倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育第七章隨機變量及其分布第七章隨機變量及其分布7.37.3離散型隨機變量的數字特征知識梳理知識梳理知識點一離散型隨機變量的均值離散型隨機變量的均值的概念一般地，若X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機變量X的均值離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．離散型隨機變量的均值的性質若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關系均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合隨機變量的取值和取值的概率，反映隨機變量取值的平均水平．若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(1)區別：隨機變量的均值是一個常數，不依賴于樣本的抽取，樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．(2)聯系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．知識點二離散型隨機變量的方差、標準差設離散型隨機變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差，記為σ(X)．離散型隨機變量方差的性質1．設a，b為常數，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數)．題型探究題型探究例1．某小微企業生產一種如下圖所示的電路子模塊，要求三個不同位置1、2、3接入三種不同類型的電子元件，且備選電子元件為A、B、C型，它們正常工作的概率分別為0.9、0.8、0.7.假設接入三個位置的元件能否正常工作相互獨立.當且僅當1號位元件正常工作，同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時，電路子模塊才能正常工作.（1）共可組裝出多少種不同的電路子模塊？（2）求電路子模塊能正常工作的概率最大值；（3）若以每件5元、3元、2元的價格分別購進A、B、C型元件各1000件，組裝成1000套電路子模塊出售，設每套子模塊組裝費為20元.每套子模塊的售價為150元，但每售出1套不能正常工作子模塊，除退還購買款外，還將支付購買款的3倍作為賠償金.求生產銷售1000套電路子模塊的最大期望利潤.【答案】（1）6；（2）；（3）27600元.【詳解】（1）電子元件為A、B、C設接入三個位置共有種不同的子模塊；（2）根據1號位放入A、B、C三種元件，共有三種情況，記其正常工作為A、B、C事件，可得：，，，則，所以1號位接型電子元件時，子模塊正常工作的概率最大為；（3）若要最大利潤，選擇正常工作的概率最大的電路子模塊，應把A型元件接入1號位，此時，設1000套子模塊中能正常工作的套數為X，利潤為Y，則，則，所以，，故生產銷售1000套電路子模塊的最大期望利潤為27600元.例2．2021年4月17日，江蘇園博會正式向公眾開放.昔日廢棄采礦區化繭成蝶，變身成了"世界級山地花園群”.園博園的核心景區蘇韻薈谷以流水串聯，再現了江蘇13個地市歷史名園的芳華，行走其間，仿佛穿游在千年歷史長河中，吸引眾多游客前來打卡某旅行社開發了江蘇園博園一-日游線路，考慮成本與防疫要求，每團人數限定為不少于35人，不多于40人除去成本，旅行社盈利100元/人.已知該旅行社已經發出的10個旅行團的游客人數如下表所示∶序號12345游客人數3935383836序號678910游客人數3940374038（1）該旅行社計劃從這10個團隊中隨機抽取3個團隊的游客，就服務滿意度進行回訪，求這3個團隊人數不全相同的概率；（2）預計暑假期間發團200個，將盈利總額記為X(單位∶萬元)，用上表中的頻率估計概率，求X的數學期望.【答案】（1）；（2）(萬元).【詳解】解：游客人數353637383940次數統計111322頻率(注∶上述表格不一定要出現，只要在解題中說明各種人數出現次數就可以)（1）設這3個團隊人數不全相同為事件A故這3個團隊人數不全相同的概率是（2）X的可能取值為70，72，74，76，78，80.X的分布列為X707274767880P(萬元).例3．“云課堂”是基于云計算技術的一種高效?便捷?實時互動的遠程教學課堂形式使用者只需要通過互聯網界面，進行簡單的操作，可快速高效地與全球各地學生?教師家長等不同用戶同步分享語音?視頻及數據文件隨著計算機虛擬技術的不斷成熟和虛擬技術操作更接近于大眾化，虛擬課堂在各大院校以及企業大學中的應用更廣泛?更靈活?智能，對現今教育體制改革和職業人才培養起到很大的推動作用某大學采取線上“云課堂”和線下面授的形式授課.現為調查學生成績獲得優秀與否與每天“云課堂”學習時長是否有關，隨機抽取學生樣本50人進行學習時長統計，并按學生每天“云課堂”學習時長是否超過6小時分為兩類，得到如下列聯表.每天“云課堂”學習時長超過6小時每天“云課堂”學習時長不超過6小時合計優秀5不優秀10合計50已知在50人中隨機抽取一人，是優秀且每天“云課堂”學習時長超過6小時的概率為0.4.（1）請將上面的列聯表補充完整(不用寫計算過程).（2）是否有99.5%的把握認為學生成績獲得優秀與否與每天“云課堂”學習時長有關？（3）該校通過“云課堂”學習的學生，在期末測試時被要求現場完成答題，每答對一道題積2分，答錯積0分，每人有3次答題機會(假設每個人都答完3道題).已知甲同學每道題答對的概率為，3道題之間答對與否互不影響，設甲同學期末測試得分為，求的數學期望.附：，其中.參考數據：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯表答案見解析；（2）有99.5%的把握認為學生成績獲得優秀與否與每天“云課堂”學習時長有關；（3）.【詳解】（1）完成列聯表如下每天“云課堂”學習時長超過6小時每天“云課堂”學習時長不超過6小時合計優秀20525不優秀101525合計302050（2），所以有99.5%的把握認為學生成績獲得優秀與否與每天“云課堂”學習時長有關.（3）甲同學期末測試得分的可能取值為0，2，4，6，則，，，，所以隨機變量的分布列為0246所以.例4．國際比賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場比賽的失敗者直接淘汰，常見的有等等．表示雙方進行一局比賽，獲勝者晉級．表示雙方最多進行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級；若前兩局兩人各勝一局，則需要進行第三局決勝負．現在四人進行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進行，勝者晉級，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨立．（1）在C進入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；（2）記A參加比賽獲勝的局數為X，求X的分布列與數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【詳解】解：（1）進入第二輪的概率為，與比賽，獲勝，與比賽，獲勝，且與比賽，獲勝，其概率為，故在進入第二輪的前提下，最終獲得冠軍的概率．（2）參加比賽獲勝的局數的取值有0，1，2，3．，，，．的分布列為：0123．例5．某企業有甲?乙兩條生產同種產品的生產線，據調查統計，100次生產該產品所用時間的頻數分布表如下：所用的時間(單位：天)10111213甲生產線的頻數10201010乙生產線的頻數520205假設訂單約定交貨時間為11天，訂單約定交貨時間為12天(將頻率視為概率，當天完成即可交貨).（1）為最大可能在約定時間交貨，判斷訂單和訂單應如何選擇各自的生產線(訂單互不影響)；（2）已知甲?乙生產線每次的生產成本均為3萬元，若生產時間超過11天，生產成本將每天增加5000元，求這100次生產產品分別在甲?乙兩條生產線的平均成本.【答案】（1）訂單選擇甲生產線，訂單選擇乙生產線；（2）甲生產線的平均成本為萬元，乙生產線的平均成本為萬元.【詳解】（1）頻率分布表如下：所用的時間(單位：天)10111213甲生產線的頻率乙生產線的頻率設分別表示訂單選擇甲?乙生產線在約定時間交貨；分別表示訂單選擇甲?乙生產線在約定時間交貨.則，，，所以訂單選擇甲生產線，訂單選擇乙生產線.（2）記為甲生產線的生產成本的取值，為甲生產線的生產成本的取值，由題意可得，可能取的值為，，；可能取的值為，，；由（1）可知，，，，，，甲生產線的平均成本為萬元，乙生產線的平均成本為萬元.課后小練課后小練1.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售價6元.如果當天賣不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶茶店記錄了60天這款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯數20253035404550天數55101510105以60天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率.（1）從這60天中任取2天，求這2天的日需求量至少有一天為35的概率；（2）①若奶茶店一天準備了35杯這款新品奶茶，用ξ表示當天銷售這款新品奶茶的利潤(單位：元)，求ξ的分布列和數學期望；②假設奶茶店每天準備的這款新品奶茶倍數都是5的倍數，有顧客建議店主每天準備40杯這款新品奶茶，你認為店主應該接受這個建議嗎？請說明理由.2.為了解華人社區對接種新冠疫苗的態度，美中亞裔健康協會日前通過社交媒體，進行了小規模的社區調查，結果顯示，多達73.4%的華人受訪者最擔心接種疫苗后會有副作用.其實任何一種疫苗都有一定的副作用，接種新型冠狀病毒疫苗后也是有一定副作用的，這跟個人的體質有關系，有的人會出現副作用，而有的人不會出現副作用.在接種新冠疫苗的副作用中，有發熱、疲乏、頭痛等表現.為了了解接種某種疫苗后是否會出現疲乏癥狀的副作用，某組織隨機抽取了某地200人進行調查，得到統計數據如下：無疲乏癥狀有疲乏癥狀總計未接種疫苗10020120接種疫苗xyn總計160m200（1）求2×2列聯表中的數據x，y，m，n的值，并確定能否有85%的把握認為有疲乏癥狀與接種此種疫苗有關.（2）從接種疫苗的n人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出8人，再從8人中隨機抽取3人做進一步調查.若初始總分為10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏癥狀減1分，每有一人沒有疲乏癥狀加2分，設得分結果總和為X，求X的分布列和數學期望.P(0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.6353.自“新冠肺炎”爆發以來，中國科研團隊一直在積極地研發“新冠疫苗”，在科研人員不懈努力下，我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權，研發疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進行了一些實驗．（1）實驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環境中，實驗結果發現，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，現從這10只白兔中隨機抽取4只進行研究，將仍被感染的白兔只數記作X，求X的分布列和數學期望．（2）科研人員在另一個實驗中發現，疫苗可多次連續注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響，相互獨立，試問，若將實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達到96%，如若可以請說明理由，若不可以，請問每支疫苗的有效率至少要達到多少才能滿足以上要求．4.某公司開發了一款手機應用軟件，為了解用戶對這款軟件的滿意度，推出該軟件3個月后，從使用該軟件的用戶中隨機抽查了1000名，將所得的滿意度的分數分成7組：[30,40),[40,50),???,[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖.根據所得的滿意度的分數，將用戶的滿意度分為兩個等級：滿意度的分數[30,60)[60,100]滿意度的等級不滿意滿意（1）從使用該軟件的用戶中隨機抽取1人，估計其滿意度的等級為“滿意”的概率；（2）用頻率估計概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機抽取2人，以X表示這2人中滿意度的等級為“滿意”的人數，求X的分布列和數學期望.5.甲、乙、丙三人參加學校“元旦嘉年華”競答游戲，活動的規則為：甲、乙、丙三人先分別坐在圓桌的A，B，C三點，第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競答對手，如果點數是奇數，則按逆時針選擇乙，如果是偶數，則按順時針選丙，下一輪由上一輪擲骰子選中的對手繼續通過擲骰子決定竟答對手，如果點數是奇數按逆時針選對手，點數是偶數按順時針選對手，已知每場競答甲對乙、甲對丙、乙對丙獲勝的概率分別為23，13，12且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪游戲亦互不影響，比賽中某選手累計獲勝場數達到2（1）求比賽進行了3場且甲晉級的概率；（2）當比賽進行了3場后結束，記甲獲勝的場數為X，求X的分布列與數學期望．

答案解析【答案】（1）由題意得，從60天中任取2天的日需求量至少有一天為35的概率為：P=1-C452C602=26如果當天只賣出20杯，則利潤ξ=20×2-15×4=-20元，P(如果當天只賣出25杯，則利潤ξ=25×2-10×4=10元，P(如果當天只賣出30杯，則利潤ξ=30×2-5×4=40元，P(如果當天賣出35杯，則利潤ξ=35×2=70元，P所以ξ的分布列為：ξ-20104070P1112則E(ξ)=-20×②若店主每天準備40杯這款新品奶茶，如果當天只賣出20杯，則利潤ξ=20×2-20×4=-40元，P(如果當天只賣出25杯，則利潤ξ=25×2-15×4=-10元，P(如果當天只賣出30杯，則利潤ξ=30×2-10×4=20元，P(如果當天賣出35杯，則利潤ξ=35×2-5×4=50元，P(如果當天需求大于等于40杯，則利潤ξ=40×2=80，P所以ξ的數學期望為E(ξ因為45<1052，所以每天準備40【解析】

（1）從這60天中任取2天，則這2天的日需求量至少有一天為35杯的概率P=1-C452C602=2659

；

（2）①由題意可得：若當天只賣出20杯，則利潤ξ=20×2-15×4=-20

元；同理可得若當天只賣出25杯、30杯、35杯的利潤，即可得出ξ的分布列與E(ξ)；

②若店主每天準備40杯這款新品奶茶，若當天需求20杯，可得利潤ξ=20×2-20×4=-40

元，P(ξ=-40)=1122.【答案】（1）解：由題意得：m=200-160=40，y=mx=160-100=60，n因為K2所以有85%的把握認為有疲乏癥狀與接種此種疫苗有關.

（2）解：從接種疫苗的n人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出8人，可知8人中無疲乏癥狀的有6人，有疲乏癥狀的有2人，再從8人中隨機抽取3人，當這3人中恰有2人有疲乏癥狀時，X=10；當這3人中恰有1人有疲乏癥狀時，X=13；當這3人中沒有人有疲乏癥狀時，因為P(X=10)=C22C61所以X的分布列如下：X101316P3155期望E(【解析】（1）由2×2列聯表中的數據求出x，y，m，n的值，得出K2≈2.083＞2.072，即可得出結論；

（2）隨機變量X所有可能取的值為10，13，16，求出對應的概率，得到分布列，然后求解期望即可．3.【答案】（1）解：因為X可取0,1,2,3，所以P(所以P(x=0)=C3P(x=2)=C32所以X的分布列如下：X0123P1131E(x)=0×16+1×12+2×所以注射一次疫苗的有效率為0.7，又因為每次注射的疫苗對白兔是否有效相互獨立，所以一只白兔注射兩次疫苗的有效率為：1-(1-0.7)2設每支疫苗有效率至少達到t才能滿足要求，則1-(1-t)2=96%所以每支疫苗的有效率至少要達到80%才能滿足以上要求.【解析】（1）先分析出

X的可能可取值，然后根據超幾何分布模型求解

X取不同值時的概率，由此可求得的分布列，并根據分布列可計算出數學期望；

（2）根據已知條件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后計算