專項素養綜合全練(八)新定義型問題類型一定義新概念類

1.(2023遼寧鐵嶺七中期末)若a是不為2的有理數,則我們把

稱為a的“哈利數”.如:3的“哈利數”是

=-2,-2的“哈利數”是

=

,已知a1=-3,a2是a1的“哈利數”,a3是a2的“哈利數”,a4是a3的“哈利數”,……,以此類推,則a2022=

(

)A.

B.

C.-3

D.

A解析∵a1=-3,∴a2=

=

,a3=

=

,a4=

=

,a5=

=-3,……,∴運算結果以-3,

,

,

這四個數循環出現,∵2022÷4=505……2,∴a2022=a2=

,故選A.2.(2023遼寧丹東期末)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,

6,10,…,這樣的數稱為“三角形數”(如圖1),而把1,4,9,16,…,

這樣的數稱為“正方形數”(如圖2).如果規定a1=1,a2=3,a3=6,

a4=10,……;b1=1,b2=4,b3=9,b4=16,……;y1=2a1+b1,y2=2a2+b2,y3=

2a3+b3,y4=2a4+b4,…….那么,按此規定求得y6的值為

.

圖1圖278解析∵a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,……,∴an=1+2+3+…+n=

,∴a6=

=21,∵b1=1=12,b2=4=22,b3=9=32,b4=16=42,……,∴bn=n2,∴b6=62=36,∵y1=2a1+b1,y2=2a2+b2,y3=2a3+b3,y4=2a4+b4,……,∴y6=2a6+b6=2×21+36=78.類型二定義新運算類3.(2023廣東廣州期末)已知x、y為有理數,若規定一種新運算

x⊕y=

則5⊕(2⊕4)=

(

)A.41

B.29

C.20

D.36B解析∵x⊕y=

∴5⊕(2⊕4)=5⊕2=52+22=25+4=29.故選B.4.(新獨家原創)定義一種新運算☆,其規則為a☆b=

-

,如:2☆3=

-

=0,那么4☆(-3)的值是

.解析根據題意,得4☆(-3)=

-

=

.5.(2024重慶渝北期中)若a,b都是有理數,定義一種新運算

“☆”,其運算規則為a☆b=

,如(-3)☆2=

=-

,則5☆

的值為

.

解析原式=

=

÷2=

×

=

.6.(2022山東淄博臨淄期中)已知x、y為有理數,現規定一種新

運算“※”,且x※y=xy+1.(1)求2※4的值;(2)求(1※4)※(-2)的值;(3)任意選擇兩個有理數(至少有一個是負數),分別填入下列

□和〇中,并研究它們的運算結果□※〇和〇※□的數量關系;(4)探索a※(b+c)與(a※b)+(a※c)的數量關系,并用等式把它

們表示出來.解析

(1)2※4=2×4+1=9.(2)(1※4)※(-2)=(1×4+1)×(-2)+1=-9.(3)不妨設□內填入的數為-1,〇內填入的數為5,則(-1)※5=-1

×5+1=-4,5※(-1)=5×(-1)+1=-4,∴□※〇=〇※□.(答案不唯一)(4)∵a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1,(a※b)+(a※c)=ab+1+ac+1

=ab+ac+2,∴a※(b+c)+1=(a※b)+(a※c).7.(2022山東濟寧天立學校月考)現定義一種新運算“

?”:

對于任意有理數x,y,都有x

?y=3x+2y,例如5

?1=3×5+2×1=17.(1)求(-4)

?(-3)的值;(2)化簡:a

?(3-2a).解析