第第廣東省四校2024-2025學年高三數學上學期第一次聯考試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合A={x|xx-2A.{x|-2≤x≤1}C.{x|0≤x≤2.設(1-i)3z=-2i，則A.22 B.2 C.1 D.3.已知向量a，b為單位向量，則|a+λb|=|λa-A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知(ax-13x)5(a為常數)A.-90 B.-10 C.10 D.905.已知隨機變量X～B6,p，Y～Nμ,σ2，且PY≥A.12 B.13 C.146.德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A、B是∠MON的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，∠ACB最大？問題的答案是：當且僅當△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.人們稱這一命題為米勒定理.已知點D、E的坐標分別是(0,1)，(0,3)，F是x軸正半軸上的一動點，當∠DFE最大時，點F的橫坐標為(

)A.1 B.2 C.3 D.27.設函數，則滿意的的取值范圍是(

)A. B. C.D.8.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦點為F，左頂點為A，M為C的一條漸近線上一點，延長FM交y軸于點N，直線AM經過A.23 B.5 C.52 二．選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對兩個變量y和x進行回來分析，得到一組樣本數據(x1,y1)，(x2,A.若其閱歷回來方程為y=0.8x+1，當說明變量

x

每增加

1個單位，預報變量

y肯定增加

0.8個單位

B.若其閱歷回來方程y=bx+a必過點(3，2.25)，則x1+x2+10.為了得到函數y=ln(ex)的圖象，可將函數A.縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的e倍B.向上平移一個單位長度C.縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的1e11.已知點O為坐標原點，直線y=x-1與拋物線y2=4x相交于A.|AB|=8BC.?AOB的面積為22D.線段AB的中點到y12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為側面BCC1B1的中心，FA.PE?PFB.若BP=2PD1C.若D1N與AB所成的角為π4D.若正方體繞BD1旋轉θ角度后與其自身重合，則θ填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數f(x)=xlnx-x，14.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bAaDaBaCaFaE15.Sn是公差為2的等差數列{an}AaDaBaCaFaE16.在Rt?ABC則?ABC的內接正?四．解答題:本題共6小題，共70分．17.（10分）已知數列an的前n項和為Sn，且（1）求數列an的（2）保持數列an中各項先后依次不變，在ak與ak+1之間插入k個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列bn，記bn18.（12分）在?ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b（1）證明：AD平分∠BAC（2）若?ABC為銳角三角形，AB=7，AC=8，∠C=π319.（12分）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身體健康的重要標記之一就是有良好的睡眠，某機構為了調查參與體育熬煉對睡眠的影響，從轄區內同一年齡層次的常參與體育熬煉和不常參與體育熬煉的人中，各抽取了100人，通過問詢的方式得到他們在一周內的睡眠時間（單位：小時），并繪制出如下頻率分布直方圖．頻率組距頻率組距常參與頻率頻率常參與體育熬煉人員不常參與體育熬煉人員（1）若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠足”，每周的睡眠時間在44小時以下的列為“睡眠不足”，請依據已知條件完成下列列聯表，并依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，分析“睡眠足”與“常參與體育熬煉”是否有關?睡眠足睡眠不足總計常參與體育熬煉人員不常參與體育熬煉人員總計（2）現從常參與體育熬煉的樣本人群中按睡眠是否足夠來采納分層抽樣法抽取8人做進一步訪談，然后從這8人中隨機抽取2人填寫調查問卷，記抽取的兩人中睡眠足的人數為X，求X的分布列及數學期望;（3）用此樣本的頻率估計總體的概率，從該轄區隨機調查常參與體育熬煉的3名人員，設調查的3人中睡眠足的人數為Y，求Y的方差．參考公式：，其中．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82820.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2CD=2，（1）求證：平面PBC平面ABCD；（2）在棱PD上是否存在點Q，使得二面角A-BC-Q的大小為21.（12分）已知橢圓x24+y2=1的左右頂點為A、B，直線l:x=1.已知O為坐標原點，圓G（1）記直線AM,AN的斜率分別為k1、k（2）證明直線PQ過定點，并求該定點坐標.22.（12分）已知f(（1）求f(（2）當a=e時（e為自然對數的底數），若對于?x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥t2024屆廣東省四校高三第一次聯考數學試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678答案DACABCAD二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.BC10.BC11.AC12.BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.114.-1415.-1四、解答題：本題共6小題，共70分17.(10分）（1）當時，即1分當，3分明顯不符合上式，所以數列的通項公式為5分（2）因為在與之間插入個1，所以在中對應的項數為當時，，當時，所以，且，8分10分18.（12分）解：（1）在三角形ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB在三角形ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=DC因為∠ADB與∠ADC互補，所以sin∠ADB=由題意得ABAC=DBDC，所以所以AD平分∠BAC.得證；5分（2）?ABC中，由余弦定理cosC解得a=3或a=5若a=3,則有：a2+c2若a=5,則有：a2+c由（1）知：ABAC=DBDC=在?ACD中，由余弦定理得：解得：AD=所以AD=8319.（12分）解：（1）常參與體育熬煉人員“睡眠足”的人數為：，則“睡眠不足”的人數為25；不常參與體育熬煉人員“睡眠足”的人數為：,則“睡眠不足”的人數為45；列聯表如下：睡眠足睡眠不足總計常參與體育熬煉人員7525100不常參與體育熬煉人員5545100總計130702002分零假設：睡眠足與常參與體育熬煉無關因為χ2=200×依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，推斷不成立，所以認為“睡眠足”與“常參與體育熬煉”有關.5分（2）由題意知，常參與體育熬煉的樣本人群中睡眠足和睡眠不足的人數比為75:25=3:1，用分層抽樣法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人6分從這8人隨機抽取2人，則的全部取值為0，1，2.，，；所以分布列為0129分（說明：全對給3分，不全對時求出兩個概率給2分）數學期望10分（3）由題意，該轄區常參與體育熬煉的人群中睡眠足的概率為75100由題意知：Y~B(3D(Y)=3×320.（12分）解：（1）取BC中點E，連接AE、PE，連接?PCB為等邊三角形，∴PEBCADC=90°，AD=3，DC=1

∴AC=2

又AB//CD，∴∴?ACBBC=2，AEBC且AE=PE=3PAE中PA2PEA=90°，PEAE，又AE面ABC，BC面ABCD，且AEBC=EPE面ABCD，4分

又PE面PCB，面PCB面ABCD.5分

（2）由（1），以點E為坐標原點，建系如圖，則E(0,0,0)，A(3,0,0），B(0,1,0)，C(0,-1,0)則PD=(32,-32,-PQ=λPD=(3則Q(明顯面ABC的一個法向量為n1=(0,0,1)又∵CB=(0,2,0)，設面BCQ的一個法向量為n2=(x,y,z)，則即y=0解得n2由題|cos<n1解得λ=23則PQPD(12分）(1)由已知可得MN為圓G的直徑，則記M(1,mkAM(2)kAM由已知直線PQ存在斜率，記其方程為代入有記，則當時有7分，代入（1）式化簡有當過定點（10當時，，過定點A（-2綜上有，直線