第05講函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性

（13類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第4題,5分函數奇偶性的定義與判斷求含COSX的函數的奇偶性

函數奇偶性的定義與判斷判斷指數型函數的圖象形狀識別三角函數的

2023年天津卷，第4題,5分

圖象（含正、余弦，正切）根據函數圖象選擇解析式

2022年天津卷，第3題,5分函數奇偶性的應用函數圖像的識別根據解析式直接判斷函數的單調性

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是天津高考卷的必考內容，設題穩定，難度從低到高，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握函數的奇偶性、單調性、周期性與對稱性，能夠靈活運用函數的各種性質。

2.能掌握函數的性質

3.具備數形結合的思想意識，根據不同函數的性質解決問題

4.會解周期性與對稱性的運算.

【命題預測】本節內容是天津高考卷的必考內容，一般給需要靈活結合函數的性質，求解含參，不等式,

解析式，求和等各種問題。

1A?考點梳理?

1.單調函數的定義

\考點一、函數的單調性

.單調區間的定義

C知識點一?函數的單調性(32.函數單調性的等價結論/考點二、函數的單調區間

|考點三、利用函數的單調性求參數的取值范圍

4.判斷函數單調性的四種方法

r?0貼云何枇岫中.考點四、函數的奇偶性

胃釐翳器線狹考點五'利用函數奇偶性求參數

知識點二.函數的奇偶性;盥鬻既受曹皺\考點六、利用函數奇偶性求解析式

函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性3.函數奇偶性的常用結論考點七、利用單調性奇偶性解不等式

考點八、函數的對稱性

考點九、利用函數對稱性求解析式

-q1.周期性考點十、函數的周期性

知識點三.周期性與對稱性2.中心對稱々考點十一、奇偶性與周期性求值

3.周期性與對稱性的常用結論考點十二、奇偶性與周期性求參數

考點十三、奇偶性與周期性解不等式

知識講解

知識點一.函數的單調性

1.單調函數的定義

增函數減函數

一般地，設函數兀0的定義域為/,如果對于定義域/內某個區間D上的任

意兩個自變量的值尤1，及

定

當X1<X2時，都有"1)>

義當尤1<X2時，都有"1)<也2),那么就說函數

儂1，那么就說函數“X)在區

八X)在區間。上是增函數

間。上是減函數

y

圖y內W

象加1)於2)

0孫力2X

描0X\X2X

述

自左向左一看圖象是上升的自左向彳亍看圖象是下降的

2.單調區間的定義

如果函數v=/U)在區間D上是增函數或減函數,那么就說函數y=/U)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區

間D叫做y=fix)的單調區間.

注意：(1)函數單調性關注的是整個區間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，所以單調區間的端點若屬

于定義域，則該點處區間可開可閉，若區間端點不屬于定義域則只能開.

(2)單調區間定義域/.

(3)遵循最簡原則，單調區間應盡可能大.

3.函數單調性的等價結論

(1)函數f(x)在區間［a,b］上是增函數：

Q任取xi,x2e[a,b],Mxi<X2,都有f(xi)-f(x2)<0;

。任取xi,X26[a,b],且xi力X2,都有上上叵2>0;

一%2

0任取Xi,X2C[a,b],且X1?X2,都有(Xl-X2)[f(Xi)-f(X2)]>0；

=任取X],X2C[a,b],且X法X2,都有卷篇>

⑵函數f(x)在區間[a,b]上是減函數:

0任取xi,X2C[a,b],且xi<X2,都有f(Xi)-f(X2)>0;

0任取xi,x2e[a,b],Mx浮X2,都有四"型<0;

%]一%2

=任取Xi,X2G[a,b],_&X1rX2,都有(Xi-X2)[f(Xi)-f(X2)]<0；

O任取xi,X2C[a,b],且X"X2閽有-「寧、<0

(3)在區間。上，兩個增函數的和仍是增函數，兩個減函數的和仍是減函數.

(4)復合函數八g(x))的單調性與函數y=A")和a=g(x)的單調性的關系是“同增異減”.

(5)對勾函數(耐克函數)

形如y=x+"(p>0,且p為常數)

x

在(-00,-y[p卜口[J7,+00)上為增函數，在(-J3,o)和(o,4P)上為減函數.

對勾函數有兩條漸近線：一條是y軸(xwO,圖象無限接近于y軸，但不相交)，

另一條是直線y=x(當x趨近于無窮大時，K趨近于0,y趨近于％,因為"wO,所以y#尤)

XX

4.判斷函數單調性的四種方法：

(1)定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號、下結論.

(2)復合法：同增異減，即內外函數的單調性相同時為增函數，不同時為減函數.

(3)圖象法：如果40是以圖象形式給出的，或者丸尤)的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數單調性.

(4)導數法：利用導函數的正負判斷函數單調性.(選修中會學到)

(5)證明函數的單調性有定義法、導數法.但在高考中，見到有解析式，盡量用導數法.

易錯警示：①求函數的單調區間，應先求定義域，在定義域內求單調區間.

②如有多個單調增減區間應分別寫，不能用“U”聯結.

知識點二.函數的奇偶性

1.函數奇偶性的定義：

奇偶性偶函數奇函數

條件設函數f（x）的定義域為I,如果VxeL都有一xel

結論f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

圖象特點關于y軸對稱關于原點對稱

注意：判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

1.定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

2.判斷人尤）與斤x）是否具有等量關系.在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式yw+y（㈤

=0（奇函數）或"X）T/（-X）=O（偶函數）是否成立.

3.若兀0加，則奇（偶）函數定義的等價形式如下：

①/（元）為奇函數=八-尤）=-汽x）0fi~x）+八x）=0=今m=-L

②/（X）為偶函數鈣為-無）=/0）鈣/（-尤）；/^）=。0隼？=1.

TI引

2.判斷函數奇偶性的方法

利用奇、偶函數的定義或定義的等價形式：降?=±1如）邦）判斷函數的奇偶性.

1.定義法:

2.圖象法：利用函數圖象的對稱性判斷函數的奇偶性.

3.驗證法：即判斷人功句（一尤）是否為0.

4.性質法：設於），g（x）的定義域分別是。1，D2,那么在它們的公共定義域上，有下面結論:

g(x)+g(x)fO)—f(x)—g(x)f[g(.x)]

偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數

偶函數奇函數不能確定不能確定奇函數偶函數

奇函數偶函數不能確定不能確定奇函數偶函數

奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數

總結：奇±奇=奇偶±偶=偶奇、奇=偶偶、偶=偶奇、偶=奇

3.函數奇偶性的常用結論

1.如果一個奇函數大尤）在x=。處有定義，那么一定有四片也.

2.如果函數/（X）是偶函數，那么Kx）=/（|x|）.

3奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.

4在公共定義域內有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇義奇=偶，偶義偶=偶，奇、偶=奇.

5.若y=/（x+a）是奇函數，則八一x+a）=—/（尤+a）；若y=?r+a）是偶函數，則八一x+a）=/（x+a）.

知識點三.周期性與對稱性

1.周期性

(1)周期函數：對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x+T)

=f(x),那么就稱函數y=f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最

小正周期.

2.中心對稱

定義：如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備

對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心

3.周期性與對稱性的常用結論

(1)函數周期的常見結論設函數y=/(x),x€R,a>0.

①若a),則函數的周期為2a；

②若兀r+a)=—/(無)，則函數的周期為2a；

③若式x+a)=則函數的周期為2a；

7(無)'

1

④若加+a)=則函數的周期為2a；

於＞'

(2)對稱軸常見類型

①/■(久+a)=/(-X+b)代x)圖像關于直線x=W■對稱

②/(%+a)=/(-x+a)qy=/(x)的圖象關于直線x=a對稱

③/'(久)=f(一%+2a)=y=f(%)的圖象關于直線x=a對稱

④/(-x)=f(x+2a)oy=f(x)的圖象關于直線x=a對稱

(3)對稱中心常見類型

①)于(x+a)+f(b-x)=2cay=f(x)圖像關于直線心對稱

②f(a+x)+/(?—x)=2b=y=/(x)的圖象關于點(a涉)對稱

③/(%)+/(2a-X)=2b。y=/(x)的圖象關于點(。/)對稱

@/(-%)+f(2a+x)=2b<=>y=/(x)的圖象關于點(a/)對稱

(4)周期與對稱性的區分

①若f(x+a)=+f(x+b),則f(x)具有周期性；

②若/1(x+a)=+f(-x+b),則f(x)具有對稱性：

口訣：“內同表示周期性，內反表示對稱性”。

考點一、函數的單調性

典例引領

1.(2023?北京?高考真題)下列函數中，在區間(0,+8)上單調遞增的是()

A.f(x)=-InxB.f(x)=表

C.f(x)=一：D.f(x)=

2.(2020?山東?高考真題)已知函數f(x)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數亞，總有

“女)-/(右)>0成立，則函數〃為一定是()

X2~X1

A.奇函數B.偶函數C.增函數D.減函數

■即一時檢測

1.(2021?全國?高考真題)下列函數中是增函數的為()

A./(x)=—XB./(x)=(|)C./(%)=x2D./(%)=yfx

2.(2024高三?全國?專題練習)已知/(%)是定義在R上的偶函數，函數g(%)滿足g(%)+g(-%)=0,且/(%)、

g(%)在(一8,0］單調遞減，則()

A./(g(%))在［0,+8)單調遞減

B.g(g(%))在(一8,0］單調遞減

C.g(/(%))在［0,+8)單調遞減

D./(/(%))在(一8,0］單調遞減

3.(2024?山西呂梁?二模)已知函數y=/(4%-/)在區間(1,2)上單調遞減，則函數/(%)的解析式可以為

()

A./(%)=4x—x2B.f(x)=2陽

C./(%)=—sin%D./(%)=x

4.(23-24高三上?上海楊浦?期中)已知函數y=/(%),%ER.若f(1)</(2)成立，則下列論斷中正確的

是()

A.函數fQ：)在(一8,+8)上一定是增函數；

B.函數/(%)在(-8,+8)上一定不是增函數；

C.函數/(%)在(-8,+8)上可能是減函數；

D.函數/(%)在(-8,+8)上不可能是減函數.

考點二、函數的單調區間

典例I啊

1.(2024高三?全國?專題練習)函數y=工的單調遞減區間為()

X

A.(—°°,+°°)

B.(0,+8)

C.(—0)U(0,+°°)

D.(―°°,0),(0,+°°)

2.(23-24高三上?河南南陽?階段練習)函數y=在區間A上是減函數，那么區間A

是.

即時檢測

1.(23-24高三上?寧夏固原?階段練習)函數y=|—/+4久+5]的單調遞減區間為.

2.(20-21高三上?陜西漢中?階段練習)函數/O)=的單調遞增區間是.

3.(2023?海南海口?二模)已知偶函數y=/(x+l)在區間[0,+8)上單調遞減，則函數y=/(x—1)的單

調增區間是.

4.(22-23高三上?北京?階段練習)能夠說明“若g(久)在R上是增函數，貝hg(外在R上也是增函數”是假

命題的一個g(x)的解析式g(x)=.

5.(23-24高三上?海南僧州?階段練習)若f(%)=3-1為奇函數,則g(x)=ln[(x-3)(%-a)]的單調

遞減區間是.

6.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習)若函數y=/(x)在區間/上是嚴格增函數，而函數y=號在區間/上

是嚴格減函數，那么稱函數y=/(x)是區間/上的“緩增函數”，區間/叫做“緩增區間”.已知函數

是區間/上的“緩增函數”，若定義b-a為[a,切的區間長度，那么滿足條件的“緩增區間”/的

區間長度最大值為.

考點三、利用函數的單調性求參數的取值范圍

典例引領

1.(2023?全國?高考真題)設函數f(x)=在區間(0,1)上單調遞減，貝b的取值范圍是()

A.(—co,-2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2f+oo)

x

2.(2024?湖北?二模)已知函數f(%)=log5(a-2)在[1,+8)上單調遞增，則a的取值范圍是()

A.(1,+oo)B.[In2,+8)C.(2,+8)D.[2,+oo)

即時檢測

1.(2024?廣東揭陽?二模)已知函數/■(￡)=-/+a%+1在(2,6)上不單調，貝Ua的取值范圍為()

A.(2,6)B.(—co,2]U[6,+oo)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

2.(2024?吉林?二模)若函數/(久)=ln(ax+1)在(1,2)上單調遞減，則實數a的取值范圍是.

3.(2024?全國,模擬預測)命題p:0<a<1,命題q：函數f(久)=loga(6-ax)(a>0,aK1)在(一co,3)上

單調，則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點四、函數的奇偶性

典例引領

1.(2024?天津?高考真題)下列函數是偶函數的是()

x2「2x「

A..y=—e-—xB.y=-cos；-x-+-xCc.y=-e---xD.y=——sinxr+-4p-;

;x2+l,x2+l)x+1)elxl

2.(2020?全國?高考真題)設函數/(x)=/-妥,則/(久)()

A.是奇函數，且在(0,+8)單調遞增B.是奇函數，且在(0,+8)單調遞減

C.是偶函數，且在(0,+8)單調遞增D.是偶函數，且在(0,+8)單調遞減

1.(2020?全國?高考真題)設函數/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—l|,則f(x)()

A.是偶函數，且在&+8)單調遞增B.是奇函數，且在(-單調遞減

C.是偶函數，且在(-8,-｝單調遞增D.是奇函數，且在(-8,-》單調遞減

2.(2024?北京?三模)下列函數中，是偶函數且在區間(0,+8)上單調遞增的是()

A./(%)=或B.f(%)=sin|x|

C./(x)-2X+2~xD.f(x)—tanx

3.(2024?湖北武漢?模擬預測)函數/(x)=ln(ex+1)-^()

A.是偶函數，且在區間(0,+8)上單調遞增B.是偶函數，且在區間(0,+8)上單調遞領

C,是奇函數，且在區間(0,+8)上單調遞增D.既不是奇函數，也不是偶函數

4.(2024?北京朝陽?二模)下列函數中，既是奇函數又在其定義域上是增函數的是()

A.f(x)=sinxB.f(x)=cosx

C./(%)=VxD.f(久)=%3

考點五、利用函數奇偶性求參數

典例引領

1.(2023?全國?高考真題)已知/(久)=含是偶函數，貝b=(

A.-2B.-1C.1

2.(2023?全國?高考真題)若/(%)=(%+為偶函數，則a=(

A.-1B.0C.-

2

即時檢測

1.(2024?黑龍江?三模)已知函數f(x)=(ex+e-x)sinx-2在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,

則“+N=()

A.-4B.0C.2D.4

2.(23-24高三上?安徽安慶?階段練習)已知函數/(%)=品+3在區間［-2023,2023］上的最大值為M,

最小值為則M+zn=.

3.(23-24高三上?福建莆田?期中)函數/(%)=(%2-6x)sin(x-3)+%+a(%G［0,6］)的最大值為M,最

小值為血，若M+m=10,則a=.

2

..,_,,r-4、，一，，一、“，2tx+V2tsin(x+—)+%一一,,.u,.,一、一

4.(2023IWJ三?全國?專題練習)右關于x的函數/(%)=----—————(tW0)的取大值和取小值N和

乙K十COSX

為4,貝肛=.

5.(2024高三?全國?專題練習)如果奇函數/(久)在［3,7］上是增函數且最小值5,那么/(x)在區間［-7,-3］

上是().

A.增函數且最小值為-5B.減函數且最小值為-5

C.增函數且最大值為-5D.減函數且最大值為-5

考點六、利用函數奇偶性求解析式

典例引領

1.(23-24高三下?上海?階段練習)已知函數y=/(%),%eR為奇函數，當久＞0時，/(%)=2x3+2%—1,

當久＜0時，/(%)的表達式為()

A.2x3+2%—1B.2x3—2~x+1

C.-2x3+2-x-1D.-2x3-2X+1

2.(23-24高三上-云南昆明?階段練習)/(%)為定義在R上的奇函數，當久＞。時，/(%)=2%+1,則久＜0

時,/(%)-?

即時

1.(2024?江西景德鎮?三模)己知函數/0)=[(5月”<°是奇函數，貝|久〉0時，g(x)的解析式為

ig(x),x>0

()

A.B.Q)XC.-2XD.2X

2.(22-23高三上-黑龍江哈爾濱?期末)已知f(%)為奇函數，g(%)為偶函數，且滿足/(%)+gM=e%+%,

則g(%)=()

3.(2024?云南昆明-模擬預測)已知/(%),g(%)分別為定義在R上的奇函數和偶函數，/(%)+gM=%3+

ax*12+a,則/'(3)=.

4.(23-24高一上?甘肅蘭州?期末)設函數/O)=言是定義在(—1,1)上的奇函數，且/6)=點則函數

/(X)的解析式為.

5.(2023?黑龍江?模擬預測)已知函數f(%)是定義在R上的奇函數，當％V0時，/(%)=%-cosx+1,則

當久>0時，/(x)=.

考點七、利用單調性奇偶性解不等式

典例引領

1.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習)定義在R上的奇函數/(久)滿足對任意的右,外e(0,+8)(刈豐%2),

有忠上9>0,且“2)=0,則不等式(x-1)/(%)<0的解集為()

A.[—2,0]B.(—8,-2)U[1,2]

C.[-2,0]U[1,2]D.(一8,—2]U[0,2]

2.(2024?廣西貴港?模擬預測)已知函數/'(X)=log4(4x+1)-],若/(a-1)W/(2a+1)成立，則實

數a的取值范圍為()

A.(—8,—2]B.(―8,—2]U[0,+8)C.[―2,4"D.(―8,—2]U4+8)

1.(2024?湖北武漢?二模)己知函數/(%)=幻燈，則關于x的不等式/(2x)>/(I-x)的解集為()

A.&+8)B.(-oo,0C.&1)D.(-1,0

2.(2024?江西?模擬預測)己知奇函數人萬)在R上單調遞增，且/(2)=1,則不等式/。)+1<0的解集

為()

A.(—1,1)B.(—2,2)C.(—2,+8)D.(—8,—2)

3.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習)已知函數/0)是定義在R上的偶函數，當％>0時,/(無)=/-

則使得/(-2)>f(x+1)成立的x的取值范圍是()

A.(-oo,-3)B.(1,+co)

C.(―8,—3)U(1,+8)D.(—3,1)

4.(2014?全國?高考真題)已知偶函數f(x)在［0,+8)單調遞減，/(2)=0.若—1)>0,貝卜的取值范

圍是.

5.(2024?湖南長沙?三模)已知函數f(x)=產產=L久*1，則不等式&+2)<2-7(%-4)的解集

(V%+3,%>L

為.

考點八、函數的對稱性

典例引領

1.(?全國?高考真題)函數f(x)=1-X的圖象關于

A.y軸對稱B.直線y=-%對稱

C.坐標原點對稱D.直線y=久對稱

2.(2024?四川成都?三模)函數y=32》與y=3>2x的圖象()

A.關于工=2對稱B.關于x=1對稱

C.關于x=巳對稱D.關于久=:對稱

即時性沖

1.(2024?吉林長春?模擬預測)函數f(x)=%3-3/圖象的對稱中心為()

A.(0,0)B.(1,-2)C.(|,一半)D.(2,-4)

2.(2024?寧夏銀川?三模)已知函數/(x)=33，則下列說法不正確的是()

A.函數/(X)單調遞增B.函數/(久)值域為(0,2)

C.函數/(%)的圖象關于(0,1)對稱D.函數/(x)的圖象關于(1,1)對稱

3.(23-24高三上?北京?開學考試)下列函數中，沒有對稱中心的是()

A，f。)=左B./(%)=%3

C./(x)=tanxD.f(x)—2團

4.(22-23高三上?北京房山?期中)已知函數y=士，則下列命題錯誤的是()

A.該函數圖象關于點(1,1)對稱；

B.該函數的圖象關于直線y=-x+2對稱；

C.該函數在定義域內單調遞減;

D.將該函數圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后與函數y=：的圖象重合.

考點九、利用函數對稱性求解析式

典例引領

L(高考真題)與曲線y=2關于原點對稱的曲線為()

=±B.y=一士C.y=±D.y=一三

2.(全國?高考真題)下列函數中，其圖像與函數y=In尤的圖像關于直線x=1對稱的是

A.y—ln(l—%)B.y—ln(2—x)C.y—ln(l+x)D.y—ln(2+%)

即時便測

1.(22-23高三上?四川成都?階段練習)下列函數中，其圖象與函數f(x)=2,的圖象關于原點對稱的是

()

X-z

A.y=—2B.y=2TC.y=log2xD.y=—2

2.(22-23高三下?河南平頂山?階段練習)下列函數中，其圖象與函數y=log2》的圖象關于直線x=2對

稱的是()

A.y=log2(2+x)B.y=log2(2-x)

C.y=log2(4+x)D.y=log2(4-x)

3.(2022?湖北?模擬預測)下列函數與y=2,-cosx的圖象關于原點對稱的函數是()

Xx

A.=-2+cosxB.yr=2~—cos(—x)

xx

C.yr=—2~+cos(—x)D.=—2~—cos(—x)

4.(2023?陜西寶雞?二模)請寫出一個圖像關于點(1,0)對稱的函數的解析式.

5.(22-23高三上?廣東汕頭?期末)寫出符合如下兩個條件的一個函數/0)=.①-

/(x+2)=0,②“久)在(一8,0)內單調遞增.

6.(20-21高三上?北京西城?期中)函數/(久)的圖象與曲線y=log2%關于久軸對稱，則/(?=()

A.2XB.-2X

C.log2(-x)D.log2i

考點十、函數的周期性

典例引領

1.(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數/(2x+5)的周期是3,則/(x)的周期為().

3

A.5B.3C.6D,9

2.(2024?全國?模擬預測)德國數學家狄利克雷(Dirichlet)是解析數論的創始人之一，下列關于狄利

(1%為有理數

克雷函數D(x)=)%的結論正確的是()

S,久為無理數

A.。0(%)有零點B.0(%)是單調函數

C.DQ)是奇函數D.是周期函數

1.(22-23高三上?廣東廣州?階段練習)已知實數a〉0,函數/(x)的定義域為R,則“對任意的都有

是“2a是函數f(x)的一個周期”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.(20-21高三上?上海崇明?階段練習)關于函數的周期有如下三個命題：

甲：已知函數y=/(x)和y=g(x)定義域均為R，最小正周期分別為Ti、T2,如果geQ,則函數y=/(x)+g(x)

T2

一定是周期函數；

乙：y=/(%)不是周期函數，y=|/Q)|一定不是周期函數；

丙：函數y=/(x)在R上是周期函數，則函數y=/(%)在［0,+8)上也是周期函數.

其中正確的命題的個數為()

A.0B.1C.2D.3

3.(2024高三?全國?專題練習)已知函數f(x)的定義域為R,且對于xGR,恒有f(x+1)=-f(x),

則函數f(x)的周期為.

4.(22-23高三?全國?對口高考)若存在常數p>0,使得函數/(%)滿足/'(px)=/(px—9，則f(p久)的

一個正周期為.

考點十一、奇偶性與周期性求值

典例引領

1.(23-24高三下?云南?階段練習)定義在R上的函數/(久)滿足/(I-x)=以x+1),且、=/(%+2)為

奇函數.當久6(2,3］時，/(%)=(x-2)123-3(x-2),貝次(2023)=()

A.-5B.-2C.-1D.1

2.(2024?福建泉州?模擬預測)已知y=/(%+1)+1為奇函數，貝仔(一1)+/(0)+/(I)+f(2)+f(3)=

()

A.6B.5C.-6D.—5

即時檢測

1.(2024?江西?二模)己知定義在R上的函數/(x)滿足/(0)=0J(3x)=4/(1)且/(I—x)+f(x)=2,則

)

A.52B,-12C.-D.-1

2.(2024?貴州黔西?一模)已知f(x+4)=〃一久)"(久+1)為奇函數，且f(2)=2,則f(2023)+f(2024)=

()

A.4047B.2C.-2D.3

3.(2020?重慶沙坪壩?模擬預測)定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+l)=f(l-久)，且xe[0,1]時,f(x)=

2X-1,則f(log28)=()

A.TB.1C.7D.-j

4.(2024?寧夏固原?一模)已知定義在R上的函數/(X)滿足對任意實數x都有/(X+3)=/(x+2)/(x+1),

/(X)=/(2-%)成立，若/(2)=1,則￡上1/(￡)=.

5.(23-24高三上?貴州貴陽,階段練習)已知函數/(%)=log2|x-a\+1,當久6{x\x*-2}時，/1(6+%)=

fQ—x)，則/(2)=.

考點十二、奇偶性與周期性求參數

典例引領

1.2024?全國?模擬預測)若函數/(%)=而-的圖象關于點(1,0)對稱，則。=()

2x{x—a)A

A.0B.-1C.1D.2

2.(2024?全國?模擬預測)已知函數f(x)=丸的圖象關于點(1,/(1))對稱，則a=()

A.1B.2C.eD.e2

即時檢測

[__________________

1.(2023?江西南昌?三模)若實數小,九滿足鴻3+刖2吧3爪=；?,則根+幾=()

(71，+6nz+13n=-30

A.-4B.-3C.-2D.-1

2.(2023?山西臨汾?模擬預測)若9。+9—2)-3。—1=0,9b+(b+1)-3b+1-9=0,則a+6=

()

A.-B.-C.1D.2

32

3.(23-24高三上?安徽淮南?階段練習)函數門＞)=(久2+2x)(久2+a久+》)滿足：對\/久€/?,都有

/(I+x)=/(I—%),貝！Ja+b為()

A.0B.1C.2D.3

4.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數g(%)=——9/+29%—30,g(jn)=—12,g(n)=18,則

m+n=.

5.(23-24高三上-廣東東莞?期末)若函數/(%)=(%2一2%)(%2+a%+b)的圖象關于％=-2對稱，則a+

b=,/(%)的最小值為.

6.(23-24高三上?山東濟寧?期中)已知函數f(%)=(x+a)log'二關于直線％=b對稱，則2a+

24—x

2b=.

考點十三、奇偶性與周期性解不等式

典例引領

1.(2022?四川涼山?二模)定義在R上的奇函數/(%),滿足+2)=-/(%),當0<%<1時/(%)=x,

則f(X)>W勺解集為()

A$+8)B.[|,j]

C.14/c+3>4k+目(/ceZ)D.12/c+—,2k+(fcGZ)

2.⑵22?湖北十堰-模擬預測)已知函數是偶函數,/(%)在區間[一1,+8)內單調遞減,/(一3)=0,

則不等式/(%)?ln|%+1|>。的解集為()

A.(—3,—1)U(1,+8)B.(—3,—2)U(0,1)

C.(-00,-2)U(-1,1)D.(-1,0)U(1,+oo)

??眼舉w

1.(23-24高三上?江蘇徐州?階段練習)已知函數f(x)=/一品，則不等式(0)+/(2久-1)>-2的

解集為()

A.&+8)B.(1,+co)C.(―8,1)D.(―OO,1)

2.(2023?甘肅張掖?模擬預測)已知函數/(x)的定義域為R,/(久―1)的圖象關于點(1,0)對稱，/(3)=0,

且對任意的久1，%2￡(-00,0),/H叼，滿足"6"看)<0,則不等式(％-1)/(%+1)>0的解集為()

%2一工1

A.(-oo,l]U[2,+oo)B.[-4,-1]U[0,1]

C.[—4,—1]U[1,2]D.[—4,-1]U[2,+8)

3.(23-24高三上?遼寧遼陽?期末)已知/(%+1)是偶函數，/(%)在[1,+8)上單調遞增，f(0)=0,則不

等式0+1)/(%)>0的解集為()

A.(1,+oo)B.(2,+oo)

C.(-2,0)U(0,2)D.(-1,0)U(2,4-00)

4.(2022?上海?模擬預測)設/(久)是定義在R上的以2為周期的偶函數，在區間［1,2］上嚴格遞減，且滿足

f5)=1，f(2n)=0,則不等式組1的解集為—.

5.(2022?江西景德鎮?三模)周期為4的函數/(%)滿足f(x)=/(4-x),且當x6［0,2］時/(x)=j—i,

則不等式f(x)<0在［-2,2］上的解集為—；

6.(22-23高三上?全國?階段練習)已知函數/(x)在R上單調遞增，若/(4-x)+/O)=2,且"3)=2,

則0—1)W2的解集為.

IN.好題沖關

A基礎過關

1.(2024?陜西安康?模擬預測)已知函數/(無)=比3一%+］n(x+不淳)(xeR)為奇函數，則a=

()

A.-1B.0C.1D.V2

2.(2024?山東泰安?三模)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x20時，f(x)=-x5-3x+a-1,

則f(-a)的值為()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024?浙江紹興?三模)已知函數f(2久+1)為偶函數，若函數90)=/(久)+21-支+2，-1一5的零點個

數為奇數個，則/(I)=()

A.1B.2C.3D.0

4.(2024?四川成都?模擬預測)函數y=3支與y=一*的圖象()

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.關于y=久對稱

5.(2024?青海西寧?模擬預測)已知函數/(久)是定義在R上的偶函數,且滿足f(x+4)=〃久)，當xe［-2,0］

時，/(x)=-3X-2