清單11導數與不等式（含恒成立，能成立問題）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】分離參數法用分離參數法解含參不等式恒成立問題，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數（注意分類參數時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③轉化：，使得能成立；，使得能成立．④求最值.【清單02】分類討論法如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(，或，)求解．【清單03】等價轉化法①當遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構造“左減右”的函數或者“右減左”的函數，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數的最值的問題.②當遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構造“左減右”的函數或者“右減左”的函數，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數的最值的問題.【清單04】最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【清單05】值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數取值范圍.【考點題型一】借助分離變量法解決恒成立問題核心方法：變量分離【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函數(1)求函數圖象上點到直線的最短距離；(2)若函數與的圖象存在公切線，求正實數a的最小值；(3)若恒成立，求a的取值范圍.【變式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函數，令，過點作曲線y=fx的切線，交軸于點，再過作曲線y=fx的切線，交軸于點，……，以此類推，得到數列（）.(1)證明：數列為等差數列；(2)若數列的前項和為，求實數的值；(3)當時，若恒成立，求實數的取值范圍..【變式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函數在處取得極小值.(1)求的值；(2)求函數在點處的切線方程；(3)若恒成立，求實數的取值范圍.【變式1-3】（24-25高三上·四川成都·階段練習）設函數.(1)若在處的切線方程為，求實數的取值；(2)試討論的單調性；(3)對任意的，恒有成立，求實數a的取值范圍.【考點題型二】借助分離變量法解決能成立（有解）問題核心方法：變量分離【例2】（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知函數.(1)討論在區間上的單調性；(2)若時，不等式有解，求的取值范圍.【變式2-1】（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數．(1)求的單調區間；(2)若存在，使得成立，求實數的取值范圍．【變式2-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實數的取值范圍．【變式2-3】（23-24高二下·江蘇無錫）已知函數．（1）若在點處的切線斜率為．①求實數的值；②求的單調區間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．【考點題型三】借助分類討論法解決恒成立問題核心方法：分類討論法【例3】（2024·福建·三模）函數，其中為整數.(1)當時，求函數在處的切線方程；(2)當x∈0,+∞時，恒成立，求的最大值.【變式3-1】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·期中）已知函數.(1)討論的單調性;(2)若恒成立，求a的取值范圍.【變式3-2】（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知函數的導函數為，且．(1)求函數在點處的切線方程；(2)若對于任意的恒成立，求實數的取值范圍．【變式3-3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習）已知函數．(1)當時，試判斷在上零點的個數，并說明理由；(2)當時，恒成立，求的取值范圍．【考點題型四】借助分類討論法解決能成立（有解）問題核心方法：分類討論法【例4】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知函數．(1)求證：；(2)過點作直線與函數的圖象均相切，求實數的值；(3)已知，若存在，使得成立，求實數的最大值．【變式4-1】（2024·湖南婁底·一模）已知函數，其中為自然對數的底數.(1)求函數的單調區間；(2)證明：；(3)設，若存在實數使得，求的最大值.【變式4-2】（23-24高三上·廣西玉林·開學考試）已知函數，.(1)討論函數的單調性；(2)證明：當時，，使得.【考點題型五】最值定位法解決雙參不等式問題核心方法：最值定位法【例5】（2024高二·全國·專題練習）已知函數．(1)試討論的極值；(2)設，若，，使得，求實數的取值范圍．【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習）已知兩函數，，若對，，，，恒有成立，求的取值范圍.【變式5-2】（23-24高二下·安徽滁州）已知函數，，若函數的圖象與函數的圖象的一個公共點的橫坐標為且兩函數圖象在點處的切線斜率之和為.（1）求的值；（2）對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【變式5-3】（23-24高二下·遼寧·階段練習）已知是定義在上的奇函數，時，，是定義在0,+∞的函數，且．（1）求函數的解析式；（2）若對于，，使得成立，求實數a的取值范圍．【考點題型六】等價轉化法解決問題核心方法：等價轉化法【例6】（23-24高三上·四川成都）已知函數是自然對數的底數）.(1)若函數在處的切線方程為，求實數的值；(2)若，使得成立，求實數的取值范圍.【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數f（x）=mx--lnx，mR，函數在上為增函數，且．(1)當m=0時，求函數f（x）的單調區間和極值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范圍．【變式6-2】（23-24高二下·四川眉山·階段練習）已知函數.（1）求函數的極值點；（2）設，若在上至少存在一個，使得成立，求m的取值范圍.【考點題型七】值域法解決雙參等式問題核心方法：值域法【例7】（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習）已知函數.（1）若，求曲線在處切線方程；（2）討論的單調性；（3）時，設，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.【變式7-1】（23-24高二下·重慶萬州·階段練習）函數，，若對任意，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為.【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數，函數.（1）求函數的最小值；（2）若對于任意，都存在，使得成立，求實數的取值范圍.提升訓練一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）已知關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數，若，當時，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．[0,8]3．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習）已知函數，，若，使得，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）對于，不等式恒成立，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）函數，，若對任意的，總存在，使得成立，則實數a的范圍是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習）已知函數，若存在，使得成立，則實數m的最小值是（

）A． B． C． D．48．（2022高三·全國·專題練習）已知，，若，，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題9．（24-25高三上·江西宜春·階段練習）若關于的不等式在區間上有解，則實數的取值范圍是.10．（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．三、解答題11．（23-24高二下·廣東湛江·期中）已知函數．(1)求的單調區間；(2)若在上恒成立，求實數a的取值范圍．12．（2024·陜西西安·三模）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若當時，恒成立，求的取值范圍．13．（24-25高三上·浙江金華·開學考試）已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)當時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．14．（2024·西藏拉薩·二模）已知函數.(1)當時，求函數的最值；(2)若方程在上