第四章拋體運動同周運動

第4課時專題強化：圓周運動的臨界極值問題

學習目標

1.會分析水平面內、豎直面內和斜面上圓周運動的臨界極值問題。

考點01水平面內圓周運動的臨界極值問題

1.與摩擦力有關的臨界極值問題

物體間恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力。

(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力用m=竺;靜摩擦力的方向一定指向圓心。

r

(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉動，其中一個物體存在一個

恰不向內滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩

擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。

2.與彈力有關的臨界極值問題

(1)兩個接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。

(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。

［典例1?對水平面內與摩擦力有關的臨界極值問題的考查］(多選)(2023?陜西西安市慶安中學

期中)如圖所示,兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上,a與轉軸

的距離為1,b與轉軸的距離為2/。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的左倍，重

力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用。表示圓盤轉動的角速度,

且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是()

O\

O'\

A.b一定比a先開始滑動

B.a、b所受的摩擦力始終相等

c.。=溫是b開始滑動的臨界角速度

(2kg

D.當①==時，a所受摩擦力的大小為物陪

答案AC

解析小木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，Ff=m（D2R.當角速度增大時，

靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊a有居@=加g2/,當尸fa=

而g時，kmg—mcD^-l,a>a——;對木塊b有尸如=加0b入2/,當尸如=而陪時，kmg—ma>\^-2l,

cob=—,則0=色是b開始滑動的臨界角速度，即b比a先開始滑動，選項A、C正確；

（2/J2/

兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則F^mc^-ll,F^F^,選項B錯誤；3=

2

,a沒有滑動，則&/=mo）2l=-kmg,選項D錯誤。

［拓展訓練］（多選）如圖所示，兩個可視為質點的、相同的木塊/和8放在轉盤上，兩者用長

為乙的水平細繩連接，木塊與轉盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，N放在距離轉軸

￡處，整個裝置能繞通過轉盤中心的轉軸轉動，開始時，繩恰好伸直但無彈力，現讓該

裝置從靜止開始轉動，使角速度緩慢增大，以下說法正確的是（重力加速度為g）（）

勺a

2Kg

A.當,時，4、5會相對于轉盤滑動

J3L

B.當。>怪,繩子一定有彈力

C.。在范圍內增大時，8所受摩擦力變大

2Kg

D.①在0〈①〈二范圍內增大時，/所受摩擦力一直變大

J3L

答案ABD

解析當/、3所受摩擦力均達到最大值時，/、8相對轉盤即將滑動，則有K%g+K〃7g=77702c

+ma)2-2L,解得0=——，A項正確；當8所受靜摩擦力達到最大值后，繩子開始有彈力,

\Kg

即有Kmg—m-2L-a>2,解得可知當a）>—時，繩子有彈力，B項正確；當

2L

時，2已達到最大靜摩擦力，則o在范圍內增大時，8受到的摩擦力不變，C

12Kg

項錯誤；。在0<a><I----范圍內，/相對轉盤是靜止的，N所受摩擦力為靜摩擦力，所以由

、3L

居一尸1=加￡。2可知，當。增大時，靜摩擦力也增大，D項正確.

［典例2?對水平面內與彈力有關的臨界極值問題的考查］（多選）（2024?黑龍江哈爾濱市第二中

學期中）質量為m的小球（視為質點）由輕繩。和6分別系于一輕質細桿的/點和8點，如圖所

示，當輕桿繞軸以角速度。勻速轉動時，。繩與水平方向成。角，b繩在水平方向上且長為

Zo重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.a繩的彈力隨角速度的增大而增大

當角速度0>、島時’6繩中產生彈力

B.

C.當6繩中產生彈力后，角速度再增大時。繩的彈力不變

D.當6繩突然被剪斷時，a繩的彈力一定發生變化

答案BC

me

解析當6繩的彈力為零時，小球受重力和a繩的彈力，合力提供向心力，有----=mla>2,

tan6

解得。=二一，可知當角速度時，6繩出現彈力，故B正確；根據豎直方向上受

J/tan0個/tan9

mo,

力平衡得&sin9="g,解得兄=^,可知〃繩的彈力不變，故A錯誤，C正確；

sin0

由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷時，q繩的彈力可能不變，故D錯誤。

［拓展訓練］（多選X2023?湖北省公安縣等六縣質檢）如圖所示，N2為豎直放置的光滑圓筒，一

根長細繩穿過圓筒后一端連著質量為%=5kg的小球（可視為質點），另一端和細繩2c（懸點

為3）在結點C處共同連著一質量為加2的小球（可視為質點），長細繩能承受的最大拉力為60

N,細繩8c能承受的最大拉力為27.6N.圓筒頂端/到C點的距離A=l.5m,細繩8c剛

好被水平拉直時長/2=0.9m,轉動圓筒并逐漸緩慢增大角速度，在8C繩被拉直之前，用手

拿著加1，保證其位置不變，在8C繩被拉直之后，放開加1，重力加速度g取10m/s2,下列

說法正確的是（）

A.在8c繩被拉直之前，NC繩中拉力逐漸增大

B.當角速度。=￡々rad/s時，8c繩剛好被拉直

C.當角速度①=3rad/s時，4。繩剛好被拉斷

D.當角速度①=4rad/s時，繩剛好被拉斷

答案ABD

解析轉動圓筒并逐漸緩慢增大角速度的過程中，/C繩與豎直方向的夾角。逐漸增大，掰2

豎直方向處于平衡，由戶T4C0se=冽2g,可知在繩被拉直之前，/C繩中拉力逐漸增大，A

3

正確；繩剛好被拉直時，由幾何關系可知4C繩與豎直方向的夾角的正弦值sin。=不，對

小球加2受力分析，由牛頓第二定律可知冽2gtan9=冽2①/小解得①rad/s,B正確；

當。=3rad/s*§rad/s,8c繩被拉直且放開了加1,如就一直處于平衡狀態，/C繩中拉力

3

不變且為50N,小于/C繩承受的最大拉力，NC未被拉斷，C錯誤；對小球心2,豎直方向

2

有migcos0=m2g,可得加2=4kg,當BC被拉斷時有migsin9+F^BC=m2CO2h,解得①2=

4rad/s,D正確.

考點02豎直面內圓周運動的臨界極值問題

1.豎直面內圓周運動的兩類模型

輕繩模型輕桿模型

懣）通

常見類型

小球最高點沒有支撐小球最高點有支撐

除重力外，物體受到的彈力除重力外，物體受到的彈力方向：向

最高點受力特征

方向：向下或等于零下、等于零或向上

A、

匕日彈、1

mgmg

△彈00

最高點受力示意圖mgmg

，F彈

o1。

mg

0

V2V2

動力學方程加8+/彈=機%mg±F彈=m不

產彈=0①恰好過最高點，v=0,F=mg

Vmin2②恰好無彈力，/彈=0,v=>/gR

臨界特征mw=m--------

R

即Vmin=V^

過最高點的條件在最高點的速度v20

2.解題技巧

（1）物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；

（2）物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩位置間的速度關系；

（3）注意：求對軌道的壓力時，轉換研究對象，先求物體所受支持力，再根據牛頓第三定律求

出壓力O

［典例3?對輕繩模型的考查］（多選）（2023?陜西延安市黃陵中學模擬）如圖所示，一質量為加=

0.5kg的小球（可視為質點），用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動，g=10m/s2,

下列說法正確的是（）

A.小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2m/s

B.當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力大小為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4gm/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

答案ABC

vo2

解析設小球通過最高點時的最小速度為W，則根據牛頓第二定律有加g=加一，解得Vo=

R

2m/s,故A正確；當小球在最高點的速度為修=4m/s時，設輕繩拉力大小為戶r,根據牛頓

第二定律有尸T+%g="?一,解得尸r=15N,故B正確；小球在軌跡最低點處速度最大，此

R

Vn2

時輕繩的拉力最大，根據牛頓第二定律有尸rm一加g="/>,解得小=心反m/s,故C正確，D

R

錯誤。

［拓展訓練］如圖所示，質量為〃，的小球在豎直平面內的光滑圓環內側做圓周運動.圓環半徑

為凡小球半徑不計，小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時下列

表述不正確的是（重力加速度為g）（）

A.小球對圓環的壓力大小等于7Mg

B.重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力

C.小球的線速度大小等于旅

D.小球的向心加速度大小等于g

答案A

解析因為小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，故在最高點時小球對圓環的壓力為

零，選項A錯誤；此時小球只受重力作用，即重力機g充當小球做圓周運動所需的向心力，

則有加g=zw—=加〃，v=y［gR,a=g,選項B、C、D正確.

R

［典例4?對輕桿模型的考查］（2023?四川綿陽市診斷）如圖所示，輕桿長3人在桿兩端分別固

定質量均為加的球A和B（均可視為質點），光滑水平轉軸穿過桿上距球A為工處的。點，

外界給系統一定能量后，桿和球在豎直平面內轉動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無

作用力。忽略空氣阻力，重力加速度為g,則球B在最高點時（）

A.球B的速度為零

B.球A的速度大小為低Z

C.水平轉軸對桿的作用力為1.5根g

D.水平轉軸對桿的作用力為2.5加g

答案C

解析球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有ag=

VB?-----

m—,解得VB=CgL,故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小VA=

1,—

-\j2gL,故B錯誤；B球在最鬲點時，對桿無彈力，此時A球受到的重力和桿的彈力的合力

VA2

提供向心力，有尸一加g=〃?z，解得尸=1.5%g,由牛頓第三定律可知桿受到A球的彈力大

小為1.5〃陪，則水平轉軸對桿的作用力為1.5加g,故C正確，D錯誤。

［拓展訓練］如圖所示，質量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內,

小球A和B（均可視為質點）的直徑略小于細圓管的內徑（內徑遠小于細圓管半徑）。小球A、B

的質量分別為MA=1kg、"?B=2kg。某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且

A的速度大小為VA=3m/s,此時桿對圓管的彈力為零，則B球的速度大小VB為（取g=

10m/s2)()

A.2m/sB.4m/s

C.6m/sD.8m/s

答案B

解析對A球，合外力提供向心力，設管對A的支持力為尸A,由牛頓第二定律有FA-"lAg=

VA2

加A——，代入數據解得FA=28N,由牛頓第三定律可得，A球對管的力豎直向下，為28N,

R

設B球對管的力為,由管的受力平衡可得產B，+28N+加管g=0,解得=-44N,

負號表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，管對B球的力尸B為44N,方向豎直向下,

VB2

對B球由牛頓第二定律有心+加Bg=WB——，解得VB=4m/s,故選B。

R

［典例5?對豎直面內圓周運動與圖像綜合的考查］（2024?安徽六安一中模擬）如圖所示，豎直面

內的圓形管道半徑R遠大于橫截面的半徑，有一小球直徑比管橫截面直徑略小，在管道內做

圓周運動。小球過最高點時，小球對管壁的彈力大小用下表示、速度大小用V表示，當小球

以不同速度經過管道最高點時，其尸一v2圖像如圖所示。則（

ObV

A.小球的質量為一

C

R

B.當地的重力加速度大小為一

a

C.儼=6時，小球對管壁的彈力方向豎直向下

D.儼=36時，小球受到的彈力大小是重力大小的5倍

答案D

v2a

解析在最高點，若v=0,則/=冽8=0,若尸=0,重力提供向心力，則冽g=m—=初一，解

RR

acR

得且=一，m=—,故A、B錯誤；若b=0,有v2=q,則v?=b時，小球所受的彈力方向向

Ra

工b

下，所以小球對管壁的彈力方向豎直向上，故C錯誤；當儼=6時，?mg+F=m—F=c

Rf

v2

=mg,解得b=2gR0當廬=3b時，根據加g+尸'=m~,解得P=5mg,故D正確。

R

［拓展訓練］如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為冽的小球，在豎直平面內做圓周運動（不

計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為Fr，小球在最高點的速度大小為v,

其尸r—v2圖像如圖乙所示，則（）

A.數據。與小球的質量無關

m

B.當地的重力加速度為一

a

C.當v2=C時，輕質繩的拉力大小為一十。

b

D.當X=2b時，小球受到的拉力與重力大小相等

答案D

、v2m

解析設繩長為由牛頓第二定律知小球在最鬲點滿足方丁+加g=w—,即7^=—v2—mg,

RR

由題圖乙知q=mg,b=gR,所以g=—,R=——,A、B錯；當y2=。時，有戶口+加8=加一,

maR

ac,2b

將g和R的值代入得戶n=-----a,C錯；當v2=26時，由尸冽g=%一可得戶r2=〃=冽g,

bR

故拉力與重力大小相等，D對.

考點03斜面上圓周運動的臨界極值問題

物體在斜面上做圓周運動時，設斜面的傾角為仇重力垂直斜面的分力與物體受到的支

持力大小相等，解決此類問題時，可以按以下操作，把問題簡化.

-i豆彳本圖側視圖正視（斜面）圖

物體在轉動過程中，轉動越快，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：WMgcosd—TMgsin

0=mco2R.

［典例6?對斜面上圓周運動的臨界極值問題的考查］（多選）如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂

直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度o轉動,盤面上離轉軸2.5m處有一小物體（可視為質點）

與圓盤始終保持相對靜止，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為30。，g

取10m/s2,則以下說法中正確的是（）

A.小物體隨圓盤以不同的角速度。做勻速圓周運動時，。越大時，小物體在最高點處受到

的摩擦力一定越大

B.小物體受到的摩擦力可能背離圓心

行

C.若小物體與盤面間的動摩擦因數為則。的最大值是1.0rad/s

2

,/3「

D.若小物體與盤面間的動摩擦因數為則o的最大值是退rad/s

答案BC

解析當物體在最高點時，也可能受到重力、支持力與摩擦力三個力的作用，摩擦力的方向

可能沿斜面向上（即背離圓心），也可能沿斜面向下（即指向圓心），摩擦力的方向沿斜面向上時，

。越大時，小物體在最高點處受到的摩擦力越小，故A錯誤，B正確；當物體轉到圓盤的最

低點恰好不滑動時，圓盤的角速度最大，此時小物體受豎直向下的重力、垂直于斜面向上的

支持力、沿斜面指向圓心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN—mgcos30°,

2

摩擦力Ff—p.FN—/.imgcos30°,又/zmgcos30°—mgsin3Q°—ma）R,解得co=1.0rad/s,故C正

確，D錯誤.

［拓展訓練］（2023?河南鄭州市外國語學校模擬）越野滑雪集訓隊在某雪上項目室內訓練基地,

利用工作起來似巨型“陀螺”的圓盤滑雪機模擬一些特定的訓練環境和場景，滑雪機轉速和

傾角根據需要可調。一運動員的某次訓練過程簡化為如圖模型：圓盤滑雪機繞垂直于盤面的

固定轉軸以恒定的角速度。轉動,盤面上離轉軸距離為10m處的運動員（保持如圖滑行姿勢,

可看成質點）與圓盤始終保持相對靜止，運動員質量為60kg,與盤面間的動摩擦因數為0.5,

設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為15。，g取10m/s2,已知sin

15°心0.260,cos15°七0.966。則下列說法正確的是（）

A.運動員隨圓盤做勻速圓周運動時，一定始終受到兩個力的作用

B.o的最大值約為0.47rad/s

C.0取不同值時，運動員在最高點受到的摩擦力一定隨。的增大而增大

D.某次運動員轉到最低點時恰好不滑動，若運動員離轉軸距離變為11m處，則運動員仍可

隨圓盤做勻速圓周運動

答案B

解析運動員隨圓盤做勻速圓周運動時，在最高點位置可能只受到重力和支持力，二者的合

力恰好提供向心力，其他位置一定受重力、支持力、摩擦力三個力，三者的合力提供向心力，

故A錯誤；在圓盤最低點，根據卬wgcos15°一加gsin15°=機0?蕨心解得rad/s,

故B正確；。取不同數值時，設摩擦力指向圓心，則有機gsin15°+居=加m2「，設摩擦力背

離圓心，則有加gsin15°—尸/=ma>22r,由兩式可知0取不同數值時，運動員在最高點受到

的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C錯誤；運動員轉到最低點時恰好不滑動，有〃小geos

15°-mgsin若此時半徑變大，合力不足以提供向心力，運動員將會做離心運

動，故D錯誤。

課時作業練

基礎對點練

1.雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的細繩的一端，系一個與水的總質量為加=0.5kg

的大小不計的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水

流星”通過最高點時的速率為4m/s,則下列說法正確的是（g取10m/s2）（）

A.“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出

B.“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零

C.“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用

D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N

答案B

解析"水流星”在最高點的臨界速度v=?Z=4m/s,由此知繩的拉力恰好為零，“水流

星”的重力提供向心力，則水恰好不流出，容器底部受到的壓力為零，故選B.

2.如圖所示，某輕桿一端固定一質量為加的小球，以另一端。為圓心，使小球在豎直平面內

做半徑為7?的圓周運動，重力加速度為g,以下說法中正確的是（）

//\\

I\

I01!

\、、/；I

—

A.小球過最高點時，桿所受的彈力不可以為零

B.小球過最高點時，最小速度為反

C.小球過最低點時，桿對球的作用力不一定與小球所受重力方向相反

D.小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時重力一定大于或等

于桿對球的作用力

答案D

解析小球在最高點時，如果速度恰好為康，則此時恰好只有重力提供向心力，桿和球之

間沒有作用力，桿所受彈力為0,如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，桿就要對

球有支持力，方向與重力的方向相反，桿的作用力尸=加8-------,此時重力一定大于或等于

R

桿對球的作用力，故A、B錯誤，D正確；小球過最低點時，桿對球的作用力方向豎直向上,

與重力方向一定相反，故C錯誤.

3.（2024?江蘇揚州市江都中學檢測）如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B,

/WA=4kg,機B=lkg,它們分居在圓心兩側，與圓心距圖為人=0.1m,:~B=0.2m,中間用水

平細線相連，A、B與圓盤間的動摩擦因數均為"=0.2,設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，

若圓盤從靜止開始繞中心轉軸非常緩慢地加速轉動，g=10m/s2,以下說法正確的是（）

A.A的摩擦力先達到最大

B.當rad/s,細線開始出現張力

C.當。i=Arad/s,A、B兩物體出現相對圓盤滑動

D.當=rad/s,A、B兩物體出現相對圓盤滑動

答案D

解析A達到最大靜摩擦力時的臨界角速度滿足〃加4=如0（/7%，解得。OA=2J?rad/s,同

理可得，B達到最大靜摩擦力時的臨界角速度為3）B=J^rad/s,則當圓盤轉動的速度逐漸

變大時，B先達到角速度臨界值，則B的摩擦力先達到最大，選項A錯誤；當B的摩擦力達

到最大，轉速再增加時，細線出現張力，即當rad/s時，細線開始出現張力，選項B

錯誤；當A、B兩物體出現相對圓盤滑動時，B受到的摩擦力方向背離圓心，A受到的摩擦

力方向指向圓心，則對A有號+〃加跖=加人。2%，對B有尸T—〃加Bg=冽BG/VB,解得①1=

572rad/s,選項C錯誤，D正確。

4.（2024?江蘇南京市中華中學月考）如圖甲所示為“鐵籠飛車”的特技表演，其抽象出來的理

想模型為如圖乙所示的內壁光滑的圓球，其中。、6、c分別表示做圓周運動時的不同軌道，。

軌道與6軌道均水平，。軌道豎直，一個質點在球內繞其光滑內壁做圓周運動時，下列有關

說法正確的是（）

A.沿a軌道可能做變速圓周運動

B.沿c軌道運動的最小速度為0

C.沿a軌道運動的速度比沿6軌道運動的速度大

D.沿a軌道運動的周期比沿6軌道運動的周期大

答案D

V2

解析沿〃軌道運動，設彈力與豎直方向的夾角為仇根據牛頓第二定律得mgtan9=加一=

4兀2-----------------------Reos0

m--r,r=Rsin0,解得y=Yg&sin仇andT=2兀-----，沿〃軌道一定做勻速圓周運動，0

Pdg

越小，v越小，周期越大，沿a軌道運動的速度比沿b軌道運動的速度小，周期大，A、C錯

Vmin2

誤，D正確；沿。軌道在最高點，根據牛頓第二定律得加g=W-----,解得Vmin=J^,故在

R

最高點的最小速度為康，B錯誤。

5.（多選X2023?湖北省華大新高考聯盟名校聯考）如圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的光

滑固定細管（忽略管的內徑），半徑。2水平、豎直，一個直徑略小于管內徑的小球（可視為

質點）由8點以某一初速度均進入細管，之后從管內的/點以大小為內的水平速度飛出.忽

略空氣阻力，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.為使小球能從/點飛出，小球在8點的初速度必須滿足為＞J^

B.為使小球能從N點飛出，小球在8點的初速度必須滿足血尿

嬴

C.為使小球從/點水平飛出后再返回3點，小球在8點的初速度應為％=

D.小球從/點飛出的水平初速度必須滿足白＞7^,因而不可能使小球從/點水平飛出后再

返回B點

答案BC

解析小球能從/點飛出，則在/點的最小速度大于零，則由機械能守恒定律有

1

—772Vn2＞mgR,則小球在8點的初速度必須滿足v（）＞J或，選項A錯誤，B正確；為使小球從力

2

1gR11

點水平飛出后再返回5點，則R=v〃，R=-gt1,聯立解得v/=—,-mv(?=meR-\-

2、222

\5gR

小球在B點的初速度應為%=—,選項C正確；要使小球從4點飛出，則小球在4點的

gR

速度大于零即可，由選項C的分析可知，只要小球在/點的速度為鼻，小球就能從力點水

平飛出后再返回5點，選項D錯誤.

6.（2023?四川綿陽市診斷）如圖所示,輕桿長3L,在桿兩端分別固定質量均為m的球4和3（均

可視為質點），光滑水平轉軸穿過桿上距球/為工處的。點，外界給系統一定能量后，桿和

球在豎直平面內轉動，球3運動到最高點時，桿對球2恰好無作用力.忽略空氣阻力，重力

加速度為g,則球8在最高點時（）

A.球3的速度為零

B.球/的速度大小為低Z

C.水平轉軸對桿的作用力為1.5mg

D.水平轉軸對桿的作用力為2.5加g

答案C

解析球3運動到最高點時，桿對球2恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有wg=

VB2I-------、,

m—,解得一=J2g￡,故A錯誤；由于4、5兩球的角速度相等，則球4的速度大小匕=

1.—

-^IgL,故B錯誤；8球在最高點時，對桿無彈力，此時N球受到的重力和拉力的合力提供

向心力，有F-mg=m~Y，解得尸=1.5機g,即桿受到的彈力大小為1.5%g,可知水平轉軸對

桿的作用力為1.5ag,C正確，D錯誤.

7.（2023?重慶市西南大學附屬中學月考）如圖所示，在傾角為a=30。的光滑斜面上有一長￡=

0.8m的輕桿，桿一端固定在。點，可繞。點自由轉動，另一端系一質量為機=0.05kg的小

球（可視為質點），小球在斜面上做圓周運動，g取10m/s2.要使小球能到達最高點/,則小球

在最低點B的最小速度是（）

A.4m/sB.2-/10m/s

C.2y/~5m/sD.2-72m/s

答案A

解析小球恰好到達4點時的速度大小為%=0,此時對應5點的速度最小，設為山，對小

11

球從4到B的運動過程，由動能定理有3加班2—yv/=2次g￡sin明代入數據解得vB=^m/s,

故選A.

8.（2022?長春市第二中學高一期末）如圖甲所示，輕桿的一端固定一小球（可視為質點），另一端

套在光滑的水平軸。上，。軸的正上方有一速度傳感器，可以測量小球通過最高點時的速度

大小v,O軸處有一力傳感器，可以測量小球通過最高點時。軸受到的桿的作用力品若取

豎直向下為尸的正方向，在最低點時給小球不同的初速度，得到的尸一V2(v為小球在最高點

處的速度)圖像如圖乙所示，取g=10m/s2,貝i]()

A.小球恰好通過最高點時的速度大小為5m/s

B.小球在最高點的速度大小為西m/s時，桿對球的作用力為支持力

C.小球的質量為3kg

D.。軸到小球的距離為0.5m

答案D

解析由于是球桿模型，小球恰好通過最高點時的速度為零，A錯誤；當小球通過最高點的

速度為零時，桿對小球的支持力恰好等于小球的重力，由題圖乙可知，小球的重力為3N,

即質量為0.3kg,C錯誤；由題圖乙可知，當小球以B=5m2/s2通過最高點時，恰好對桿沒

V2

有作用力，此時重力提供向心力，設。軸到小球的距離為根據7咕=加工，得4=0.5m,

-----V2

故D正確；當小球以JUm/s的速度通過最高點時，根據mg+/=〃7，可得尸=6N,此時

桿對球的作用力是向下的拉力，大小為6N,故B錯誤.

9.如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的角速度。轉動，盤面與

水平面的夾角為37。，盤面上離轉軸距離1.0m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，小物

體的質量為1.0kg,小物體與盤面間的動摩擦因數為0.8(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)。

則當。達到最大值時，小物體運動到最高點時所受摩擦力的大小為(g取10m/s2,sin37。=

0.6,cos37°=0.8)()

A.5.6NB.6.0NC.6.4ND.8.0N

答案A

解析經分析，當物體運動到最低點時，摩擦力達到最大值，角速度達到最大值，根據牛頓

第二定律得fimgcos37°—mgsin37。=〃7r0m\在最高點，根據牛頓第二定律得Ff+mgsin37°=

mrm^,聯立以上兩式并代入數據得Ff=-5.6N。負號表示摩擦力的方向沿盤面向上，大小

為5.6N,故選A。

10.(2024?浙江?開學考試)如圖甲所示為一種叫“魔力陀螺”的玩具，其結構可簡化為圖乙所

示.質量為M、半徑為R的鐵質圓軌道用支架固定在豎直平面內，陀螺在軌道內、外兩側均

可以旋轉.陀螺的質量為加，其余部分質量不計.陀螺磁芯對軌道的吸引力始終沿軌道的半

徑方向，大小恒為6mg.不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g.

(1)若陀螺在軌道內側運動到最高點時的速度為/荻，求此時軌道對陀螺的彈力大小；

(2)要使陀螺在軌道外側運動到最低點時不脫離軌道，求陀螺通過最低點時的最大速度；

(3)若陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時速度為J或，求固定支架對軌道的作用力

大小；

答案(1)10〃7g(2)75gR(3)V4w2+A/2g

解析(1)當陀螺在軌道內側最高點時，設軌道對陀螺的吸引力為尸1,軌道對陀螺的支持力為

陀螺所受的重力為%最高點的速度為受力分析可知：

FN1,g,vi,

Vl2

mg+F^i—Fi=m—

解得FN1=10mg

⑵設陀螺在軌道外側運動到最低點時，軌道對陀螺的吸引力為尸2,軌道對陀螺的支持力為

,V22

F,陀螺所受的重力為加g,最低點的速度為電，受力分析可知：F—F—mg=m—

N22N2R

由題意可知，當心2=。時，陀螺通過最低點時的速度為最大值，解得為=/癡

(3)設陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時，軌道對陀螺的吸引力為尸3,軌道對陀螺的

支持力為FN3,陀螺所受的重力為冽g.則：

mg

V2

Fn=F—F^=m—

33R

解得鼻［3=4加g

由牛頓第三定律可知與N3'=網3,/3,=/3

固定支架對軌道的作用力為尸=J（FN3,一尸3,）2+（Mg）2

解得F=gyJAn^^M2.

能力提升練

11.（多選）（2023?湖北省重點中學檢測）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側旋轉而不脫落，好

像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具深受孩子們的喜愛.其物理原理可

等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質量為別的小鐵球（視為質點）

在軌道外側轉動，/、8兩點分別為軌道上的最高點、最低點.鐵球受軌道的磁性引力始終指

向圓心且大小不變，重力加速度為g,不計摩擦和空氣阻力.下列說法正確的是（）

A.鐵球可能做勻速圓周運動

B.鐵球繞軌道轉動時機械能守恒

C.鐵球在N點的速度一定大于或等于必

D.要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的磁性引力至少為5%g

答案BD

解析鐵球繞軌道轉動受到重力、軌道的磁性引力和軌道的彈力作用，而軌道的磁性引力和

彈力總是與速度方向垂直，故只有重力對鐵球做功，鐵球做變速圓周運動，鐵球繞軌道轉動

時機械能守恒，選項B正確，A錯誤；鐵球在/點時，有加g+尸吸一,當尸N4="Zg

R

11

十尸吸時，匕=0,選項C錯誤；鐵球從4到5的過程，由動能定理有2冽8氏=罰如2一罰匕2,

當VA=0時，鐵球在B點的速度最小，解得如min=2?^,球在B點處，軌道對鐵球的磁性

V§2___

引力最大，F吸一mg—FNB=m—^,當如=V3min=2而左且/N8=0時，解得尸吸min=5mg,故

R

要使鐵球不脫軌