第第6頁（共23頁）第15章軸對稱圖形與等腰三角形一、選擇題1．下列圖案中，是軸對稱圖形的是()如圖，P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA，OB的對稱點P1、P2，連接OP，OP1，OP2，則下列結論正確的是()A．OP1⊥OP2B．OP1＝OP2C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2D．OP1≠OP23．將一張正方形紙片按如圖①，圖②所示的方向對折，然后沿圖③中的虛線剪裁得到圖④，將圖④的紙片展開鋪平，得到的圖案是()4．如圖，在等腰三角形ABO中，∠ABO＝90°，腰長為3，則A點關于y軸的對稱點的坐標為()A．(－3，3)B．(－3，－3)C．(3，3)D．(3，－3)5.(如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數為()A．35°B．40°C．45°D．50°6．已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為()A．11B．16C．17D．16或177．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于()A.eq\r(3)cmB．2cmC．3cmD．4cm8．如圖，在等邊三角形ABC中，中線AD，BE交于F，則圖中共有等腰三角形()A．3個B．4個C．5個D．6個如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，小于AC的任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是()①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點D在AB的垂直平分線上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1B．2C．3D．410．如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A6B6A7的邊長為()A．8B．16C．32D．64二、填空題11．如圖，一個英語單詞的四個字母都關于直線l對稱，請在圖上補全字母，并寫出這個單詞所指的物品是________．12．點P(－1－2a，5)關于x軸的對稱點與點Q(3，b)關于y軸的對稱點重合，則點(a，b)關于x軸的對稱點的坐標為________．13．如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在B′處，DB′，EB′分別交AC于點F，G.若∠ADF＝80°，則∠DEG的度數為________．14．如圖，兩塊相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一塊繞直角頂點B逆時針旋轉到△A′BC′的位置，點C′在AC上，A′C′與AB相交于點D，則C′D＝________．三、解答題15．(1)如圖，寫出圖中四邊形的4個頂點坐標．(2)圖中4個點的縱坐標不變，將橫坐標都乘－1，請在圖中標出這樣的4個點．(3)順次連接(2)中你畫出的4個點所得四邊形與原來的四邊形有什么樣的位置關系？16．如圖，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交BC的延長線于點F，交AD于點E，連接AF.求證：∠B＝∠CAF.17．如圖，AC是某座大橋的一部分，DC部分因受臺風侵襲已垮塌，為了修補這座大橋，需要對DC的長進行測量，測量人員在沒有垮塌的橋上選取兩點A和D，在C處對岸立著的橋墩上選取一點B(BC⊥AC)，然后測得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60m．求DC的長．18．如圖所示，EG∥AF，請你在下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，得出一個真命題．①AB＝AC；②DE＝DF；③BE＝CF.(1)寫出一個真命題：如果EG∥AF，________，________，那么________．請證明這個命題；(2)再寫出一個真命題．(不要求證明)19．如圖，在5×5的正方形網格中，有線段AB和直線MN.(1)在MN上找一點C，使△ABC的周長最小．(2)在網格中作出點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，且點P要在格點上，則這樣的點P有多少個？20．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為△ABC外一點，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延長線于E點．求證：DE＝AE＋BC.21．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，延長DF交AB于點E，連接CE.(1)求證：AE＝CE＝BE.(2)若AB＝15cm，P是直線DE上的一點．則當P在何處時，PB＋PC最小？并求出此時PB＋PC的值．22．已知△ABC為等邊三角形，如圖①，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM＝CN，直線BN與AM相交于Q點．(1)圖①中∠BQM等于多少度？(2)若M、N兩點分別在線段BC、CA的延長線上，其他條件不變，如圖②所示，(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題1.D2.B3.B4.C5.A6.D7.C8.D9．D10.C二、填空題11.書，圖略12.(1，5)13.70°14.eq\f(5,2)點撥：∵∠A＝30°，AC＝10，∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，BC′＝BC＝eq\f(1,2)AC＝5.∴△BCC′是等邊三角形，∴CC′＝5，∴AC′＝5.∵∠A′C′B＝∠C′BC＝60°，∴C′D∥BC.∴∠ADC′＝∠ABC＝90°，∴C′D＝eq\f(1,2)AC′＝eq\f(5,2).三、解答題15.解：(1)O(0，0)、A(－2，1)、B(－3，3)、C(－1，2)．(2)圖略．(3)所得四邊形與原來的四邊形關于y軸對稱．16．證明：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠FDA－∠BAD，∠CAF＝∠FAD－∠CAD，∴∠B＝∠CAF.解：在△ADB中，由已知條件知∠ABD＝180°－120°－30°＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴△ADB是等腰三角形，∴BD＝AD＝60m．在Rt△DCB中，∠CDB＝180°－120°＝60°，又∵BC⊥AC，∴∠DBC＝90°－60°＝30°，∴DC＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×60＝30(m)．18．解：(1)AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF證明：∵EG∥AF，∴∠GED＝∠F，∠BGE＝∠BCA，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝EG.∵DE＝DF，∠GED＝∠F，∠EDG＝∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG＝CF，∴BE＝CF.(2)如果EG∥AF，AB＝AC，BE＝CF，那么DE＝DF.點撥：(2)題答案不唯一．19．解：(1)如圖①，作B關于直線MN的對稱點D，連接AD交MN于點C，則此時△ABC的周長最小．(2)如圖②，當BA＝BP時，符合條件的點有Q，Z，E，L，F，W，共6個；當AB＝AP時，符合條件的點有T，G，H，共3個．∴這樣的點P有9個．20．證明：連接CD.∵AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD.∴△CDA≌△CDB.∴∠ACD＝∠BCD.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.又∵DE⊥AC，∴△CED為等腰直角三角形．∴CE＝DE.又∵AC＝BC，CE＝AE＋AC，∴DE＝AE＋BC.21．(1)證明：∵△ACD為等邊三角形，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴AE＝CE.∴∠AEF＝∠FEC.∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∴DE∥BC.∴∠AEF＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB.∴∠ECB＝∠EBC.∴CE＝BE.∴AE＝CE＝BE.(2)解：連接PA，PC.∵DE垂直平分AC，P在DE上，∴PC＝PA.∵兩點之間線段最短，∴當P與E重合時PA＋PB最小，為15cm，即PB＋PC最小為15cm.22．解：(1)∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝60°.在△ABM和△BCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABM＝∠BCN＝60°，,BM＝CN，))∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，即∠BAM＝∠M