棱長都為2,",N分別為PA4C的中點，則|麗卜1

12.如圖1,在邊長為2的正方形ABCD口，E,尸，G分別為4C,CD,跳的中點，沿4E、A尸及E尸把

這個正方形折成一個四面體，使得B、C、O三點重合于S,得到四面體S-A即（如圖2）.下列結論正確的是

（）

S

圖1圖2

A.四面體S-4斯的外接球體積為扃

B.頂點S在面AE廠上的射影為△AEV的重心

C.SA與面AM所成角的正切值為它

4

~13

D.過點G的平面截四面體S-AM的外接球所得截面圓的面積的取值范圍是-7i,-n

三、填空題

13.在通用技術課上，老師給同學們提供了?個如圖所示的木質正四棱錐模型尸-ABCO,并要求同學們將

該四楂錐切割成三個小四棱錐.某小組經討論后給出如下方案：第一步，過點A作一個平面分別交尸8,PC,

PD于點E,F,G,得到四棱錐尸-AEFG：第二步，將剩下的幾何體沿平面AW切開，得到另外兩個小

四棱錐.在實施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形用G,若務PF3PF\

則登的值為.

14.女」圖在正方體ABC。-AqGA中，已知AA=a,A4=瓦A。=c,。為底面的A8C￡）的中心，G為

△RC0的重心，貝IJA&=

15.設正方體ABC。-的棱長為2,。為過直線8A的平面，則。截該正方體的截面面枳的取值范

圍是?

6已知領的三個單位向量入人3滿足若空間向甌滿足用?”航e且對

于任意x,yeR,恒有眄一（箱+防）國比一江一目=J5,則眄一同=.

四、解答題

17.設全體空間向量組成的集合為丫，日=（《,4,《）為丫中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應

變量”也是向量的“向量函數”〃元）"（1）=-無+2（無㈤

（1）設”（1,0,0）,v=（0,0,l）,若/伍）=戶，求向量入

（2）對于V中的任意兩個向量f,y,證明：/（即/（刃=并力

（3）對于V中的任意單位向量[求|/（元）-田的最大值.

18.如圖，在三棱臺ABC-A用G中，底面AABC是邊長為2的正三角形，側面ACGA為等腰梯形，且

AG=A4]=i,。為AG的中點.

（1）證明：AC±BD；

（2）記二面角A-4C-3的大小為。，Oe|,y時，求直線AA與平面8BCC所成角的正弦值的取值

范圍.

19.《兀章算術》是我國古代的數學著作，是“算經十書”中最重要的一部，它對幾何學的研究比西方要早1000

多年.在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱禰為塹堵.如圖，在塹堵

ABC-A居G中，AB1AC,AAi=AB=AC=\fM,N分別是CG，8c的中點，點P在線段上.

（1）若P為44的中點，求證：PN〃平面44。。.

（2）是否存在點P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為45。？若存在，試確定點尸的位置；若不

存在，請說明理由.

20.如圖1,菱形48CD中ZA8C=I2O。，動點E,尸在邊AO,A8上（不含端點），且存在實數2使球=幾訪,

沿所將向上折起得到△莊尸，使得平面PEF_L平面BCOEF,如圖2所示.

圖1圖2

⑴若BFSD,設三棱錐P-BC。和四棱錐尸一班)所的體積分別為匕，V2,求匕

(2)試討論，當點E的位置變化時，二面角七-所-8是否為定值，若是，求出該二面角的余弦值，若不

是，說明理由.

21.已知多邊形是邊長為2的正六邊形，沿對角線AO將平面AD配折起，使得8尸=卡.

(1)證明：平面ABCZ)_L平面ADE尸；

(2)在線段AO上是否存在一點G,使二面角A-8產-G的余弦值為巫，若存在，請求出AG的長度;

5

若不存在，請說明理由.

22.如圖，已知四棱錐中，E4_L平面ABCE,平面/<4AJ_平面PBC,且A8=l,BC=2,BE=2叵,

點A在平面PCE內的射影恰為APCE的重心G.

(1)證明：BC1AB：

(2)求直線CG與平面尸8c所成角的正弦值.

參考答案

1.D

【分析】

求得而、衣、而的坐標，根據題意可知存在實數義、〃，使得而=2而+〃/，利用空間向量的坐標

運算可得出關于;I、〃、x的方程組，進而可求得實數x的值.

【詳解】

依題意得福二(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),AD=(x-4,-2,0),

?.?A、B、C、。四點共面，「.而、AC.而共面，

???存在實數4、4,使得而=4通+〃/，

x-4=-22-//2=-4

即(x_4,_2,0)=(_24_〃,24+6〃,_2；l_8〃)，所以.-2=22+6//,解得"=1

0=-2之一8〃x=11

故選：D.

【點睛】

本題考查利用空間向量法處理四點共面的問題，考查計算能力，屬于中等題.

2.D

【分析】

根據圖形，利用向量的力口法法貝U得至IJ猬=A與+A萬+M"

再利用|阿卜j(而+近十訊)2求那的模長.

【詳解】

在平行六面體ABCO-AMGR中，

有AC=AB+AD，AC1=AC+AAi=AB+AD+A4,?

由題知，AB=AD=\,A4)=V2,=ZDA\=45,NBA。=60，

所以網=|珂=1,網=&,而與而的夾角為的)=60。，

而與麗的夾角為N8AA=45。，而與福的夾角為44,4。=45。，

所以

AC；2

=（而+而+M）2

=|碉+|AD|2+|M|2+2ABAD+2ABAA^+2ADAA^

=1+l+2+2xIxlxcos600+2x1x>/2xcos450+2xlx&xcos450

=9.

所以|阿=3.

故選：D.

3.C

【分析】

將2十很=-3兩邊平方，利用空間向量的數量積即可得選項.

【詳解】

設a與5的夾角為。.由a+A+c=0,得〃+B=-c，兩邊平方，得￡?+2）.石+加~=片，

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cos6=（，又6?0，句，所以。=60；

故選：C.

4.A

【分析】

利用空間向量的數乘和加法運算求出"的坐標，再由垂直關系的數量積等于0,列方程組即可求解.

【詳解】

因為2=（14/），5=（0,2,-1）,

所以c=ma+而+（4,-4,1）=（肛叫m）+（0,2w,-n）+（4,-4,1）

=（6+4,/力+2〃-4,〃2—〃+1）,

因為"為平面a的法向量，

C?4=m+4+〃1+2〃-4+m一〃+1=0（3m+n+\=0

所以cb-2（/M4-2n-4）-（/n-72+l）=0'”（6+5〃-9=0

m=-\

解得：），所以由，〃的值分別為-1,2,

n=2

故選:A.

5.D

【分析】

以OD,O8,OS為x,y,z軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦值，再得正弦值.

【詳解】

由題意以。2。氏OS為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

40,-3,0),8(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE=：SB,

--———1—139

OE=OS+SE=OS+-SB=(0,0,3)+—(0,3,-3)=(0,一，一).

4444

SC=(-3,0,-3),

27

OESC43百

則cos<OE,SC>=

煙園一39x3人"io"

4

設異面直線SC9OE所成角為。，則ssdfcos<歷,5?>|=，，為銳角,

?I10

叵

J55”一sin。inx/FT

sinJ=-----,所以tana=-------=?-=—~?

10cos。3V53

To-

故選：D.

【分析】

將正四面體A-BCD放入正方體，建立空間直角坐標系，求得產點滿足的方程，判斷出尸點的軌跡為圓，求

得圓的半徑，由此計算出圓的周長也即尸的軌跡長度.

【詳解】

正四百體A-8CO放入正方體，則正方體的棱長為0,建立空間直角坐標系如圖所示,

E喙、㈤,C（衣衣0）,8（0,歷0）,設P（”z）,

PE=孝一x,弓一-而=(x,y,z),PC

—x,—y,—z）.

~^p.pg=Q

由于叫_LPE,PC1AB,所以｛______,

PCAB=O

即仔X卜+隹一)+曲#=0,

a(a-'-缶=0

x1~-x+y2--y+z2-2z=0

即J2，2，，

y+z-忘=0

即卜野卜書十會,

y+z->/2=0

(⑸'JV2fJ夜丫3聿一硅,/烏烏g,半徑為公立

x----+V----------+z---=一表示球心:

14J14J12）41442J

y+z-V2=0表示垂直于Mz平面的一個平面.

所以P的軌跡是上述平面截球面所得圓.

克+也-夜］

二

球心到平面y+z-夜=0的距離為d42J

2

1442ylVP+14,

所以截得的圓的半徑

\4164

VFTVil

所以截得的圓，也即尸點的軌跡的長度為24=24、-------=71?

4-----2

故選：C

【點睛】

空間中求動點軌跡長度，可考慮采用坐標法求得動點軌跡方程，結合軌跡方程求得軌跡的長度.

7.B

【分析】

首先以點。為原點建立空間直角坐標系，證明。片1平面ABG,并求用。=3,。0=6,然后將異面直線AA

與用戶所成的角，轉化為BQ與4P所成的角，再如圖建立第二個坐標系，利用坐標法求異面直線所成的角

的余弦值，再求角的范圍.

【詳解】

如圖，建立空間直接坐標系，連結4。，交平面A8G于點0，

0（000）,四（3石,36,3石），A（36,0,36）,B（3G,36,0）,C,（0,3>/3,3>/3）,

畫=0瓜3&3⑸,還=（0,36,-3石），西=（-36,0,3⑹，

璃?福=0,璃.藍=0,「3_L人民￡>4_L8G，A8c5G=5,

。禺1平面4/G，

根據等體積轉化可知%.”G=%_人耐，

即_Lx，x@“yx且xBQ=1x，x(3Gy,解得：80=3,

32232

利=3昌6=9,..A0=6,

?.ADJg,???異面直線AR與87所成的角，轉化為BG與片P所成的角，

如圖，將部分幾何體分類出來，再建立一個空間直角坐標系，取BG的中點E，過點。作。尸〃BG，則以

點。為原點，麗，詼，畫為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系

用=(2-3),匹=(-36,0,0),

|叫+|叫=5+2萬，

即Jd+9+9+收+9+36=5+2>/i5，x2+y2+9<x2+y2+36,

即附|=5

:.x2+y2+9=25,BPx2+y2=16,XG[-4,4]

-3axf44

〈利的>=廚啕二訪丁”十打.

因為異面直線所成的角是銳角，并設為仇貝Ijcosec(o]

,/sin53°=-,/.cos370=—,.'.6式37。,901

故選：B

【點睛】

關鍵點點睛：本題的關鍵是利用空間直角坐標系，解決異面直線所成的角，關鍵是如何建立坐標系，解決

問題，本題建立兩個坐標系，目的是方便解決問題.

8.C

【分析】

設菱形的邊長為1,則8七=。尸=立,8。=1,利用向量的平行四邊形法則得到

2

麗=；（麗+珂，萬麗-2時，再利用數量積運算求出而衣，再由

cos俸㈤=*9；cos例，碼》根據伴，孫勺范圍，利用余弦函數的性質求解.

【詳解】

設菱形的邊長為L則由CF考"”

BE

屁.序=；（而+麗）?阿一2冊），

=-BABD--BABC+-BD--BDBC,

4242

=g-gcos（麗，而）+（一；，

=---cos（BA,BC^,

所以8s俸而卜昔贏=翡-梟《麗.網｝

由圖可知：0＜（MBC）＜y,

所以-；＜8S（麗，前）V1,

所以-；＜cos（而，聲）vg,

所以5＜（甌⑦嚀，

所以異面直線跖與c尸所成的角的取值范圍是q,創

故選：C

【點睛】

關鍵點點睛：本題關鍵是得到屁?38s(麗，配)，轉化為余弦函數求得其范圍，進而求出(函濤)

的范圍.

9.BCD

【分析】

根據空間向量的基底的概念，對選項逐一分析，可得正確選項.

【詳解】

由62是空間一個基底，知：

在A口，若3_LB,Bl-則3與"的夾角不一定是T，故A錯誤；

在8口，a.B.c兩兩共而，仰反c不可能共而?故5iF確：

在C中，根據空間向量的基本定理可知C正確；

在。中，因為。，反。不共面，假設￡+另，〃+c，￡+"共面，設a+B=x@+e)+(l-x)(〃+c),化簡得

c=xa+(\-x)b,可得2區工共面，與己知矛盾，所以辦況方+3Z+"不共面，可作為基底，故。正確.

故選：BCD.

【點睛】

本題主要考查向量的基底的概念，需要注意：

(1)如果2瓦￡是基底，則?，反2一定不共面；

(2)對空間中任意向量，都可以用基底向量工進行表示；

(3)如果a=〃區+〃c,〃?+〃=1,則a,3c共面.

10.ABD

【分析】

A.根據空間向量的加減運算進行計算并判斷；B.根據%.明。=匕.網G，然后計算出對應三棱錐的高A。和

底面積久.心，由此求解出三棱錐的體積；C.先假設4gJ.BC,然后推出矛盾，；取48中點E,根據四點

共面判斷明〃平面AC。是否成立；D.將問題轉化為“~4BC內到直線AC和點B的距離相等的點”的軌跡,

然后利用拋物線的定義進行判斷.

【詳解】

A.帚=不十亞=茄一羽=3(而十記)一招=3花+：/—麗，故正確；

B.%.儆0=匕.加心，因為。為BC中點且A8=AC,所以4)1_8C,

又因為B81_L平面A8C,所以Bq_L4D且85nBe=8,所以4)_L平面O￡C，

又因為40=百BO=等8C=半，S“&G=gx84x媯G=當,

所以%ARC=匕DAC='xAO'S='?——--^-=—,故正確；

D-A空j八-*(]33226

C.假設A旦_L8C成立，又因為84J.平面A8C,所以4餐_L8C旦044=與，

所以阮1，平面48q，所以8C_LAB,顯然與幾何體為正三棱柱矛盾，所以Aq_L8C不成立;

取AB中點E,連接口,3,A與，如下圖所示：

因為DE為3cA8中點，所以OE//4C,且AC〃AG，所以OE//AG，所以2瓦A，G四點共面,

又因為凡后與從線相交，所以44〃平面ACQ顯然不成立，故錯誤;

D.MA質:內到直線ACBB、的距離相等的點”即為內到直線AC和點3的距離相等的點”，

根據拋物線的定義可知滿足要求的點的軌跡為拋物線的一部分，故正確：

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：求解空間中三棱錐的體積的常用方法：

(1)公式法：直接得到三棱錐的高和底面積，然后用公式進行計算；

(2)等體積法：待求三棱錐的高和底面積不易求出，采用替換頂點位置的方法，使其求解高和底面積更容

易，由此求解出三棱錐的體積.

11.ABC

【分析】

作出四面體P-ABC直觀圖，在每個三角形中利用向量的線性運算可得.

【詳解】

__1—2—?____,________,_____

對于A，vAD=-AC+-AB,..3AD=AC+2AB，/.2AD-2AB=AC-AD，:.2BD=灰，

:.3BD=BD+DC=BC^:.3BD=BC^故A正確；

對于3,??。為△ABC的重心，^lQA+QB+QC=6,:.3PQ+QA+QB+QC=3PQ

:.(PQ+QA)+(PQ+QB)+(PQ+QC)=3PQ,:.PA+PB+PC=3PQ

—1—1—.1—

即.?.PQ=§H4+§尸8+§PC,故8正確；

對于C,若西?而=0，PC*AB=0，則⑸?配+前?通=0,

.?.~PA.BC+PC^AC+函=0,PA.BC+PC-AC+PC^CB=0

PA^C+PC.AC-PC.BC=0,..(再一PC).BC+PC.AC=0

CA.BC+PC.AC=0./.AC.CB+PC?AC=0

.?.衣?(定+而)=0,.?.前?麗=0，故C正確;

對于O,:.MN=PN-PM=-(PB+PC)--PA=-(PB+PC-PA)

222

.\|iWv|=||PB+PC-E4|=||E4-PB-PC|

?,^PA-PB-PC^=\JPA+PB+PC2-2PA.PB-2PA.PC-t-2PC^B

=j22+22+22-2x2x2x--2x2x2x-+2x2x2x-=2y/2

V222

礪|=&,故。錯誤.

故選：ABC

【點睛】

用已知向量表示某一向量的三個關鍵點

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始

點指向末尾向量的終點的向量.

⑶在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

12.ACD

【分析】

折疊問題，關鍵是抓住其中的不變量.

選項A：說明%、SE、SF兩兩垂直，將四面體的外接球問題，轉化為長方體的外接球問題；

選項B：由于S4、SE、S產兩兩垂直，可證S在面AM上的射影為△他廠的垂心；

選項C：線面角的定義法求解；

選項D：將四面體補成長方體，找出球心，將問題轉化為過一定點作球的截面求截面圓面積最值問題.

【詳解】

對于A項，易知SA、SE、SF兩兩垂直，放可以補成長方體，其體對角線長/=亞工幣=遙，

外接球半徑/?=,，故外接球體積為丫=+(*)="兀，

故A項正確；

對于B項，由于S4、SE、SV兩兩垂直，放S在面4石尸上的射影為的垂心，

理由婦下:如圖，過點S作SO_L平面AE/L交平面AE產于點0,

因為SOJ.平面AE尸，痔u平面AE產，所以SO_L￡尸，

又因為5A_LSE,SA1SF,SE,S尸都在平面SEr內，且相交于點S,

所以5A_L平面SM,又Mu平面跖/，所以胡_LE尸，

又SOns=A,所以律JL平面5AO,又AOu平面80,所以AO_LM.

同理可證KOJL/V7,FOA.AE,所以S在面A￡F上的射影為AAEF的垂心.

故B項錯誤；

對于C項，設M為EF中點,則E產_LSM,AM1EF,SM(^AM=Mt

故平面SAM,故平面AE/_L平面SAM,所以SA在平面AE尸上的射影為AM,

SA與平面AM所成角為N5AM,SA=2,SM=—,乙4sM二三，tanZSAM=—,

224

故C項正確；

對于D項，設。為四面體5-4所的外接球球心，OMJL平面SE產，連接MG,OG,

3

當過點G的截面經過球心0時截面圓面積最大，面積為：

當OG垂直截面圓時，截面圓面積最小，

此時GM=[SF=1,OM=\,0G=d0M?+GM?

222

13

得截面圓面積取值范圍是兀,5冗.

故D項正確.

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：求解幾何體的外接球問題或空間角問題一般從以下角度出發：

⑴外接球問題，關鍵是找出球心，規則圖形的球心在對稱中心；不規則圖形，能補成規則圖形最好，若不

能，則利用球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，可做出球心，再利用幾何知識求解.

(2)空間角的處理一般是建系，用向量法求解；若圖形中垂直關系明顯，空間角容易找出，也可用空間角的

定義求解.

a

13.-

4

【分析】

以AC、BD交點O為原點，射線OA、OB、OP為x、y、z軸正方向構建空間直角坐標系，設P(O,O,b),A(a,0,0),

5(0,40),。(0,-40),C(—4,0,0),進而寫出萬、PC.而、而坐標，可得屋，而，由AE,廣,G四

點共百有而=”g+y而+z房，設而“所求2值即可.

【詳解】

建立力圖所示空間直角坐標系，設尸(0,0,b),A(a,0,0),8(040),D(0,-aO),C(-a,0,0)(〃、〃均不為

0),則麗=(0,a,-b),PC=(-a,O,-Z?),PD=(0-a-b),用=(a,0,—b),

...而=1而｛釁，$

由題意AEEG四點共面，有麗=”g+y而+z對，其中x+y+z=l,設

而=2而=(0,一必_%,Xe(OJ),

.?.?0T)=H升乂—/0,—撲2(0,5—㈣+半警―/與號—呵

-絲=〃

2

3-x

3ax.八53

------a/.z=02ZA--

由方程組（5九4

一2

空—5

52

x+y+z=\

3

故答案為：--

【點睛】

關鍵點點睛：構建空間直角坐標系，利用四點共面有兩=X而+丁即+z對且x+y+z=l,再設而=4而

（0<2<1）,應用空間向量線性關系的坐標表示，列方程組求參數九

2-1-5-

14.-a+—b+—c

326

【分析】

而=而+礪=；（而+砌+g（西+西）+；[g（麗+前）+西+；（而+珂+.],由此

能求出結果.

【詳解】

解：在正方體ABCO-ABCQ中，不=￡,福=尻而=入

。為底面的ABCO的中心，G為AAGO的重心，

AG=AO+OG

=g（通+而）+g（西+祠

=g,+c）+；[g（84+就）+函'+（（通+碼+w]

=1（^+?）+lp+c）+1a+l（b+c）+1a

2-1-5-

=-a^--b+-c.

326

故答案為：益+上+差.

326

【點睛】

本題考查向量的求法，空間向量加法法則等基礎知識的考查，屬于中檔題.

15.[2痣,4忘]

【分析】

建立空間直角坐標系，設。與棱CG的交點為，利用空間向量計算P到町的最小距離和最大距離可得面

積的最值.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，則8（2,2,2）,A（0,0,0）,設a與棱CG的交點為尸，與棱的交點為G

則四邊形BGD.P為平行四邊形.

在面a內過P作的垂線，垂足為Q,則截面的面積為S=|西||迎卜2Gl麗|

設Q（.3）,尸（02>），則取=（2,2,2）,PQ=（xfx-2,x-y）.

因為印用=0,故2》+2（1-2）+2（1-），）=0即版->-2=0,故y=3.”2.

24

因0<3x—2<2,

33

2222A2X2

又\PQ\=^+（x-2）+（x-y）=^+（-2）+（2-2）

=V6A2-12X+8=^6（X-1）24-2,其中

所以、傷引圖4也，故2#KSK4狡，填［2倔4忘］.

【點睛】

空間中點到直線的距離的計算，可把距離放在可解的幾何圖形中，利用解三角形等方法計算該距離，如果

找不到合適的幾何圖形“安置”該距離，則可以建立空間直角坐標系，通過空間向量的方法計算該距離.

16."

【分析】

由無6==-;，可知a、b>c三個向量的夾角，建立空間直角坐標系，用向量坐標進行運算.

【詳解】

共面的三個單位向量〃，5,3滿足a石二必-=5,二=-g,a,b,3彼此夾角為120

如圖，以。起點作為坐標原點。，a所在直線為X軸，以共面的三個單位向量6,d所在平面為MX平

面，在其中以與。垂直方向為y軸，過。點作平面9的垂線，以此垂線為Z軸，建立空間直角坐標系.

公（1,0,0）心卜!冬。）”卜卜白人

設沅=（皿〃,z）

求對于任意X,yeR,恒有|而一(必+)方潤加一=

上式表示用與。，5所在平面中的任意向量的差向量的模最小值為G，即|z|zG

/?\2/rry2

又因為快一口一4=G^zn-I+—J+〃+^-J+z2=3

所以，z=G,-且所=但,-二’

222)

11

ma=—mc=—

22

歷?之=歷?忑符合題意.

m-b=-亭-孚途-。=(1,-73,73)

帆司=,1+3+3=近

【點睛】

解決空間向量的問題常利用空間直角坐標系下的坐標,做解析變換.

17.（1）a=與,0,今或2=-4,0，-岑[；(2)見解析；(3)最大值為2.

X/\

【解析】

2X2-1=0

分析：（1）f（n）=-ii+2（ua）a=V,設4=(xy,z),代入運算得：?2孫=0,從而可得結果；(2)設

[2xz=\

元=（?b,c）,y=（/幾〃,f）,d=（q,a明&),則利用“向最函數”的解析式化簡〃工)?/(力，從而可得結果；⑶

設元與日的夾角為。，則R4=|制例8sa=c,jsa,則

|/（x）-x|=|2x-2（x-a）?|=J（2元-2cosad）-:="-4cos2。42,即最大值為2.

詳解：（1）依題意得：f（u）=-u+2（ua）a="，設。=(x,y,z),代入運算得:

2/-1=°

<2個=0=>a=——,0,——或4=---,0

2xz=l（22）\2

（2）設X=（a,瓦c）,y=（見〃/）,&=（4，〃2,4）,則

/M/(y)=[-^+2(x?)?][-y+2(y-o)d]

=x-y-4(y-a)(x-5)+4(y-a)(x-a)(a)2=x-y-4(y-a)(x-a)+4(y-a)(x-a)=x-y

從而得證；

(3)設無與a的夾角為Q,則元3=|4|d|cosa=cosa,

則⑴一月=|2元一2(元?a)a=J(2》_2cosaqy="-4cos2a?2，故最大值為2.

點睛：新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證定義中各個條件即可.二是考查滿足新定義

的函數的簡單應用，如在某些條件下,滿足新定義的函數有某些新的性質，這也是在新環境下研究“舊”性質，

此時需結合新函數的新性質，探究“舊”性質.三是考查綜合分析能力，主要將新性質有機應用在“舊”性質，

創造性證明更新的性質.

18.(1)證明見解析；(2)與，嚕,

【分析】

(1)通過證明4CJ_OM,A。_1區0得出片。_1平面比>”,即可由線面垂直的性質得出；

(2)以M為坐標原點建立空間直角坐標系，可得ZZX仍為二面角的平面角，/DMB=9,求出

平面BB?C的法向量和福，利用向量關系可表示出直線4A與平面BBCC所成角的正弦值，即可根據。范

圍求出.

【詳解】

(1)證明：如圖，作AC的中點M，連接。M,BM,

在等腰梯形ACGA中，D,歷為AG，AC的中點，

JAC1DM,

在正AABC中，M為4c的中點，

，AC1BM,

VAC1DM,ACIBM,DMp\BM=M,DM，3"u平面8￡>M，

:,4CJ?平面8￡)M，

又BZ)u平面AAC±BD.

(2)解：：ACJ■平面BDM,

在平面87W內作Mz_LAM,以“為坐標原點，以兩，MB，礪,分別為x,》，z,軸正向，如圖建

立空間直角坐標系，

VDM±AC.BMJ.AC,，NDMB為一面角A-AC-8的平面角，^\\ZDMB=O,

A（1,O,O）,8（0,G,0）,C（-1,O,O）,O0,等cos。,等sin。］,C,-g,當cos。,日sin9

化也eos仇與in1,

A222

設平面叫C。的法向量為7=(qz),而=(1,6,0),a=?亭osagsin?

x+\/3y=0

n=0

則有，即1V3行，

n=0—x+——cos0-y+——sin^z=0

〔222

則可叫"』‘甯)’又羽=，L立cos?,立sin"

222

設宜線4A與平面所成角為a,

G

sina=1005^/^4）,/?^=

l-2cos^+cos2^!+2

4+

I+cos0

?TVIn八11

,/.cos^e

3322

叵3如

sinae

13

19.(1)證明見解析；(2)不存在，理由見解析.

【分析】

(1)取AG的中點H,連接PH,"C,利用中位線定理證明四邊形PHCN為平行四邊形,從而得到PNI/CH,

由線面平行的判定定理證明即可：

(2)建立合適的空間直角坐標系，設肝=4福=(40,0),其中1],求出所需點的坐標和向量的

坐標，然后利用待定系數法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出等式，求解即可得到答案.

【詳解】

解析(1)證明：取的中點兒連接P”，HC.

在塹堵ABC-A4G中，四邊形8CG4為平行四邊形，

所以4G〃8C且qG=8C.

在ZM笈G中，p,”分別為A4，AG的中點，

所以產“〃4G旦夕〃=3邛；.

因為N為8C的中點，所以NC=g8C,

仄而NC=PHRNC//PH,

所以四邊形PHCN為平行四邊形，干是PNHCH.

因為C〃u平面AG。4,PNa平面AG。，所以PN〃平面AAGC

(2)以A為原點,A3,AC,AA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則A(0,0，D，40,0,1),

易知平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1).

假設滿足條件的點P存在，令/=4隔=(40,0),

設平面PMN的一個法向量是G=（x,y,z）,

n-NM=0,

則

無兩=0,

令％=3,得y=l+2A,z=2—2A.,

所以G=(3,l+242—2/i).

---12-22141解得2=-g，故點?不在線段A片上

由題意得Icos。”,〃〉|=7——,----=—

。9+(1+24)2+(2-22)22

方法點睛：利用空間直角坐標系求二面角具體做法：

1.設分別設出兩個平面的法向量,〃1=（禮y,Z|）；〃2=（X2,）2Z2）

2.求出平面內線段所在直線的向量式（每個平面求出兩個向量）

3.利用法向量垂直平面，即垂直平面內所有直線，建立方程組（3元一次方程組，僅兩個方程）

（1）建立的條件是，兩個相互垂直的向量,乘積為0

（2）由于法向量有3個未知數，我們通常只用建立兩個方程組成的方程組.

（3）賦值：即是賦予法向量的三個未知數中的某一個一個確實的代數值，

4.利用空間向量數量積求得兩個法向量的余弦值.

5.判斷范圍，注意正負取值.

oR

20.（1）-；（2）

55

【分析】

根據題目信息建立空間直角坐標系，

SQ

（1）將直線BE尸。的方向向量表示出來，根據數量積等于0求解題目中丸的取值，進而可以求得不皿=不

*BDEFD

最后獲得體積之比；

(2)分別將兩個平面的法向是求解出來，根據面面角的公式求解平面角的余弦值，最后根據角是鈍角得出

結果即可.

【詳解】

⑴取E尸的中點為G,

因為EF=2BD即EF//BD,所以PE=PF、

所以PG_L所.又因為平面PEVJ_平面BCDEF,

平面PE尸Cl平面BCDEF=EF,

所以PG_L平面8CDEE,

連接GC,由題意可知GC_LE￡

以點G為坐標原點，分別以GRGCGP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則尸(4,0,0),4),0),P((),(),&),￡)(-1,百(l—Q,0),

所以港=(1_/1,6(1_2),0)，DP(1,-73(1-2),^2)*

2

解得：％=§或者4=1(舍)；

因為三棱錐P-BCO和四棱錐2一8￡坦廠的體積分別為匕，力，

所以V廣.SBCDS9

“2>.BDEF〉)DEF,

(2)二面角石-尸尸-8是定值，證明如下：

由(1)知，面EPb的法向量1二(0,1,0),

由ra=(l-2,>/3(l-