清單06函數的基本性質（單調性、奇偶性、對稱性、周期性）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數的圖象1.1、函數圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.1.2、函數圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；1.3、函數圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）【清單02】函數的單調性2.1增函數一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，那么就稱函數在區間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(increasingfunction).2.2減函數一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，那么就稱函數在區間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(decreasingfunction).【清單03】函數的奇偶性3.1偶函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.3.2奇函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.【清單04】函數奇偶性的判斷4.1定義法：（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.（2）求，根據與的關系，判斷的奇偶性：①若是奇函數②若是偶函數③若既是奇函數又是偶函數④若既不是奇函數也不是偶函數4.2圖象法：（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.（2）若的圖象關于軸對稱是偶函數（3）若的圖象關于原點對稱是奇函數4.3性質法：，在它們的公共定義域上有下面的結論：偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數奇函數不能確定不能確定奇函數奇函數奇函數偶函數不能確定不能確定奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數【清單05】冪函數的圖象與性質5.1、五個冪函數的圖象(記憶五個冪函數的圖象）當時，我們得到五個冪函數：；；；；5.2、五個冪函數的性質定義域值域奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶奇函數單調性在上單調遞增在上單調遞減在單調遞增在上單調遞增在單調遞增在上單調遞減在上單調遞減定點【考點題型一】函數圖象識別核心方法：特殊值法，單調性，奇偶性，零點，極限法【例1-1】（24-25高一上·廣東清遠·期中）函數的圖象大致為（

）A．B．C． D．【例1-2】（24-25高一上·北京朝陽·期中）函數的圖象大致為（

）A． B．

C．

D．

【變式1-1】（24-25高一上·黑龍江·期中）函數的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（24-25高一上·吉林長春·期中）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【考點題型二】判斷并證明函數的單調性核心方法：證明單調性只能用定義法判斷單調性：①（）；②（）③圖象法【例2】（24-25高一上·廣東珠海·期中）已知函數，．

(1)畫出當時，函數y=fx的圖象；(2)探究函數y=fx【變式2-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數的圖象過點和．(1)求函數的解析式；(2)判斷函數在區間0,+∞上的單調性，并用單調性的定義證明.

【變式2-2】（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知函數．(1)求函數的解析式．(2)判斷函數的單調性并證明；【考點題型三】求函數的單調區間核心方法：圖象法【例3】（24-25高一上·吉林長春·期中）函數的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．【變式3-1】（24-25高一上·廣東茂名·期中）函數的單調遞減區間為.【變式3-2】（2024高一·全國·專題練習）函數的單調遞增區間是．【考點題型四】求復合函數的單調區間（注意優先考慮定義域）核心方法：同增異減【例4】（23-24高一上·陜西西安·階段練習）函數的單調增區間是．【變式4-1】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【考點題型五】根據函數單調性求參數核心方法：圖象法【例5-1】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5-2】（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是.【變式5-1】（24-25高一上·廣西河池·階段練習）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一上·廣東清遠·期中）若在上是減函數，則（

）A． B．C． D．【考點題型六】判斷函數的奇偶性核心方法：①定義法②圖象法③性質法偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數奇函數不能確定不能確定奇函數奇函數奇函數偶函數不能確定不能確定奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數【例6】（24-25高一上·上海徐匯·期中）下列函數中，偶函數的序號為①②③

④【變式6-1】（24-25高一上·甘肅武威·期中）在定義域內既是奇函數又是減函數的是（

）A． B．C． D．【變式6-2】（多選）（24-25高一上·陜西咸陽·期中）下列函數中，是偶函數且在區間上單調遞減的是（

）A． B． C． D．【考點題型七】利用函數奇偶性求參數，求值核心方法：奇偶性定義【例7】（24-25高一上·四川成都·期中）已知為定義在R上的奇函數，當時，，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【變式7-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函數，且，則（

）.A． B． C． D．3【變式7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）若函數為奇函數，則實數.【考點題型八】利用函數奇偶性解不等式核心方法：奇偶性+單調性（特別注意容易忽視定義域）【例8-1】（多選）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函數是定義域為的奇函數，且對任意，當時，總有，則滿足的x的值可能是（

）A． B． C． D．【例8-2】（24-25高一上·天津南開）定義在上的偶函數，當時，為減函數，則滿足不等式的的取值范圍是.【變式8-1】（24-25高一上·湖北黃岡·期中）已知定義域為的偶函數滿足：對任意，，都有成立，則滿足的x取值范圍是（

）A．?∞,1 B． C． D．【變式8-2】（24-25高一上·天津津南·期中）定義在R上的偶函數在上單調遞減，則不等式的解集（

）A． B． C． D．【考點題型九】函數的對稱性和周期性【例9】（24-25高三上·遼寧錦州·期中）已知函數為偶函數，且的圖象關于點對稱，當時，，則（

）A．2024 B．2 C．1 D．0【變式9-1】（多選）（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知的定義域為，為奇函數，為偶函數，則（

）A． B．C．為偶函數 D．【變式9-2】（多選）（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數的定義域為，對任意都有，且，，則（

）A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱C． D．為偶函數【考點題型十】函數單調性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應用【例10】（多選）（24-25高一上·重慶·期中）已知定義在R上的偶函數和奇函數滿足，則（

）A．的圖象關于點對稱B．是以8為周期的周期函數C．存在函數，使得對，都有D．【變式10-1】（多選）（24-25高三上·全國·階段練習）已知函數是定義域為R的奇函數，且，則（

）A． B．的一個周期是3C．的一個對稱中心是 D．【變式10-2】（多選）（24-25高三上·甘肅金昌·期中）已知函數的定義域為R，函數是奇函數，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．函數的圖象關于軸對稱C．D．若函數滿足，則【考點題型十一】利用函數奇偶性求解析式【例11】（24-25高一上·陜西咸陽·期中）已知函數是奇函數，且當時，，則當時，的解析式為.【變式11-1】（23-24高一上·遼寧沈陽·期中）已知是定義域為的奇函數，當時，，則當時，．【變式11-2】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數是偶函數，當時，，則當時，．【考點題型十二】求分段函數的單調區間【例12】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知函數.(1)畫出函數圖象并寫出函數的單調區間（不需要證明）；(2)求集合M={m|使方程有兩個不相等的實根}.【變式12-1】（23-24高一上·陜西商洛·期中）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．

(1)求函數在上的解析式；(2)畫出函數的圖像并根據圖像寫出函數的單調區間和值域．【變式12-2】（23-24高一上·天津）函數的單調遞增區間為.（用開區間表示）【考點題型十三】根據分段函數的單調性求參數【例13】（24-25高一上·河南洛陽·期中）設若函數y=f(x)是單調遞增函數，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式13-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函數是上的單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式13-2】（24-25高一上·甘肅金昌·期中）已知函數在R上單調遞增，則實數的取值范圍為.【考點題型十四】分段函數的值域或最值問題核心方法：圖象法【例14】（24-25高一上·天津·期中）給定函數，，用表示函數，中的較大者，即,，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．2【變式14-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，記，則函數的最小值為（

）A．0 B．1 C．3 D．12【變式14-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）定義運算，已知函數，則的最大值為.【考點題型十五】二次函數的最值問題（不含參數的二次函數最值問題）核心方法：配方法+圖象法【例15】（24-25高一上·貴州·期中）已知函數滿足.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.【變式15-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函數的最小值是（

）A． B． C． D．【變式15-2】（24-25高一上·陜西漢中·期中）函數的值域是.【考點題型十六】二次函數的最值問題（含參數的二次函數最值問題）核心方法：圖象法+分類討論【例16-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數．(1)已知，若，求實數取值范圍；(2)求在上的最小值；(3)函數的最大值．【例16-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數是定義在R上的偶函數，且當時，，函數在軸左側的圖象如圖所示，請根據圖象；

(1)畫出在軸右側的圖象，并寫出函數的單調區間；(2)寫出函數的解析式；(3)若函數，求函數的最小值.【變式16-1】（24-25高一上·河南洛陽·期中）已知函數(1)若函數是偶函數，求實數k的值；(2)若不等式的解集為，求實數k的值；(3)求函數在上的最小值.【變式16-2】（24-25高一上·廣東清遠·期中）已知函數是上的奇函數，(1)求實數的值；(2)求函數的值域.【考點題型十七】恒成立與能成立問題核心方法：判別法+變量分離法+基本不等式+對勾函數【例17-1】（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數.(1)證明：函數在區間上單調遞增；(2)設，若對任意的，，恒成立，求實數的取值范圍.【例17-2】（24-25高一上·湖南邵陽·階段練習）設函數.(1)若關于x的不等式有實數解，求實數a的取值范圍；(2)若不等式對于實數時恒成立，求實數x的取值范圍.【變式17-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定義域是的奇函數，當時，.(1)若，求的值；(2)若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍；(3)若，不等式在區間上恒成立，求的取值范圍.【變式17-2】（24-25高一上·湖北·階段練習）設，其中，記．(1)若，求的值域；(2)若，記函數對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍；(3)若，求實數的取值范圍．【考點題型十八】抽象函數綜合問題【例18】（24-25高一上·湖北·期中）函數的定義域為，且滿足對于任意，有，當時，.(1)證明：是偶函數；(2)如果，解不等式.【變式18-1】（24-25高一上·重慶·期中）已知定義域在上的函數滿足：，且當時，.(1)求，的值；(2)證明是偶函數；(3)解不等式.【變式18-2】（24-25高一上·江西景德鎮·期中）設函數滿足：①對任意實數都有；②對任意，都有恒成立；③不恒為0，且當時，.(1)求的值；(2)判斷函數的奇偶性，并給出你的證明.(3)定義“若存在非零常數，使得對函數定義域中的任意一個，均有，則稱為以為周期的周期函數”.試證明：函數為周期函數，并求出的值.【考點題型十九】函數基本性質中的新定義問題【例19】（24-25高一上·湖北·期中）對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：①在上是單調函數；②當時，，則稱是該函數的“優美區間”.(1)求證：是函數的一個“優美區間”；(2)求證：函數不存在“優美區間”；(3)已知函數有“優美區間”，當取得最大值時，求的值.【變式19-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函數對任意的均有，則稱函數具有性質.(1)判斷下面函數①；②是否具有性質，并說明理由；(2)全集為，函數，試判斷并證明函數是否具有性質；(3)若函數具有性質，且，求證：對任意，，均有.【變式19-2】（24-25高一上·山東青島·期中）對于區間，若函數同時滿足：①在上是單調函數，②函數在的值域是，則稱區間為函數的“保值”區間.(1)求函數的所有“保值”區間；(2)判斷函數是否存在“保值”區間，并說明理由；(3)已知函數有“保值”區間，當取得最大值時求的值.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·天津南開·期中）已知函數，若，則（

）A． B． C．3 D．52．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）函數為定義在R上的偶函數，且對任意都有則下列關系正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函數，且對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數，若在上的值域為，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·黑龍江鶴崗·期中）函數的值域是（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·天津北辰·期中）已知函數，其中為奇函數，若，則（

）A．2017 B．2018 C．2023 D．20227．（24-25高一上·福建廈門·期中）若是定義在上的偶函數，且在上是減函數，且不等式對于一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，若正實數滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知函數的定義域是，且，