圓中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的

含義；再運用新定義解決問題；然后得出結論。

方法二：從數學理論應用探究問題入手

對于涉及到數學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內容，并注意這些新知識運用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結合生活實際,

再將問題轉化成數學知識、或者將生活圖形轉化為數學圖形，從而利用數學知識進行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

4.弧長的計算

(1)圓周長公式：C=2nR

(2)弧長公式：/=史曳(弧長為/,圓心角度數為小圓的半徑為R)

180

①在弧長的計算公式中，〃是表示1°的圓心角的倍數，〃和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長.

③題設未標明精確度的，可以將弧長用7T表示.

④正確區分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的

弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一.

填空題（共2小題）

1.（2021?祿勸縣模擬）如圖，A42C是正三角形，曲線⑦所…叫做''正三角形的漸開線”,

其中弧C。、弧。￡、弧所的圓心依次按N、B、C...循環，它們依次相連接.若=1,

則曲線CDEF的長是_4萬_.

【考點】等邊三角形的性質；弧長的計算

【分析】曲線CDE尸的長由弧CD,弧DE,弧所組成，它們所對的圓心角都為120。，而

半徑分別為1,2,3,根據弧長公式分別計算三個弧長，求它們的和即可.

【解答】解：?.?A42C是正三角形，

ACAD=NDBE=NECF=120°,

又：AB=1,

:.AC=],BD=2,CE=3,

「cnnTAAl/4120X4X12〃

/.CD弧的長度=--------=一；

1803

八廠耐鉆工的120x4x24〃

DE弧的長度=---------二一；

1803

EF弧的長度=生二1=2萬；

180

所以曲線CQ跖的長為紅+加+21=4%.

33

故答案為：4萬.

【點評】本題考查了弧長的計算公式：/=辿，其中/表示弧長，〃表示弧所對的圓心角

180

的度數.

2.(2020?成都模擬)如圖，在A48C中，D,E分別是A48c兩邊的中點，如果(可

以是劣弧、優弧或半圓)上的所有點都在AA8C的內部或邊上，則稱1定為AA8C的中內弧,

例如，圖中亦是AA8C其中的某一條中內弧.若在平面直角坐標系中，已知點尸(0,4),

0(0,0),〃(4,0),在AFO〃中，M,N分別是尸。，萬H的中點，AFOH的中內弧而所

在圓的圓心尸的縱坐標機的取值范圍是—7ZT#或—.

【考點】坐標與圖形性質；三角形中位線定理；垂徑定理

【分析】先判斷出點P在線段的垂直平分線上，再求出點M,N,0的坐標，再分點

P在上方和下方，即可得出得出結論.

【解答】解：如圖，連接ACV,

由垂徑定理可知，圓心產一定在線段的垂直平分線上，

作MN的垂直平分線QP,

-：M,N分別是尸O,EH的中點，且尸(0,4),0(0,0),1/(4,0),

W,2),N(2,2),0(1,2),

若圓心在線段上方時，

設尸(1,小)由三角形中內弧定義可知，圓心尸在線段上方射線。尸上均可，

當圓心在線段MN下方時，

???OF=OH,ZFOH=90°

ZFHO=45°,

MN//OH,

ZFNM=ZFHO=45°,

作NG_LF〃交直線。。于G,QG=NQ=\,

根據三角形中內弧的定義可知，圓心在點G的下方(含點G)的直線。尸上時也符合要求；

綜上所述，小#或

故答案為“牙或m^L.

【點評】此題主要考查了新定義，垂徑定理，三角形的中位線，線段的垂直平分線定理，找

出點尸在線段的垂直平分線上是解本題的關鍵.

二.解答題（共18小題）

3.（2021秋?石景山區期末）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為2.點尸，Q為。O

外兩點，給出如下定義：若上存在點N,使得以尸，Q,M,N為頂點的四邊形

為矩形，則稱點P,。是。。的“成對關聯點”.

（1）如圖，點4B,C,。橫、縱坐標都是整數.在點B,C,。中，與點/組成OO

的“成對關聯點”的點是B、C；

（2）點ECt,t）在第一象限，點尸與點￡關于x軸對稱，若點E,尸是。。的“成對

關聯點”，直接寫出，的取值范圍；

（3）點G在/軸上，若直線＞=4上存在點X,使得點G,X是。。的“成對關聯點”，

直接寫出點G的縱坐標＞G的取值范圍.

-6-

j

A

4B

C

■'

/

f1\

)-XO(1446

VJ)

\_/

?3

D

T

【考點】圓的綜合題.

【分析】（1）根據o。的“成對關聯點”的定義，利用數形結合的方法判斷即可；

（2）由題意可得點￡Qt,t）在直線y=x上，利用點和圓的位置關系和。。的“成對關

聯點”的線段的長度不大于圓的直徑列出不等式，解不等式即可得出結論；

（3）利用分類討論的思想分析得到點G的大致位置，通過計算點G,〃的最大臨界值即

可求得結論.

在點5,C,。中，與點/組成。。的“成對關聯點”的點是：B,C,

故答案為：B,C.

(2)，??點E(6t)在第一象限，

:?點E(/,t)在直線y=x上，

設直線y=x與。。交于點M(訪Q),可知(W=2,

a2+a2=OM1=4,

解得：。=±&，

??,點〃在第一象限，

(1=(^2.

由。。的“成對關聯點”的定義可知：。。的“成對關聯點”在圓外,

：.OE>OM,

.,“>加?

:點尸與點E關于x軸對稱，

：.EF=2t,

由題意：EFW2X2=4,

.?⑵W4.

解得：fW2.

...若點E,歹是。。的“成對關聯點”，/的取值范圍：圾V/W2.

顯然，直線y=4上不存在點“，使得點G,〃是。。的“成對關聯點”;

當VG<4時，如圖所示：

顯然，直線y=4上不存在點“，使得點G,〃是。。的“成對關聯點”；

當3>4時，顯然，直線歹=4上存在點使得點G,H是。。的“成對關聯點”,

如圖所示：點G,H是。。的“成對關聯點”，為。。的直徑，

???此時，G”取得最大值，w取得最大值.

設＞G=冽，m＞4,直線＞=4與＞軸交于點K,

則。G=冽，GK=m-4.

則四邊形3反\也是矩形，

:?GH=MN=4,NM=/MGH=90°.

ZMGO+ZHGK=90°,

GK1,KH,

:?/HGK+/GHK=90°.

???ZMGO=ZGHK.

VZM=ZGKH=90°，

/.叢MGOs叢KHG,

.MQ_GK

"OG'GE"

??2?m=--4?

m4

解得：相=2±2?.

Vw>4,

..機=2+2,^3.

二點G的縱坐標>G的取值范圍：4<”?W2+2jW

【點評】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關概念及性質，圓的直徑，矩形的

性質，一次函數的圖象和性質，相似三角形的判定與性質，直角坐標系，點的坐標的特

征，本題是新定義型題目，理解題干的新定義并熟練應用是解題的關鍵.

4.(2021秋?海淀區期末)在平面直角坐標系中，圖形少上任意兩點間的距離有最大值,

將這個最大值記為d.對點尸及圖形印給出如下定義：點。為圖形少上任意一點，若尸，

0兩點間的距離有最大值，且最大值恰好為24.則稱點尸為圖形少的“倍點”.

(1)如圖1,圖形少是半徑為1的OO.

①圖形少上任意兩點間的距離的最大值d為2；

②在點6(0,2),鳥(3,3),月(-3,0)中，。。的“倍點”是；

(2)如圖2,圖形少是中心在原點的正方形48CD,點若點￡(7,3)是正方形/BCD

的“倍點”，求f的值；

(3)圖形少是長為2的線段MN,T為血W的中點，若在半徑為6的。。上存在線段

的“倍點”，直接寫出所有滿足條件的點7組成的圖形的面積.

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)①根據定義解答可；②分別找出6。、6。、乙。的最大值，再根據定義判斷

即可；

(2)正方形ABCD上的任意兩點間的距離最大值為272,若點E是正方形ABCD的“倍點”,

則點E到ABCD上點的最大距離好為4a.結合圖形即可求解；

(3)分線段在。。內部和在。O外兩種情況討論即可求解.

【解答】解：(1)①?.?圖形平是半徑為1的OO,

圖形少上任意兩點間的距離的最大值4為2.

故答案為：2；

②如圖1,連接P2O并延長交OO于點E,

???PQ=V32+32=372,

P,E=3A/2+1w2d,

二巴不是O。的“倍點”；

?.?耳到。。上各點連線中最大距離為2+1=3w2d,

二片不是OO的“倍點”；

?.?5到O。上各點連線中最大距離為3+1=4=24,

:.且是OO的“倍點”.

故答案為：P3.

(2)如圖2,在正方形N8CD中，

正方形ABCD上任意兩點之間距離的最大距離d=V22+22=2V2,

Id=4V2,

由圖可知當點E在如圖所示的位置時，E是正方形/BCD的“倍點“，

OE=372,

.,/的值為：3或-3.

(3)MN<d=2,2d=4,

當線段跖V在OO內部時，T組成的圖形為半徑為4的圓，$=萬/=16萬；

當線段MV在G)O外部時，7組成的圖形為半徑為8的圓，5="/=64萬，

故點7所構成的圖形的面積為16萬或64萬.

【點評】此題考查考查了圓的性質和新定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會尋找特殊

位置解決數學問題，屬于中考壓軸題.

5.(2021秋?豐臺區期末)對于平面直角坐標系xQy中的圖形M,N,給出如下定義：若

圖形〃和圖形N有且只有一個公共點尸，則稱點P是圖形〃和圖形N的“關聯點”.

已知點4(2,0),8(0,2),C(2,2),DQ#).

(1)直線/經過點/,02的半徑為2,在點N,C,。中直線/和C2的“關聯點”是點

C一；

(2)G為線段GM中點，。為線段。G上一點(不與點。，G重合)，若。。和AO4D有

“關聯點”，求。。半徑r的取值范圍；

(3)07的圓心為點T(0,。0>0)，半徑為，，直線切過點/且不與x軸重合.若和

直線加的“關聯點”在直線y=x+6上，請直接寫出6的取值范圍.

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)利用“關聯點”的定義進行判斷即可;

(2)由題意判定出A4。。為等邊三角形，過點。作。尸，CD于點尸，交。G于點E,依

據“關聯點”的定義判定出圓心。的位置，利用。E<DQ<OG即可得出結論；

(3)由題意判定出07和直線加的“關聯點”G的軌跡是以。〃=4為直徑的半圓(O,H

除外)，根據題意求得直線y=x+b的兩個臨界值即可得出結論.

【解答】解：(1)???/(2,0),2(0,2),C(2,2),

:.ACLBC,BC=2,

.?.點B到/C的距離為2.

OB的半徑為2,

是03的切線.

直線/與08有且只有一個公共點C,

?.■直線/D與02相交，而過點/的直線有無數條，

，在點/,C,。中直線/和03的“關聯點”是點C.

故答案為：點C;

(2)由題意畫出圖形如下，過點。作CE_LCD于點尸，交。G于點￡,

G(l,0).

OG=1.

D(1,V3),

:.DG=BDGVOA.

DG為OA的垂直平分線.

DO-DA.

???tanZDOG=—=V3,

OG

/DOG=60°.

為等邊三角形.

???OF1AD,

DF=AF,

:.OF是AD的垂直平分線.

.,.點E是A40D的夕卜心.

/.EO=EA=ED.

??,Q為線段DG上一點（不與點。，G重合），。。和ACM。有“關聯點”,

.?.點。在線段GE上（。與￡,G不重合），。。半徑廠=QD.

OF平分NDOA,

:.ZFOA=-ZDOA=30°.

2

EG

tanNFOA=---，

OG

EG

?.丁―

..\J￡J-.

3

.八萬八心心"百2百

..DE=DG—EG=73----=----,

33

由題意：DE<DQ<DG,

---</.

3

。。半徑r的取值范圍為：空＜7；

則點G為直線機與的“關聯點

???TO1AO,TO=t,07的半徑為/,

二/O是07的切線.

由切線長定理可得：AG=A0=2.

.?.07和直線機的“關聯點”G的軌跡是：以點4為圓心，/。=2為半徑的半圓（與x軸

的交點。，〃除外），

即點G的軌跡是以。〃=4為直徑的半圓（。，〃除外）.

由題意：77（4,0）.

?.?07和直線”的“關聯點”在直線y=x+6上，

當直線經過點77時，4+6=0,

解得：b=-4.

設直線y=x+b與x軸交于點與y軸交于點N,

則可（-瓦0）,N（0,b）.

:.OM=|-b|=||.ON=\b\.

OM=ON.

ZNMO=MNO=45°.

?.?07和直線”的“關聯點”在直線y=x+6上，

當直線機與以08=4為直徑的半圓相切時，b取得最大值，

設切點為G,此時NGJ_加于點G,

ZNM0=45°,

:.ZMAG=ZGMA=45°.

MG=AG=2.

MA=2V2.

OM=AM-OA=2V2-2.

ON=OM=242-2,

6的取值范圍為：啦-2.

【點評】本題是一道圓的綜合題，主要考查了直線與圓的位置關系，圓的切線的判定與性質，

點的坐標與圖形，等邊三角形的判定與性質，點的坐標的特征，一次函數圖象上點的坐標的

特征，用點的坐標表示出相應線段的長度，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用新定義是解

題的關鍵.

6.（2021秋?大興區期末）在平面直角坐標系x切中，點M在x軸上，以點”為圓心的圓

與X軸交于/(1,0),5(4,0)兩點，對于點P和。”,給出如下定義：若拋物線

了="2+云+°(°w0)經過/,8兩點且頂點為尸，則稱點尸為的''圖象關聯點”.

(1)已知E(5,2),F(j,-4),G(3,l),77(1,3),在點E,F,G,X中，OM的”

圖象關聯點”是_F_H_；

(2)已知的“圖象關聯點"尸在第一象限，若OP=，PM,判斷OP與的位置

3

關系，并證明；

(3)已知C(4,2),￡>(1,2),當0M的“圖象關聯點”尸在0M外且在四邊形/BCD內時,

直接寫出拋物線y="2+bx+c中。的取值范圍.

【考點】二次函數綜合題

【分析】(1)由拋物線及圓的對稱性可知，0M的”圖象關聯點”在線段的垂直平分線

上，由此可判斷；

(2)連接尸過點M作7W_L。尸于點N,證明=即可；

(3)求出點P縱坐標為1.5或2時的函數解析式，再判斷°的取值范圍即可.

【解答】解：(1)?.?拋物線了=亦2+6%+。心0)經過4(1,0),8(4,0)兩點且頂點為尸,

則頂點P的橫坐標為之,

2

在點E,F,G,〃中，點尸和點X的橫坐標為：-,

2

，在點￡,F,G,〃中，O"■的”圖象關聯點”是尸，H；

故答案為：F,H.

(2)。尸與0M的位置關系是：相切.

?；4B為OM的直徑，

:.M為AB的中點.

5(4,0),

AM=-.

2

OM=~.

2

連接尸M.

?.?尸為OM的“圖象關聯點”,

.?.點尸為拋物線的頂點.

二點P在拋物線的對稱軸上.

PM是AB的垂直平分線.

PMLAB.

過點“作MNJ_OP于N.

S.=-OMPM=-OP-MN.

ISnvJMJVPir22

■.■OP=-PM

3

:.MN=OMPM=-=AM.

OP2

:.OP與OM相切.

(3)由(1)知，頂點P的橫坐標為之，由(2)知。”的半徑為1.5,

2

已知C(4,2),￡>(1,2),當。/的“圖象關聯點”尸在外且在四邊形/BCD內時,

頂點P的坐標范圍大于1.5且小于2,

當拋物線頂點坐標為(2.5,2)時，設拋物線的解析式為：y=a(x-2.5y+2,把點/(1,0)代入

得，a=--；

9

當拋物線頂點坐標為(2.5,2)時，設拋物線的解析式為：>=Q(X-2.5)2+1.5,把點4(1,0)代

入得，a=—；

3

:.a的取值范圍為：~-<a<--.

93

【點評】本題考查圓的綜合問題，解題關鍵是根據圖象關聯點的定義，得出點尸的橫坐標;

涉及待定系數法求函數解析式，三角形的面積等知識，綜合程度較高，需要學生認真理解題

十.

7.(2021秋?海淀區校級期末)平面內的。。和OO外一點過點/的直線/與。。交于2,

C兩點(8在N,C之間)，點。為平面內一點.若以為邊的正方形的面積等于

分別以N8,4C為一組鄰邊的矩形的面積，則稱正方形斯為點/關于OO的“原本正

方形”，該正方形的中心稱為點/關于。。的“原本點”.

如圖所示，正方形4DEF的面積等于矩形的面積，其中/"=稱正方形/DEF

為點/關于。。的“原本正方形”，該正方形中心點G稱為點/關于。。的“原本點”.特

別的，當點D恰好在O。上時，稱此時正方形的中心G為點/關于。。的“單純原本點”.

(1)在平面直角坐標系x切中，。。的半徑為4,/(-6,0).

①過點/的直線/與x軸重合，則點/關于00的“原本正方形”的邊長為_2石_；

②過點/的直線/與x軸夾角為30。，則點/關于O。的“原本點”中，橫縱坐標均為整數

的點有個.

(2)0M的圓心為半徑為1.點/為坐標平面上一點，且M4=石，過點/的

直線/與0M交于3,C兩點.直線y=r+5與x,?軸分別交于點。和點E,若線段OE

上存在點/關于的“原本點”，求他的取值范圍.

(3)ON的圓心為N(",0)(?>0),半徑為.點〃為坐標平面內一點，過點〃的

直線/與ON有兩個交點，且ON=NH.若直線y=怎+6上存在點尸，使得點P為點H關

于ON的“單純原本點”，直接寫出"的最小值.

【分析】(1)①根據新定義設點4關于。。的“原本正方形”的邊長為。，得出8、。的坐

標，即可求得答案;

②根據圓內接四邊形的性質可證得AzlBPsg。。，得出/G=J歷，再由橫縱坐標均為整數

的點即可得出答案；

(2)根據“原本正方形”的定義，分別求出力的最小值和最大值，即可得出答案；

(3)如圖4,過點N作NE_L48于7,交ON于。，連接DH,以。H為邊長作正方形瓦陽D,

連接。月、EH交于點、P,過點尸作于。，先求出/(-2百，0),5(0,6),利用

三角函數得出ZBAO=60°,根據直線AB上點P為點H關于ON的“單純原本點”,求出NN、

NT,再根據三角函數定義建立方程求解即可.

【解答】解：(1)①設點/關于OO的“原本正方形”的邊長為a,如圖1,

???OO的半徑為4,

.-.5(-4,0),C(4,0),

/(-6,0),

,45=-4-(-6)=2,/C=4-(-6)=10,

a~=2x10,

丁a>0，

a—,

故答案為：2石.

②如圖2,ZCAQ=30°,直線/與O。交于P、Q,連接AP、CQ,

?.?四邊形BCQP是圓內接四邊形，

:.AACQ+ABPQ=\^°,

■：ZAPB+ZBPQ=1SQ°,

AACQ=NAPB,

\ABP^\AQC,

AP_AB

,,就一而‘

APAQ=ABAC,

2

/.AD=APAQ=ABACf

由①知：AD=2

???四邊形ADEF是正方形，

:.AG=—AD=—x2乒M,

22

根據F+32=1()2,可知I%-盯1=1或3,從-”1=1或3,

xG——5或—7或-3或—9，yG-il或±3,

橫縱坐標均為整數的點有8個，

故答案為：8.

(2)如圖3,?.?人優=石，的圓心為“(加,0),半徑為1，

(V5+1)(75-1)=4,即點4關于0〃■的“原本正方形”的面積為4,

.?.點/關于。〃的“原本正方形”的邊長為2,

先求機的最小值，過點初作于點G,點/在線段MG上，

則=5AG=42,

:.MG=45+y/2,

?.,直線y=-x+5與x,y軸分別交于點。和點E,

，D(5,0),￡(0,5),

OD=OE=5,

???/DOE=90°,

/EDO=45°,

MGy/5+r~r

DM=--------------=-------=V10+2,

sinZGDMsin45°

加最小值=5-(M+2)=3-,

再求加的最大值，DM'=MG=y/5+42,

加最大值=5+4+"'

,加的取值范圍為3-^^6氏5+石+也.

(3)如圖4,過點N作NE_L48于T,交ON于。，連接。X,以ZW為邊長作正方形￡口遼),

連接。尸、EH交于點P,過點尸作于。，

?.,直線y=J5x+6與x軸、y軸分別交于點N、B,

A(-2y/3,0),8(0,6),

一;N(n,0)(〃>0),半徑為goN,

AN=n—(—2^3)=n+2色,

■：tanZ.BAO==班,

OA2百

ZBAO=60°,

?.?直線AB上點P為點〃關于ON的“單純原本點”,

.?.點P為正方形EFHD的中心,

:.PQ=^DH,

?：DN=在ON,HN=ON,ZHDN=90°,

5

DH=SIHN2-DN2=J/一咚4=竽〃，

pQ=DQ=^Ln,

NEDH=ZPQD=NDTP=90°,

二四邊形。QPT是正方形,

DT=PQ=fn=DN,

:.NT=—n,

5

NT

,/=sinZBAO,

AN

R

NT=AN-sinZBAO,BP-2^-n=(n+2^/3)-sin60°,

解得：〃=24?+306,

n的最小值為2475+3073.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質，正方形的性質，圓內接四邊形的性質，三角

函數，相似三角形的判定和性質，一次函數圖象和性質等，解題關鍵是理解并正確運用新定

義.

8.(2021秋?門頭溝區期末)如圖，在平面直角坐標系xpy中，C(0,2),的半徑為1.如

果將線段AB繞原點。逆時針旋轉a(0°<a<180°)后的對應線段A'B'所在的直線與OC相

切，且切點在線段4夕上，那么線段就是OC的“關聯線段”，其中滿足題意的最小。就

是線段與。。的“關聯角”.

(1)如圖1,如果/(2,0),線段。/是OC的“關聯線段”，那么它的“關聯角”為60

(2)如圖2,如果4(-3,3)、4(-2,3),4(1,1)、B2(3,2),4⑶。)、53(3,-2).

那么0c的“關聯線段”有—(填序號，可多選).

①線段4月

②線段42

③線段42

(3)如圖3,如果3(1,0)、D&0),線段3。是OC的“關聯線段”,那么/的取值范圍是.

(4)如圖4,如果點M的橫坐標為加，且存在以“為端點，長度為G的線段是0C的“關

圖3圖4

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)畫圖確定相切位置確定關聯角即可；

(2)連接OA2,OB2,OB3,根據線段掃過的位置判斷即可；

(3)根據。點的運動軌跡判斷，的最小值即可得出取值范圍；

(4)結合題意作圖得出他的最大值和最小值即可得出他的取值范圍.

【解答】解：（1）如圖1,作OQ與。。相切于點。,

/.CDLOD,

.—CD1

smZCOD=-----=—，

OC2

/COD=30°,

ZAOD=60°,OD=V3<2,

.?.ON的“關聯角”為60。，

故答案為：60；

(2)如圖2,連接。屈，OA2,OB2,OB3,

OB[=3^3>3,

44繞o旋轉無法與oc相切，

故4⑸不是oc的“關聯線段”，

04=V2,。叫=而，V2<3<V13,

.??4當是。C的“關聯線段”，

,.1OA3=3，

???44是。c的“關聯線段”，

故答案為：②③；

(3)如圖3,

圖3

,2點旋轉路線在半徑為1的OO上，

當。〃與OC相切時，

由（1）知，OD=。,

，當心。時，線段是OC的“關聯線段”,

故答案為：心Q；

M點運動最小半徑是。到過（加,0）的直線/的距禺是“2,

CD=1,M'D=V3,

M'C=2，

:.OM'=4,

的最大值為4,

開始時存在ME與OC相切，

CE=1,ME=6

MC=2,

?：0°<a<180°,

m>-2,

綜上，加的取值為-2cm<4,

故答案為：-2<m<4.

【點評】本題主要考查圓的綜合題型，準確理解關聯線段與關聯角的定義是解題的關鍵.

9.(2021秋?海淀區校級期末)新定義：在平面直角坐標系xQy中，若幾何圖形G與04有

公共點，則稱幾何圖形G的叫O/的關聯圖形，特別地，若04的關聯圖形G為直線，則稱

該直線為。/的關聯直線.如圖，為。/的關聯圖形，直線/為。/的關聯直線.

(1)已知。。是以原點為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：

①直線y=2x+2；②直線y=-x+3；③雙曲線y=工，是OO的關聯圖形的是①③(請

X

直接寫出正確的序號).

(2)如圖1,OT的圓心為7(1,0),半徑為1,直線/:y=-x+6與x軸交于點N,若直線/

是07的關聯直線，求點N的橫坐標的取值范圍.

(3)如圖2,已知點8(0,2),C(2,0),。(0,-2),O/經過點C,O/的關聯直線期經過

點、B,與。/的一個交點為產；。/的關聯直線上㈤經過點。，與。/的一個交點為。；直

線HB,HD交于點、H,若線段P0在直線

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)根據ON的關聯圖形的定義判斷即可.

(2)直線/的臨界狀態是和07相切的兩條直線人和乙，求出兩種特殊情形的點N的橫坐標

即可解決問題.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當點。在點P是上方時，連接3。，PD交于點H,當圓

心/在x軸上時，點8與點C重合，此時8(2,0),得到力的最大值為2.如圖3-2中，當

點尸在點0是上方時，直線30,PD交于點、H,當圓心/在x軸上時，點”(-6,0)得到〃的

最小值為-6,由此即可解決問題.

【解答】解：(1)由題意①③是。。的關聯圖形,

故答案為①③.

(2)如圖1中

圖1

?.■直線/j=-x+6是。7的關聯直線，

二直線/的臨界狀態是和相切的兩條直線1、和12,

當臨界狀態為4時，連接力為切點)，

:.TM=1,TMYMB,且NTWO=45°,

△力IW是等腰直角三角形，

:.TN=41,OT=1,

N(l+y/2,0),

把N(l+應，0)代入y=-x+6中，得到6=1+四,

同法可得當直線是臨界狀態時，b=-41+\,

.?.點N的橫坐標的取值范圍為-亞+1』反+1.

(3)如圖3-1中，當點。在點尸是上方時，連接2。，PD交于點、H,當圓心/在x軸上

時，點H與點C重合，此時〃(2,0),得到〃的最大值為2,

圖3-1

如圖3-2中，當點P在點。是上方時，直線尸3,QD交于點、H,當圓心/在x軸上時，點

H(-6,0)得到h的最小值為-6,

綜上所述，-8+<0,0<h-^S..

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了的關聯圖形的定義，直線與圓的位置關系等知識，

解題的關鍵是理解題意，學會尋找特殊點，特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題.

10.(2021秋?工業園區校級期中)在平面直角坐標系內，過OT(半徑為r)外一點P引它

的一條切線，切點為。,若則稱點P是。T的''沙湖點”.

(1)當O。的半徑為1時，

①在點N(4,0),B(0,5,C(1,G)中，0。的“沙湖點”是_C_；

②點。在直線y=x+3上，且點。是。。的“沙湖點”，求點。的橫坐標d的取值范圍；

(2)的圓心為“(私0),半徑為2,直線y=2x-2與x軸，y軸分別交于點￡,F.若

直線跖上的所有點都是OM的“沙湖點”，求機的取值范圍.

4-

3-

2~

1-

IlliIlli

-4-3-2-1O1234

-1-

-2-

-3-

—4一

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)①畫出圖形，求出切線長，根據。。的“沙湖點”的定義判斷即可.

②如圖2中，設點。的坐標為(4,4+3),構建方程求出兩種特殊位置時點。的坐標即可解

決問題.

(2)求出幾種特殊位置時"的值即可判斷.①如圖3-1中，設￡7是的切線，當FT=4

時，線段M上的所有點都是GW的沙湖點.②如圖3-2中，設ET是GW的切線，連接,

則NM7E=90。.③如圖3-3中，當OM在直線所的左側與E尸相切時，設切點為7,連

接分別求出的值，結合圖形即可得出結論.

【解答】解：(1)①如圖1中，

圖1

?.?/(4,0),2(0,6),CQ,5,

切線AG的長=V42-12=后＞2,

切線BN的長=V?=1=2,

切線CM的長=6<2,

:.點、B,C是，OO的沙湖點,

故答案為：B,C.

②如圖2中，設點。的坐標為(4,1+3),

圖2

當過點。的切線長為2r=2時，

.-.c>r)=Vi2+22=V5,

d2+(d+3)2=5,

解得&=-2,d2=—1.

結合圖象可知，點。的橫坐標d的取值范圍是-2姆-1.

(2)由題意￡(1,0),F(0,-2).

①如圖3-1中，設ET是OM的切線，當下7=4時，線段￡尸上的所有點都是O"的沙湖

點，此時加=4.

觀察圖象可知：當3<,火4時，線段昉上的所有點都是。”的沙湖點.

②如圖3-2中，設￡7是的切線，連接MT,則4Vf7E=90。，

當ET=4時，EM+ET?=正+4?=2出,止匕時機=1一2行，

③如圖3-3中，當OM在直線跖的左側與所相切時，設切點為T,連接MT.

圖3-3

V￡(1,0),/(0,-2),

:.OE=1,OF=2,

EF=V22+12=V5,

???M是切線,

:.EFLMT，

AMTE=AEOF=90°,

???/MET=ZFEO,

\MTE^\FOE,

,EMMT

"~EF~~OF'

EM_2

■-7T=2'

EM=M

此時m=l-y/5,

結合圖象可知，當1-2/5<1-石時，線段所上的所有點都是0M的沙湖點，

綜上所述，機的取值范圍是1-2氐初<1-君或3<2.

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了圓的沙湖點的定義，切線的性質，解直角三角形等知識，

解題的關鍵是理解題意，學會利用特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題.

11.(2021秋?涕陽市期中)概念認識：

平面內，”為圖形T上任意一點，N為。。上任意一點，將“、N兩點間距離的最小值稱

為圖形T到00的“最近距離”，記作d(T-O。).例：如圖1,在直線/上有/、C、。三

點，以/C為對角線作正方形N8CD,以點。為圓心作圓，與/交于￡、尸兩點，若將正方

形/BCD記為圖形T,則C、E兩點間的距離稱為圖形T到。的“最近距離”.

數學理解：

(1)在平面內有/、B兩點，以點/為圓心，5為半徑作ON,將點2記為圖形T,若

d(T-OA)=2,貝1JAB=3或7.

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，以。(0,0)為圓心，半徑為2作圓.

①將點C(4,3)記為圖形7,貝1］或7-。。)=.

②將一次函數>=丘+2行的圖記為圖形T,若d(T-O)>0,求左的取值范圍.

推廣運用：

(3)在平面直角坐標系中，尸的坐標為90),OP的半徑為2,￡兩點的坐標分別為(5,5)、

(5,-5),將ADOE記為圖形T,若d(T-OP)=l,則/=.

D

A

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)根據圖形T到。。的“最近距離”的定義即可解決問題.

(2)①如圖2中，連接OC交OO于E.求出EC的長即可.

②如圖，設直線y=fcc+2血與。0相切于E,K.連接。K,OE.求出直線DE,直線。K

的解析式即可解決問題.

(3)分兩種情形：①如圖3-1中，當點尸在/DOE內部時，作于交。尸于

K.②如圖3-2中，當點尸在ZDOE的外側時，分別求解即可.

【解答】解：(1)如圖1中，

圖1

d(T-QA)=2,

CB=CB，=2,

-AC=5,

；.AB，=5—2=3,AB=5+2=1.

故答案為：3或7.

(2)①如圖2中，連接。C交。。于E.

圖2

???C(4,3),

/.OC=A/42+32=5,

OE=2,

EC=3,

d(T—OO)—3.

故答案為：3.

②如圖，設直線y=fcc+2也與0。相切于￡,K.連接OK,OE.

■：OEYDE,OKVDK,OD=2及，OE=OK=2,

DK=yjoD21OK1=7(2V2)2-22=2,DE=y/OD21OE1=7(2A/2)2-22=2,

DE=OE=DK=OK,

二.四邊形DEOK是菱形，

ZDKO=NDEO=90°,

四邊形。石0K是正方形，

/ODE=ZODK=45°,

直線DE的解析式為y=-x+2亞,直線DK的解析式為y=x+2后,

*.*d(T—O。)>0,

/.觀察圖象可知滿足條件的k的值為-1〈左<1且左。0.

(3)如圖3-1中，當點尸在QE的右邊時.

ZDOP=45°,

=5+1+2=8

「.，=8.

如圖3-2中，當點尸在ZDOE的外側時，由題意可知OW=1,OP=1+2=3,t=-3.

圖3-2

綜上所述，滿足條件的/的值為8或-3.

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關系，圖形T到。。的“最近距離”的

定義，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬

于中考壓軸題.

12.(2021?常州一模)在平面直角坐標系xpy中，OO的半徑是M，A,8為G>O外兩

點，AB=2^2.給出如下定義：平移線段AB,使平移后的線段4夕成為。。的弦(點H,

2,分別為點/,B的對應點)，線段44,長度的最小值成為線段到。。的“優距離”.

圖1圖2

(1)如圖1,。。中的弦［巴、8心是由線段48平移而得，這兩條弦的位置關系是，￡

行；在點P2,P3,舄中，連接點/與點的線段長度等于線段到。。的“優

距離”；

(2)若點/(0,7),2(2,5),線段44,的長度是線段到。。的“優距離”，則點4的坐標

為;

(3)如圖2,若4,8是直線y=-x+6上兩個動點，記線段到。。的“優距離”為d,

則d的最小值是；請你在圖2中畫出d取得最小值時的示意圖，并標記相應的字母.

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)根據平移的性質，可以得到5//月舄，由圖可以得到的長度等于線

段到。。的“優距離”；

(2)根據定義和(1)提示，可以知道,平移AB,使對應點落在圓上，即在圓上滿足AB//A'B',

AB=A'B',這樣的4夕只有兩條，別切位于圓心兩側，根據題意畫出草圖，可以得到如圖

1的位置，線段44,是線段到。。的優距離，利用/和2坐標，求出直線22解析式，從

而得到直線49的比例系數左=-1,同時可以得到A/IOM為等腰直角三角形，因為

A'B'=2V2,過。作08_L4夕，利用垂徑定理和勾股定理，求出。〃=20,利用

AAMO=45,得到△。力W為等腰直角三角形，過〃作/7E_Lx軸于￡點，從而可以求得

77(2,2),得到直線4夕解析式為y=-x+4,設4(°,-a+4),過4作4尸_Lx軸于尸,在Rt

△40戶中，利用勾股定理，列出方程即可求解；

(3)由(2)可知，經過平移，對應點落在圓上，AB//A'B',AB=A'B',符合條件的

49只有兩條，并且位于。點兩側，如圖2,根據垂線段最短，當時，d最小，

過。作。分別交于交43于7,用(2)中方法求解0