重難點(diǎn)01空間向量解決動(dòng)點(diǎn)探究問題一、與空間向量有關(guān)的探索性問題一類是探索線面位置關(guān)系的存在性問題，即線面的平行與垂直，另一類是探索線面的數(shù)量關(guān)系的存在性問題，即線面角或?yàn)槊娼粷M足特定要求是的存在性問題。二、利用空間向量解決立體幾何的探索性問題思路：（1）根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。（2）假設(shè)所成的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。三、動(dòng)點(diǎn)的設(shè)法（減少變量數(shù)量）在解決探索性問題中點(diǎn)的存在性四，經(jīng)常需要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，而(x,y,z)可表示空間中的任一點(diǎn)，使用三個(gè)變量設(shè)點(diǎn)需要列三個(gè)方程，導(dǎo)致運(yùn)算量增大。為了減少變量數(shù)量，用以下設(shè)法。1、直線（一維）上的點(diǎn)：用一個(gè)變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)；依據(jù)：根據(jù)平面向量共線定理—若，使得【示例】已知，，那么直線上的某點(diǎn)坐標(biāo)可用一個(gè)變量表示，方法如下：，因?yàn)樵谏?，所以∴，所以可設(shè)點(diǎn).2、平面（二維）上的點(diǎn)：用兩個(gè)變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)。依據(jù)：平面向量基本定理—若，不共線，則平面上任意一個(gè)向量，均存在，，使得【示例】已知，，，則平面上某點(diǎn)坐標(biāo)可用兩個(gè)變量表示，方法如下：，，故，即所以可設(shè)點(diǎn).【題型1線線平行中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例1】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E是的中點(diǎn)．直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得？【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．【變式1-2】（2023秋·廣東廣州·高一?？计谥校┤鐖D，在幾何體中，平面平面.四邊形為矩形.在四邊形中，.（1）點(diǎn)在線段上，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）若為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD與底面成角．（1）若，求該幾何體的體積；（2）若AE垂直PD于E，證明：；（3）在（2）的條件下，PB上是否存在點(diǎn)F，使得，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型2線面平行中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例2】（2023秋·云南大理·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，正四棱錐為側(cè)棱上的點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【變式2-1】（2022秋·福建廈門·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點(diǎn)在線段上，且滿足.

（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）在線段是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式2-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖幾何體為圓臺(tái)一部分，上下底面分別為半徑為1，2的扇形，，體積為．（1）求；（2）劣弧上是否存在使∥平面．猜想并證明．【變式2-3】（2022秋·北京·高二統(tǒng)考期末）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面?

若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型3面面平行中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型4線線垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例4】（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱中，為的中點(diǎn)．

（1）用以為空間的一組基底表示向量．（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式4-1】（2023秋·上海·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)常數(shù)．如圖在矩形中，平面．若線段上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【變式4-2】（2023秋·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，．是線段上的點(diǎn)．（1）若，求證：平面．（2）若，在線段上是否存在點(diǎn)．使，若存在．求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式4-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．【題型5線面垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例5】（2023秋·福建廈門·高二校考階段練習(xí)）如圖，在矩形和中，，，，，，，記.（1）將用，，表示出來，并求的最小值；（2）是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式5-1】（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，底面，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【變式5-2】（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.

（1）若點(diǎn)滿足，求證：平面；（2）底面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式5-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.

（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【題型6面面垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由

【變式6-1】（2023秋·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）在中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，滿足且，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求與平面所成角的大小；（2）在線段上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)、重合），使平面與平面垂直?若存在，求出與的比值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式6-2】（2023秋·山東聊城·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求證：平面．（2）線段上是否存在點(diǎn)M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-3】（2023秋·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.（1）求證：平面；（2）判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【題型7線線角中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例7】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若線段AB上存在點(diǎn)F（不含端點(diǎn)），使得異面直線PA和EF所成的角的大小為30°，則線段AF長(zhǎng)的取值范圍是.【變式7-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，且，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）在棱A1B1上是否存在一點(diǎn)M，使得異面直線MF與AC所成的角為30°？若存在，指出M的位置；若不存在，說明理由．【變式7-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，所有的棱長(zhǎng)均為2，M是邊的中點(diǎn)，則在棱上是否存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為？【變式7-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是PB，AD的中點(diǎn)．（1）求證：平面PCB；（2）在AP上是否存在一點(diǎn)M，使得DM與PC所成角為60°？若存在，求出M點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型8線面角中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例8】（2023秋·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）在三棱臺(tái)中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面．（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】（2023秋·遼寧大連·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將沿AE折起，使得D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面ABCE）．（1）證明：平面POB；（2）若，試判斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為，若存在，確定Q點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．【變式8-2】（2023秋·陜西寶雞·高二校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面．（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式8-3】（2023秋·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）已知幾何體，如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)M在棱DG上．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型9二面角中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例9】（2023秋·北京·高二校考階段練習(xí)）在四棱柱中，平面平面，，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，.

（1）求直線與平面所成角的大??；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【變式9-1】（2023秋·山東泰安·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．

（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說明理由．【變式9-2】（2023秋·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)M，使得二面角的大小為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式9-3】（2023秋·遼寧丹東·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面.（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【題型10空間距離中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例10】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.（1）求四棱錐的體積；（2）是否存在點(diǎn)D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1?若存在，求出此時(shí)線段DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式10-1】（2022秋·黑龍江大慶·高二?？计谀﹫D是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大??；若不存在，說明理由.【變式10-2】（2022秋·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，為矩形，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）證明：在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為2，若存在，求的值.不存在,請(qǐng)說明理由.【變式10-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長(zhǎng)均為3.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022秋·遼寧沈陽·高三?？计谥校┤鐖D，在多面體中，平面平面，，，，，．（1）求平面與平面所成二面角的正弦值；（2）若是棱的中點(diǎn)，對(duì)于棱上是否存在一點(diǎn)，使得．若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2022·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱錐中，，，P在側(cè)棱上，平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.3．（2022春·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，．（1）求直線與直線所成角的余弦值．（2）若在線段上存在一點(diǎn)D，且=t，當(dāng)時(shí)，求t的值．4．（2023春·新疆·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，已知四邊形為菱形，，為正三角形，平面平面.（1）求二面角的大??；（2）在線段SC（端點(diǎn)S，C除外）上是否存在一點(diǎn)M，使得？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.5．（2022秋·廣東茂名·高二校聯(lián)考期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1

圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.6．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_學(xué)考試）已知四棱