第5章頻域分析z2目錄Contents5.1、基本概念5.2、奈奎斯特圖與伯德圖5.3、奈奎斯特判據(jù)4、頻域設(shè)計指標5.5用MATLAB進行系統(tǒng)頻域分析31頻域特性基本概念主要知識點頻域特性相關(guān)基本概念；頻域特性與時域特性以及傳遞函數(shù)的關(guān)系；頻域特性基本定義定義：系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的頻域響應(yīng)。2024/12/19頻域特性函數(shù)

：代表了幅度的變化，Φ：表示相位的變化。用實驗法，我們可以改變輸入信號的頻率，依次測量輸出信號的幅度和相位差。這樣，逐點建立G（jω）函數(shù)。2024/12/19頻域特性函數(shù)可以測量系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g（t），然后對g（t）作傅里葉變換，得到G（jω）。2024/12/19頻域特性函數(shù)極坐標形式：直角坐標形式：2024/12/1982奈奎斯特圖與伯德圖主要知識點1、奈奎斯特圖定義及繪制；2、典型函數(shù)的奈奎斯特圖；3、伯德圖的定義與繪制；4、典型函數(shù)的伯德圖；5、一般函數(shù)的伯德圖繪制；9Nyquist圖定義及繪制Naquist圖定義；特點；繪制；奈奎斯特圖定義：直角坐標系中，繪制系統(tǒng)頻率特性曲線。奈奎斯特圖的橫坐標為G（jω）的實部Re（ω），縱坐標為G（jω）的虛部Im（ω），以此繪制響應(yīng)曲線，把ω（-?->+?）的所有點都描繪出來。由于（-?->0）和（0->+?）的曲線是關(guān)于X軸對稱的。2024/12/19奈奎斯特圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)奈奎斯特圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)奈奎斯特圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)奈奎斯特圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)奈奎斯特圖2024/12/19延遲環(huán)節(jié)對奈奎斯特圖的影響2024/12/19系統(tǒng)型別對奈奎斯特圖的影響2024/12/1918Bode圖定義及繪制Bode圖定義；特點；繪制；伯德圖定義幅頻特性圖：A（ω）；和相頻特性圖：Φ（ω）其中幅頻特性圖做了對數(shù)處理：；圖的縱坐標為L（ω），橫坐標對對變量ω做對數(shù)處理：為lg（ω）相頻特性圖：縱坐標為Φ（ω），橫坐標同幅頻特性圖一樣為lg（ω），這樣便于兩個圖對照使用2024/12/19伯德圖定義橫坐標對ω作了對數(shù)處理。坐標按lgω作等分刻度，但為使用方便，標度任然使用原來的頻率值ω。此時，ω就變?yōu)?0倍頻等分了2024/12/19典型環(huán)節(jié)伯德圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)伯德圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)伯德圖2024/12/19典型環(huán)節(jié)伯德圖2024/12/19二階震蕩環(huán)節(jié)-幅頻特性二階震蕩環(huán)節(jié)-相頻特性伯德圖的近似誤差（二階）典型環(huán)節(jié)伯德圖延遲環(huán)節(jié)：2024/12/19伯德圖的繪制如下系統(tǒng)：L（ω）作了對數(shù)處理：L（ω）=20lgA1（ω）+20lgA2（ω）+20lgA3（ω）Φ（ω）=Φ1（ω）+Φ2（ω）+Φ3（ω）伯德圖繪制時，可以先計算出每個串聯(lián)環(huán)節(jié)的伯德圖，再相加即可2024/12/19伯德圖的繪制實際繪制時，幅頻特性圖，先看一看系統(tǒng)的型別及增益(K/SV)，確定其低頻部分；然后，每遇到一個一階極點，系統(tǒng)折線斜率減少20dB；每遇到一個一階零點，系統(tǒng)折線斜率增加20dB；每遇到一個二階極點，系統(tǒng)斜率較少40dB（震蕩環(huán)節(jié)按折線近似）；每遇到一個二階零點，系統(tǒng)折線增加40dB；注意：伯德圖的幅頻特性圖中，縱坐標為10lgA（ω），橫坐標為lgω。斜率-20dB是指橫坐標lgω增加1：例如ω由1到10，縱坐標減少20。2024/12/19伯德圖的繪制對數(shù)處理的作用：幅頻特性作對數(shù)處理，把各串聯(lián)環(huán)節(jié)的乘法運算轉(zhuǎn)換成了加法運算，便于手工計算；橫坐標用作對數(shù)處理，則各個典型環(huán)節(jié)的幅頻特性近似圖為直線或折線，這樣也非常便于手工繪制；2024/12/19伯德圖的繪制2024/12/19伯德圖的繪制2024/12/193103奈奎斯特判據(jù)主要知識點1、奈奎斯特判據(jù)定義及證明；2、奈奎斯特判據(jù)對應(yīng)的伯德圖形式；基本內(nèi)容研究系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，得出了利用開環(huán)傳遞函數(shù)特性判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的方法；目的：避免了高階方程的計算求根；2024/12/19基本內(nèi)容奈奎斯特判據(jù)：Z=N+P；Z：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點個數(shù)；（若為0，則系統(tǒng)穩(wěn)定）N：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線順時針包圍-1+j0點的次數(shù)；P：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點個數(shù)；2024/12/19基本推導(dǎo)過程2024/12/19通過已知的pi和qj推導(dǎo)出零點zj分布情況基本推導(dǎo)過程輻角原理：2024/12/19sF(s)GG＊基本推導(dǎo)過程對于：有：2024/12/19δ∠（s-Zi）=-2π，其余輻角變化項，由于未環(huán)繞，均為0基本推導(dǎo)過程我們?nèi)我膺x擇一條閉合曲線Cs，考察其對應(yīng)的F（s）曲線順時針繞原點的圈數(shù)N，就可知道該閉合曲線內(nèi)包含的F（s）的零點和極點個數(shù)差。N=Z-P（Z為零點個數(shù)，P為極點個數(shù)）；我們想了解F（s）在右邊平面零點極點個數(shù)之差，只需讓閉合曲線Cs包圍整個右半平面即可，該閉合曲線稱為-奈奎斯特軌線；2024/12/19奈奎斯特判據(jù)使用方法我們一般只計算ω：（0->+?）的曲線繞（-1，0）的圈數(shù)為N，由于ω：（-?->0）曲線與此對稱，所以ω：（-?->+?）曲線繞（-1，0）的圈數(shù)為2N。有：Z=P-2N；這里N是按逆時針方向計算圈數(shù)；2024/12/19正穿越半次正穿越奈奎斯特判據(jù)使用方法在伯德圖中的使用：2024/12/19奈奎斯特判據(jù)使用方法傳遞函數(shù)包含原點的奈奎斯特軌線處理方法及其對應(yīng)的奈奎斯特圖2024/12/19奈奎斯特判據(jù)使用方法對應(yīng)的伯德圖處理方法：2024/12/19奈奎斯特判據(jù)特點1、與時域判據(jù)相比，避免了高階微分方程的求解，方便、快捷；2、與勞斯-霍爾維茨判據(jù)相比，無需獲得精確的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，利用實測響應(yīng)特性圖就能判斷；3、便于研究系統(tǒng)參數(shù)及結(jié)構(gòu)變化對穩(wěn)定性的影響；因而，在工程上應(yīng)用十分廣泛；2024/12/19案例分析討論延遲項τ對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響：穩(wěn)定嗎？2024/12/194404頻域設(shè)計指標主要知識點1、相位裕度與幅值裕度的定義；2、開環(huán)頻率指標3、基本案例介紹；頻域穩(wěn)定裕度時域分析中，我們用超調(diào)量來描述相對穩(wěn)定性，在頻域，我們用奈奎斯特曲線靠近臨界點（-1，0）的程度來描述相對穩(wěn)定性。通常用相位裕度γ和幅度裕度Kg來表示。一般而言，相位裕度和幅值裕度指標只適用于最小相位系統(tǒng)（可含滯后環(huán)節(jié)）。2024/12/19最小相位系統(tǒng)定義：系統(tǒng)的零點極點均在S平面左半平面；僅從幅頻特性圖或相頻特性圖就能確定系統(tǒng)特性；最小相位系統(tǒng)在具有相同幅頻特性的情況下，其相角范圍最小；2024/12/192024/12/19頻域穩(wěn)定裕度2024/12/19頻域穩(wěn)定裕度相位裕度：系統(tǒng)截止頻率為ωc，A（ωc）=1，L（ωc）=0dB時；γ=180°+Φ（ωc）；相位裕度的物理意義：若穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)相位再延遲γ，系統(tǒng)將進入臨界穩(wěn)定狀態(tài)；2024/12/19頻域穩(wěn)定裕度伯德圖中的相位裕度和幅度裕度：2024/12/19頻域穩(wěn)定裕度相位裕度和幅度裕度的大小還能反應(yīng)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性；適當?shù)脑６冗€能防止系統(tǒng)參數(shù)變化造成的不利影響，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性；工程上：一般要求系統(tǒng)的相位裕度γ=30°~60°；幅度裕度h>6~10dB2024/12/19頻域穩(wěn)定裕度的重要性1、系統(tǒng)模型參數(shù)不準確；2、系統(tǒng)參數(shù)時變；3、系統(tǒng)非線性因素的影響；保持足夠的設(shè)計裕度可以使我們的系統(tǒng)具備較高的可靠性和環(huán)境適應(yīng)性--魯棒性：

Robust2024/12/19頻域指標和時域指標的關(guān)系二階系統(tǒng)：ts=7/（tgγ·ωc）2024/12/19頻域指標和時域指標的關(guān)系2024/12/19高階系統(tǒng)：閉環(huán)諧振峰值：一般Mr=1.1~1.4對應(yīng)ξ=0.4~0.7；超調(diào)量σ=0.16+0.4（Mr+1）；1<Mr<1.8；調(diào)節(jié)時間ts=Kπ/ωc；K=2+1.5（Mr-1）+2.5（Mr-1）2；1<Mr<1.8；系統(tǒng)開環(huán)頻率特性2024/12/19系統(tǒng)閉環(huán)頻率指標閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ（jω）=G（jω）/（1+G（jω））=M（ω）·ej?（ω）；2024/12/19系統(tǒng)閉環(huán)頻率指標2024/12/19系統(tǒng)閉環(huán)頻率指標零頻值：M（0），若M（0）=1為無靜差系統(tǒng)；若M（0）=K/（1+K）<1，則為有靜差系統(tǒng)；給定精度復(fù)現(xiàn)帶寬ωM：給定誤差要求Δ，在ω<ωM范圍內(nèi)，有；帶寬頻率ωb：M（ωb）=0.707M（0）；（-3dB）

為系統(tǒng)頻寬；諧振峰值Mr和峰值頻率ωr：Mr表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，M越大，相對穩(wěn)定性越差；2024/12/19案例分析直流電機調(diào)壓調(diào)速：電機模型：

R為電機線圈電阻，L為電機線圈電感，Ke為感應(yīng)電壓系數(shù)，ω為電機轉(zhuǎn)速；運動公式：Te為電機轉(zhuǎn)矩=KT*I，TL為系統(tǒng)阻力轉(zhuǎn)矩，JL為系統(tǒng)負載總的等效慣量；2024/12/19案例分析2024/12/19案例分析2024/12/19案例分析2024/12/19案例分析開環(huán)：Kp=1時，幅值穿越頻率ωc=2.23，對應(yīng)的?（ωc）=-155.8°，相位裕度γ=24.2°；2024/12/19案例分析調(diào)整后：相位裕度γ≥40°時，Kp≤0.46，對應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)增益K=4.62024/12/1965主要知識點總結(jié)：三奈奎斯特判據(jù)的定義及證明一頻域特性基本概念及其與傳遞函數(shù)的關(guān)系二奈奎斯特圖伯德圖的相關(guān)定義；伯德圖的繪制四頻域設(shè)計指標；相關(guān)實例分析；總結(jié)2024/12/19頻域分析法避免了時域法中繁瑣的數(shù)學(xué)計算，無需系統(tǒng)精確建模，對有些環(huán)節(jié)，例如延遲環(huán)節(jié)，時域代數(shù)法分析有一定困難，但是，利用頻域分析法卻十分的簡潔、清晰。

頻域分析法在工程中應(yīng)用十分廣泛！5.5用MATLAB進行系統(tǒng)頻域分析MATLAB包含了進行控制系統(tǒng)分析與設(shè)計所必需的工具箱函數(shù)。下面簡單介紹bode（伯德）函數(shù)和nyquist（奈奎斯特）函數(shù)的用法。1．bode功能：求連續(xù)系統(tǒng)的伯德頻率響應(yīng)，即繪制伯德圖。格式：[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu,w)[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase,w]=bode(num,den,w)說明：（1）bode函數(shù)可計算出連續(xù)時間系統(tǒng)的幅頻和相頻響應(yīng)曲線（即伯德圖）。當缺省輸出變量時，bode函數(shù)可在當前圖形窗口中直接繪制出連續(xù)時間系統(tǒng)的伯德圖。（2）bode(a,b,c,d)可繪制出系統(tǒng)的一組伯德圖，它們是針對多輸入－多輸出連續(xù)系統(tǒng)的每個輸入的伯德圖。其中，頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會自動采用更多的取樣點。（3）bode(a,b,c,d,iu)可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的伯德圖。（4）bode(num,den)可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)

表示的系統(tǒng)伯德圖。（5）bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)，可以利用指定的頻率矢量繪制出系統(tǒng)的伯德圖。（6）當帶輸出變量引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)伯德圖相應(yīng)的幅度、相位及頻率點矢量，其相互關(guān)系為

，

，

。相位以度為單位，幅度可轉(zhuǎn)換成以dB為單位，即

。例5-14有一二階系統(tǒng)，其自然頻率

，阻尼因子

，試繪制系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線。解

可輸入以下MATLAB程序[a,b,c,d]=ord2(1,0.2);bode(a,b,c,d);grid執(zhí)行后，可得到伯德圖如右圖所示。連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖說明：ord2是二階系統(tǒng)生成函數(shù)，格式為[a,b,c,d]=ord2(wn,z)，表示生成固有頻率為wn，阻尼系數(shù)為z的連續(xù)二階的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)。例5-15已知典型二階系統(tǒng)試繪制

取不同值時系統(tǒng)的伯德圖。解

取

，

為[0.1:0.1:1.0]時，二階系統(tǒng)的伯德圖可直接采用bode函數(shù)得到。輸入以下MATLAB程序wn=6;kosi=[0.1:0.1:1.0];w=logspace(-1,1,100);figure(1)num=[wn*wn];forkos=kosiden=[1,2*kos*wn,wn*wn];[mag,pha,w1]=bode(num,den,w);subplot(2,1,1);holdon;semilogx(w1,pha);endsubplot(2,1,1);gridon;title('BodePlot');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain(dB)');subplot(2,1,2);gridon;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Phase(deg)');holdoff執(zhí)行上述程序后，可得到如右圖所示的伯德圖。典型二階系統(tǒng)的伯德圖說明：命令函數(shù)logspace(-1,1,100)用于產(chǎn)生由

到

對數(shù)分度的100值的矢量；命令函數(shù)semilogx則用于繪制橫坐標是對數(shù)分度、縱坐標是線性分度的半對數(shù)坐標曲線。從135頁圖中可以看出，當

時，相角

也趨于0；當

時，

；當

時，

。當

時，頻率響應(yīng)的幅度最大。例5-16有一系統(tǒng)

，試繪制該系統(tǒng)的伯德圖。解

輸入以下MATLAB程序k=100;z=[-4];p=[0,-0.5,-50,-50];[num,den]=zp2tf(z,p,k);bode(num,den);title('BodePlot');grid執(zhí)行后得如右圖所示的伯德圖。系統(tǒng)伯德圖2．nyquist功能：求連續(xù)系統(tǒng)的奈奎斯特頻率曲線，即繪制奈氏圖。格式：[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d)[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d,iu)[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d,iu,w)[re,im,w]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den,w)說明：（1）nyquist函數(shù)可計算連續(xù)時間系統(tǒng)的奈氏頻率曲線，當不帶輸出變量引用函數(shù)時，nyquist函數(shù)會在當前圖形窗口中直接繪制出奈氏曲線。（2）nyquist(a,b,c,d)可得到一組奈氏曲線，每條曲線相應(yīng)于多輸入－多輸出連續(xù)系統(tǒng)的輸入－輸出組合對，其頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置自動選取更多的取樣點。（3）nyquist(a,b,c,d,iu)可得到從第iu個輸入到系統(tǒng)所有輸出的奈氏曲線。（4）nyquist(num,den)可得到連續(xù)多項式傳遞函數(shù)

表示的系統(tǒng)奈氏曲線。（5）nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)可利用指定的頻率向量w來繪制系統(tǒng)的奈氏曲線。（6）當帶輸出變量引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)奈氏曲線的數(shù)據(jù)，而不直接繪制出系統(tǒng)的奈氏曲線。例5-17有一二階系統(tǒng)

試繪制該系統(tǒng)的奈氏曲線。解

輸入以下MATLAB程序num=[2,5,1];den=[1,2,3];nyquist(num,den);title('NyquistPlot')執(zhí)行后得到如右圖所示的奈氏曲線。由于曲線沒有包圍

點，且

，所以由單位負反饋

構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。連續(xù)系統(tǒng)的奈氏曲線例5-18已知開環(huán)系統(tǒng)試繪制系統(tǒng)的奈氏曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并繪制閉環(huán)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。解

根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，利用nyquist函數(shù)繪出系統(tǒng)的奈氏曲線，并根據(jù)奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后利用cloop函數(shù)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，并用impulse函數(shù)求出脈沖響應(yīng)，以